Zincir Koşulları

Bu bölümde bir halkanın ve üzerindeki bir modülün zincir koşullarını tanımlayacağız ve bu koşulların sağlandığı modüller ile ilgili bazı temel sonuçlar vereceğiz. Emmy Noether tarafından 20. yüzyılın ilk yarısında ortaya atıldığı dönemden beri çeşitli yönlerden ve bakış açılarından pek çok farklı bağlamda ele alınan zincir koşulları, halka ve modül kuramının vageçilmez kavramları haline gelmiştir. Zincir koşulları ile tanımlanan Noether ve Artin modüller ve halkalar, literatürde önemli bir kullanım alanına sahiptir. Bu bölümde verilen sonuçlar ve örnekler sayesinde, zincir koşulları ile tanımlanan halka ve modüllerin neden bu kadar önemli olduğunun daha iyi anlaşılmasını amaçlıyoruz.

$(S,\leq)$ kısmi sıralı bir küme olsun. Aşağıdaki iki koşulun denk olduğu kolayca görülebilir:

$S$'deki elemanların her $x_{1}\leq x_{2}\leq\ldots\leq x_{i}\leq x_{i+1}\leq\ldots$ artan zinciri durağandır, yani her $i\in\mathbb{N}$ için $x_{n}=x_{n+i}$ olacak şekilde bir $n$ pozitif tamsayısı vardır.
$S$'nin boş olmayan her alt kümesinin bir maksimal elemanıVerilen bir sıralama altında kendisinden daha büyük eleman bulunmayan bir elemana maksimal eleman denir. vardır.

$S$ üzerinde $\leq$ bağıntısını tersine çevirerek yeni bir bağıntı tanımlarsak, yine bir kısmi sıralı küme elde ettiğimizi ve bu nedenle yukarıdaki sonucu $(S,\leq)$ içindeki azalan zincirler için de uyarlayabileceğimizi görebiliriz. Yani, $x_{1}\geq x_{2}\geq\ldots\geq x_{i}\geq x_{i+1}\geq\ldots$ $S$'deki elemanların bir azalan zinciri iken, her $i\in\mathbb{N}$ için $x_{n}=x_{n+i}$ olacak şekilde bir $n$ pozitif tamsayısının var olması ile $S$'nin boştan farklı her alt kümesinin bir minimal elemana sahip olması denktir.

Tanım 4.1

Eğer $(S,\leq)$ yukarıdaki birbirine denk (1) ve (2) koşullardan birini sağlıyorsa, artan zincir koşulunu sağladığını söyleriz. Eğer $(S,\leq)$ kümesinin azalan zincirleri için yukarıdaki gibi uyarlanan denk koşullardan biri sağlanırsa, $S$'nin azalan zincir koşulunu sağladığını söyleriz.

Tanım 4.2

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. $M$'nin tüm alt modüllerinin kümesini $\mathcal{S}_{M}$ ile gösterelim. Eğer $\mathcal{S}_{M}$, artan zincir koşulunu sağlıyorsa, $M$'ye bir Noether $R$-modülü denir ve eğer $\mathcal{S}_{M}$, azalan zincir koşulunu sağlıyorsa, $M$'ye bir Artin $R$-modülü denir.

Buradan bir $R$-modülü $M$'nin Noether olması için gerek ve yeter koşul, $M$'nin alt modüllerinin

$$L_{1}\subseteq L_{2}\subseteq\ldots\subseteq L_{i}\subseteq L_{i+1}\subseteq\ldots$$

biçiminde bir artan zinciri verildiğinde, her $i\in\mathbb{N}$ için $L_{n}=L_{n+i}$ olacak şekilde bir $n$ pozitif tamsayısının var olmasıdır. Bu da ancak ve ancak $\mathcal{S}_{M}$'nin boş olmayan her alt kümesinin kapsama bağıntısına göre bir maksimal elemana sahip olması ile denktir. Ayrıca; $M$'nin bir Artin $R$-modülü olması için gerek ve yeter koşul, $M$'nin alt modüllