Kesirler Halkaları ve Yerelleştirme
Bu bölümde değişmeli halkalar teorisinin en önemli araçlarından biri olan yerelleştirmeden bahsedeceğiz. Genel olarak, kesirlerden oluşan bu halkaların inşası ve bu yeni inşanın ideallerinin yapısı üzerinde durulacaktır.
şeklinde bir $\sim$ bağıntısı tanımlansın.
Önerme 6.1
Bir $R$ değişmeli halkası ve onun çarpımsal kapalı bir $S$ alt kümesi için yukarıdaki gibi tanımlanan $\sim$ bağıntısı $R\times S$ üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
Kanıt
eşitliklerini elde ederiz. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplayarak
$$wvt(ua-sc)=0$$eşitliğini elde ederiz. $S$ çarpımsal kapalı olduğundan $wvt\in S$ ve böylece $(a,s)\sim(c,u)$ elde edilir.
kümesini ise $S^{-1}R$ ile göstereceğiz.
Teorem 6.2
şeklinde tanımlanan işlemlere göre $S^{-1}R$ kümesi değişmeli ve birimli bir halkadır. Ayrıca, $0_{S^{-1}R}=0/1$ ve $1_{S^{-1}R}=1/1$ dir.
Kanıt
Toplama ve çarpma işlemlerinin iyi tanımlı olduğunu gösterelim. $a/s,a'/s',b/t,b'/t'\in S^{-1}R$ için
$$\frac{a}{s} = \frac{a'}{s'}\qquad\text{ve}\qquad\frac{b}{t} = \frac{b'}{t'}$$olsun. O zaman $u(s'a-sa')=0=v(t'b-tb')$ olacak şekilde $u,v\in S$ vardır. Bu eşitlikleri uygun çarpanlarla çarparak
$$t'tvu(s'a-sa')=0$$ $$s'suv(t'b-tb')=0$$eşitliklerini elde ederiz. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplayarak
$$uv(s't'ta-st'ta'+s'st'b-s'stb')=0$$eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin sol tarafını düzenleyerek
$$uv(s't'(ta+sb)-st(t'a'+s'b'))=0$$eşitliği elde edilir. Buna göre
$$\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{ta+sb}{st} = \frac{t'a'+s'b'}{s't'}=\frac{a'}{s'}+\frac{b'}{t'}$$olur. Böylece toplama iyi tanımlıdır. Çarpmanın iyi tanımlı olduğu da benzer şekilde gösterilebilir. $S^{-1}R$'nin halka yapısına sahip olduğu ile ilgili gösterilmesi gerekenler uzun fakat teknik olarak rutin işlemler gerektirdiğinden bunlara burada yer verilmeyecektir. Meraklı okuyucu dilerse, bu teknik detayları vakit bulursa tek tek elde edebilir.
Önerme 6.3
öyle ki her $r\in R$ için $f(r)=r/1$ şeklinde tanımlanan dönüşüm bir halka homomorfizmasıdır.
Yukarıdaki önermede verilen $f$ homomorfizmasına doğal homomorfizma diyeceğiz. $f$ doğal homomorfizması birebir olmak zorunda değildir. Örneğin, $R=\mathbb{Z}_6$ ve $S=\{\overline{1},\overline{3},\overline{5}\}$ seçilirse, $f:R\longrightarrow S^{-1}R$ doğal homomorfizmasının çekirdeği $\langle \overline{2}\rangle = \{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$ olacağından $f$ birebir olamaz.
Değişmeli bir $R$ halkası verildiğinde içinde pek çok jenerik çarpımsal kapalı alt küme bulmak mümkündür. Bunların bazıları özellikle kullanışlı kesirler halkaları vermektedir. Bunlar arasında
- $t\in R$ için $S=\{t^n:n\mathbb{N}_0\},$
- $I\triangleleft R$ için $S=1 + I =\{1+a:a\in I\}$
- $P\in\spec{R}$ için $S=R\setminus P$
kümeleri öne çıkar. Şimdi özellikle son sırada verilen çarpımsal kapalı kümenin doğruduğu kesirler halkasından bahsedeceğiz. Bu halkaların tek maksimali olan yerel halkalar olduğunu göstereceğiz. Bu nedenle bu şekilde elde edilen kesirler halkalarına $R$'nin birer yerelleştirmesi denir.
Teorem 6.4: Kesirler Halkasının İdellerinin Temel Özellikleri
- $I^e=\{\lambda\in\sr\mid \lambda=\frac{a}{s}\text{ olacak şekilde }a\in I,\ s\in S\}$.
- $I^e=\sr$ ancak ve ancak $I\cap S=\emptyset$.
- $\cj^{ce}=\cj$ dir.
- $\cj\neq\sr$ ancak ve ancak $\cj=J^e$ ve $J\cap S=\emptyset$ olacak şekilde $R$'nin bir $J$ ideali vardır.
- $I^{ec}=\{r\in R\mid \text{bir }s\in S\text{ için }sr\in I\}$.
Kanıt
(i) $\lambda\in I^e$ olsun. $\lambda \in S^{-1}R$ olduğundan $\lambda = \frac{r}{u}$ o.ş. $r \in R, u \in S$ vardır. Öte yandan genişleme tanımı gereğince
$$\lambda = \lambda_1 f(a_1) + \dots + \lambda_n f(a_n)$$olacak şekilde $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in S^{-1}R$, $a_1, \dots, a_n \in I$ elemanları vardır. Her $1 \leq i \leq n$ için $\lambda_i = \frac{r_i}{s_i}$ o.ş. $r_i \in R, v_i \in S$ vardır. $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ elemanlarını ortak paydada yazabileceğimizden $s_1=\cdots=s_n=s$ kabul edebiliriz. Bu durumda
$$\frac{r}{u} = \frac{r_1}{s} \frac{a_1}{1} + \dots + \frac{r_n}{s} \frac{a_n}{1} = \frac{r_1 a_1 + \dots + r_n a_n}{s}$$olur. $a = \sum_{i=1}^n r_i a_i \in I$ için $\lambda = r/u = a/s$ elde edilir. Tersine $\lambda = a/s$ o.ş. $a \in I, s \in S$ olsun. $\lambda = \frac{a}{s} = \frac{1}{s} \cdot \frac{a}{1} = \frac{1}{s} f(a) \in I^e$ olacağından istenen elde edilir.
(ii) $I \cap S \neq \emptyset$ olsun. $s \in I \cap S$ seçelim. Bu durumda $1_{S^{-1}R} = s/s \in I^e$ olacağından $I^e = S^{-1}R$ olur. Tersine $I^e = S^{-1}R$ ise $1_{S^{-1}R} \in I^e$ olacağından (i) gereğince $1/1 = 1_{S^{-1}R} = a/s$ olacak şekilde $a \in I, s \in S$ vardır. Dolayısıyla, $u(s - a) = 0$ olacak şekilde bir $u \in S$ vardır. Buna göre $us = ua \in I \cap S$ olacağından $I \cap S \neq \emptyset$ elde edilir.
(iii) $\mathcal{J} \trianglelefteq S^{-1}R$ ve $I = \mathcal{J}^c$ olsun. $I \trianglelefteq R$ olur. Genel olarak, $I^e \subseteq \mathcal{J}$ olduğunu biliyoruz. $\lambda \in \mathcal{J}$ olsun. $r \in R$ ve $s \in S$ olmak üzere $\lambda = \frac{r}{s}$ olsun. $\lambda = \frac{1}{s} f(r)$ olduğundan $r \in \mathcal{J}^c$ ve buradan da (ii) gereğince
$$\lambda = \frac{r}{s} \in \mathcal{J}^{ce}$$olur. Böylece (iii) elde edilir.
(iv) (ii) ve (iii)'ten kolayca elde edilir.
(v) $r \in I^{ec}$ olsun. Buna göre $\frac{r}{1} = f(r) \in I^e$ ve böylece $\frac{r}{1} = \frac{a}{s}$ olacak şekilde $a \in I, s \in S$ vardır. Böylece bir $s' \in S$ için $s'(sr - a) = 0$ olur. Dolayısıyla $(s's)r = s'a \in I$ bulunur. Tersine bir $r \in R$ ve $s \in S$ için $sr \in I$ ise $\frac{r}{1} = \frac{sr}{s} \in I^e$ olacağından $r \in I^{ec}$ elde edilir. Böylece (v) kanıtlanmış olur.
Şimdi
Gösterim
Aşağıdaki teoremde bir $P$ asal ideali için $R_P$ halkasının bir yerel halka olduğu gösteriliyor.
Teorem 6.5
olan bir yerel halkadır.
Kanıt
elde edilir. Ayrıca Teorem 6.4 (iv) gereğince her $\mathcal{J} \trianglelefteq R_P$ için
$$\begin{aligned} \mathcal{J} \neq R_P &\iff \mathcal{J} = I^e \text{ ve } I \cap R \setminus P = \emptyset \text{ o.ş. bir } I \trianglelefteq R \text{ var} \\ &\iff \mathcal{J} = I^e \text{ ve } I \subseteq P \text{ o.ş. bir } I \trianglelefteq R \text{ var} \end{aligned}$$denklikleri elde edilir. Buna göre $\mathcal{J} \neq R_P$ ise $\mathcal{J} = I^e \subseteq P^e$ olacak şekilde $I \trianglelefteq R$ olacağından $R_P$'nin her öz ideali $P^e$ idealinin içinde olur. Ayrıca Teorem 6.4 (i) gereğince $P \cap (R \setminus P) = \emptyset$ olduğundan $P^e \neq R_P$, yani $P^e$, $R_P$'nin bir öz ideali olur. Buna göre $R_P$'nin $P^e$'yi içeren bir maksimal $\mathcal{M}$ ideali vardır. $\mathcal{M} \subseteq P^e$ olacağından $\mathcal{M} = P^e$ maksimal ideal olur. Ayrıca $R_P$'nin her öz ideali $P^e$ idealinin içinde olduğundan $P^e$, $R_P$'nin tek maksimal idealidir.
Tanım 6.1: Yerelleştirme
Teorem 6.6
Kanıt
artan zinciri elde edilir. $R$ bir Noether halkası olduğundan her $i \geq 1$ için $\mathcal{J}_m^c = \mathcal{J}_{m+i}^c$ olacak şekilde bir $m$ doğal sayısı vardır. Yukarıdaki teoremin (iii) şıkkı gereğince her $i \geq 1$ için
$$\mathcal{J}_m = \mathcal{J}_m^{ce} = \mathcal{J}_{m+i}^{ce} = \mathcal{J}_{m+i}$$elde edilir. Böylece $S^{-1}R$ bir Noether halkası olur. $R$ Artin olduğunda $S^{-1}R$'nin de Artin olacağını benzer şekilde gösterebiliriz.
Teorem 6.7
- $(I_1 + I_2)^e = I_1^e + I_2^e$
- $(I_1 \cap I_2)^e = I_1^e \cap I_2^e$
- $\left(I_1I_2\right)^e = I_1^e I_2^e$
- $(\cj_1\cap\cj_2)^c = \cj_1^c\cap \cj_2^c$
- $\left(\sqrt{I}\right)^e = \sqrt{I^e}$
- $(I_1:I_2)^e\subseteq (I_1^e:I_2^e)$; eğer $I_2$ sonlu üretilmiş ise eşitlik vardır.
Kanıt
• $(I_{1}+I_{2})^{e}=I_{1}^{e}+I_{2}^{e}$;
• $(I_{1}I_{2})^{e}=I_{1}^{e}I_{2}^{e};$
• $(J_{1}\cap J_{2})^{c}=J_{1}^{c}\cap J_{2}^{c}$;
• $\left(\sqrt{J}\right)^{c}=\sqrt{J^{c}}$;
• $I\subseteq I^{ec};$
• $J^{ce}\subseteq J$;
• $I^{e}=I^{ece}$;
• $J^{c}=J^{cec}$.
📖 Detaya Git ile görmüştük. Şimdi $(I_1\cap I_2)^e = I_1^e\cap I_2^e$ olduğunu gösterelim. $I_1\cap I_2\subseteq I_1$ ve $I_1\cap I_2\subseteq I_2$ olduğundan iki tarafın genişlemesi alınırsa $(I_1\cap I_2)^e\subseteq I_2^e \cap I_2^e$ elde edilir. $\lambda\in I_1^e\cap I_2^e$ olsun. O zaman $\lambda=a/s=b/t$ olacak şekilde $a\in I_1$, $b\in I_2$ ve $s,t\in S$ vardır. Buna göre $u(ta-sb)=0$ olacak şekilde $s\in S$ vardır. Bu durumda $uta = usb\in I_1\cap I_2$ olacağından $$\lambda=\frac{uta}{uts}\in I_1^e\cap I_2^e$$ elde edilir. Böylece $(I_1\cap I_2)^e = I_1^e\cap I_2^e$ olur.
elde edilir.
Tersine $\mu\in(\sqrt{I})^e$ olsun. O zaman $b\in R$, $t\in S$ ve uygun bir $m$ doğal sayısı için $b^m\in I$ ve $\mu=b/s$ yazılabilir. Buna göre $\mu^m\in I^e$ olacağından $\mu\in\sqrt{I^e}$ elde edilir. Dolayısıyla eşitlik elde edilmiş olur.
Şimdi $I_2$ sonlu üretilmiş olsun. $I_2=Ra_1+\cdots+Ra_n$ yazalım. $\eta\in(I_1^e:I_2^e)$ alalım. O zaman $\eta I_2^e\subseteq I_1^e$ olur. $\eta=c/u$, $c\in R$, $s\in S$ yazalım. $a_i/1\in I_2^e$ olduğundan $ca_i/u=c/u\cdot a_i/1\in I_1^e$ olur. Buna göre her $1\le i \le n$ için $ca_i/u=b_i/v$ olacak şekilde $b_i\in I_1$ vardır. O zaman her $1\le i \le n$ için $w_i(vca_i)=w_i(ub_i)\in I_1$ olacak şekilde $w_i\in S$ vardır. $w=w_1\ldots w_n$ denirse, her $1\le i \le n$ için $wvca_i\in I_1$ olacağından $wvcI_2\subseteq I_1$, yani $wvc\in (I_1:I_2)$ elde edilir. Buna göre $$\eta=\frac{wvc}{wvu}\in (I_1:I_2)^e$$ olur. Böylece $(I_1:I_2)^e = (I_1^e:I_2^e)$ eşitliği elde edilir.
Gösterim
Yukarıdaki gösterim tercihleri, $R$ ve $\sr$ halkaları arasındaki geçişlerde pratik olması bakımından oldukça kullanışlıdır. Bu sayede $f:R\rightarrow \sr$ doğal homomorfizmasına atıf yapmadan $R$'nin ve $\sr$'nin ideallerinin genişleme ve daralmalarını ifade edebiliriz. Ancak bu gösterimler ancak $R\subseteq\sr$ olması durumunda asıl anlamları ile kullanılabilirler. Bunun haricinde yukarıda verilen genişleme ve daralma gösterimleri sembolik bir anlama sahiptir. Yine de sembolizmimiz gerçek anlamı destekleyen bir aritmetiğe de sahiptir. Örneğin, Teorem 2.11
$R$ ve $S$ değişmeli halkalar ve $f:R\to S$ bir halka homomorfizması olsun. $I,I_{1},I_{2}$, $R$'nin idealleri ve $J,J_{1},J_{2}$, $S$'nin idealleri olsun. Aşağıdakiler sağlanır:
• $(I_{1}+I_{2})^{e}=I_{1}^{e}+I_{2}^{e}$;
• $(I_{1}I_{2})^{e}=I_{1}^{e}I_{2}^{e};$
• $(J_{1}\cap J_{2})^{c}=J_{1}^{c}\cap J_{2}^{c}$;
• $\left(\sqrt{J}\right)^{c}=\sqrt{J^{c}}$;
• $I\subseteq I^{ec};$
• $J^{ce}\subseteq J$;
• $I^{e}=I^{ece}$;
• $J^{c}=J^{cec}$.
📖 Detaya Git gereğince $R$'nin $I_1$ ve $I_2$ gibi iki ideali için $$(I_1+I_2)\sr=I_1\sr + I_2\sr$$ yazılabilir. Benzer şekilde $\sr$'nin iki $\cj_1$ ve $\cj_2$ gibi iki ideali için $$(\cj_1\cap\cj_2)\cap R = (\cj_1\cap R)\cap (\cj_2 \cap R)$$ yazabiliriz.
Bir değişmeli $R$ halkası ve onun çarpımsal kapalı bir $S$ alt kümesi için $R$'nin $\sr$ içine gömüldüğü bir durum, $f:R\rightarrow\sr$ doğal homomorfizması birebir olduğu zaman elde edilir. Böyle bir durumda $R$'nin her $r$ elemanı $f(r)=r/1$ ile özdeş tutarak $R\subseteq\sr$ yazabiliriz. Dikkat edilirse
$$\ker(f)=\{r\in R:sr=0\text{ olacak şekilde }s\in S\text{ var}\}$$idealinin sıfır olması, $S$'nin elemanlarının $R$'de sıfır böleni olmaması anlamına gelir. $T$, $R$'nin sıfır böleni olmayan tüm elemanlarının kümesi ise $T$, $R$'nin bir çarpımsal kapalı alt kümesidir ve $R$'nin her $S$ çarpımsal kapalı alt kümesi için $f:R\rightarrow\sr$ bir gömme dönüşümüdür ancak ve ancak $S\subseteq T$'dir. Bu durumda her $r\in R$ ve $s\in S$ için $r/s$ kesir gösterimi hem $\sr$ hem de $T^{-1}R$ içinde anlamlıdır. Üstelik $r,r'\in R$, $s,s'\in S$ olmak üzere $\sr$ içinde verilen bir $r/s=r'/s'$ eşitliği $T^{-1}R$ içinde de verilebilir, çünkü $s''(s'r-sr')=0$ olacak şekilde $s''\in S$ varsa $S\subseteq T$ olduğundan $s''\in T$ ve böylece $s''(s'r-sr')=0$ eşitliği $T^{-1}R$ halkasında da $r/s=r'/s'$ anlamına gelir. Buna göre
$$\sr\longrightarrow T^{-1}R$$ $$\frac{r}{s}\longmapsto\frac{r}{s}$$dönüşümü iyi tanımlıdır. $T$ sıfır böleni olmayan elemanlardan oluştuğu için bu dönüşüm aynı zamanda birebir bir halka homomorfizmasıdır. Bu durumda
$$R\subseteq\sr\subseteq T^{-1}R$$yazabiliriz.
Özel olarak $R$ bir tamlık bölgesi ise $T=R\setminus \{0\}$ ve $T^{-1}R$, $R$'nin kesirler cismidir. $K=T^{-1}R$ yazarsak $R$'nin her $S$ çarpımsal kapalı alt kümesi için
$$R\subseteq\sr\subseteq K$$olur.
Teorem 6.8
Kanıt
olduğundan $ut \notin P$ ve böylece $a \in P$ elde edilir.
Teorem 6.9
- (i) $P\in\spec{R}$ ve $P\cap S=\emptyset$ ise $P\sr\cap R=P$'dir.
- (ii) $P \in \text{spec}(R)$ ve $P \cap S = \emptyset$ ancak ve ancak $P\sr \in \text{spec}(S^{-1}R)$.
- (iii) $\mathcal{P} \in \text{spec}(S^{-1}R)$ ancak ve ancak $\mathcal{P}\cap R \in \text{spec}(R)$ ve $(\mathcal{P}\cap R) \cap S = \emptyset$.
- (iv) $\text{spec}(S^{-1}R) = \{ P\sr \mid P \in \text{spec}(R) \text{ ve } P \cap S = \emptyset \}$.
- (v) $\{ P \in \text{spec}(R) \mid P \cap S = \emptyset \} \overset{1:1}{\longleftrightarrow} \text{spec}(S^{-1}R)$
Kanıt
(i) $P \subseteq P\sr\cap R$ olduğunu biliyoruz. $r \in P\sr\cap R$ olsun. O zaman $ur \in P$ olacak şekilde bir $u \in S$ vardır. $P \cap S = \emptyset$ olduğundan $u \notin P$ ve böylece $r \in P$ olur. Dolayısıyla $P\sr\cap R = P$ elde edilir.
(ii) $P \in \text{spec}(R)$ ve $P \cap S = \emptyset$ olsun. $P\sr \neq S^{-1}R$ olur. $\lambda, \mu \in S^{-1}R$ olmak üzere $\lambda \mu \in P\sr$ olsun. $\lambda = \frac{a}{s}$ ve $\mu = \frac{b}{t}$ olacak şekilde $a, b \in R$, $s, t \in S$ vardır. Buna göre
$$\lambda \mu = \frac{ab}{st} \in P\sr$$olduğundan yukarıdaki teoremden $ab \in P$ olur. Bu durumda $a \in P$ veya $b \in P$ ve böylece $\lambda \in P\sr$ veya $\mu \in P\sr$ elde edilir. Dolayısıyla $P\sr \in \text{spec}(S^{-1}R)$ olur. Tersine $P\sr \in \text{spec}(S^{-1}R)$ olsun. $P\sr \neq S^{-1}R$ olduğundan $(P\sr\cap R) \cap S = \emptyset$ olur. Ayrıca $P\sr\cap R \in \text{spec}(R)$ dir. Buna göre (i) den istenilen elde edilir.
(iii) Bir asal idealin daralmasının da asal olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla $\cp\in\spec{\sr}$ ise $\cp\cap R\in\spec{R}$ olur. Diğer taraftan $\cp\neq\sr$ olduğundan Teorem 6.4$R$ değişmeli bir halka, $S$, $R$'nin bir çarpımsal kapalı alt kümesi ve $I\trianglelefteq R$, $\cj\trianglelefteq \sr$ olsun. $f:R\rightarrow S^{-1}R$ doğal dönüşümü olmak üzere tüm genişleme ve daralma gösterimleri $f$ homomorfizmasına bağlı kullanılsın. O zaman aşağıdakiler sağlanır:
• $I^e=\{\lambda\in\sr\mid \lambda=\frac{a}{s}\text{ olacak şekilde }a\in I,\ s\in S\}$.
• $I^e=\sr$ ancak ve ancak $I\cap S=\emptyset$.
• $\cj^{ce}=\cj$ dir.
• $\cj\neq\sr$ ancak ve ancak $\cj=J^e$ ve $J\cap S=\emptyset$ olacak şekilde $R$'nin bir $J$ ideali vardır.
• $I^{ec}=\{r\in R\mid \text{bir }s\in S\text{ için }sr\in I\}$.
📖 Detaya Git'ten $(\cp\cap R)\cap S=\emptyset$ elde edilir.
(iv) $\cp\in\spec{\sr}$ ise $P=\cp\cap R$ için $P\in\spec{R}$, $P\cap S=\emptyset$ ve $P\sr =\cp$'dir. Buna göre (ii)'den istenen elde edilir.
(v) $\Phi:\{P\in\spec{R}\mid P\cap S=\emptyset\}\longrightarrow \spec{\sr}$, $\Phi(P)=P\sr$ dönüşümünün örten olduğu (iv)'ten elde edilir. $\Phi$'nin birebir olduğunu görmek için $P_1,P_2\in\spec{R}$, $P_1\cap S=\emptyset=P_2\cap S$ olmak üzere $P_1\sr=P_2\sr$ olsun. (i)'den dolayı $P_1 = P_1\sr\cap R = P_2\sr\cap R = P_2$ elde edilir. Dolayısıyla $\Phi$ birebir ve örtendir. Böylece kanıt tamamlanmış olur.
📝 Ödev 6.1 (MTK735-2026)
📝 Ödev 6.2 (MTK735-2026)
Teorem 6.10
Kanıt
Kanıt içeriği
📝 Ödev 6.3 (MTK735-2026)
Sonuç 6.11
Özel olarak $R_P/PR_P$, $R/P$ halkasının kesirler cismine izomorftur.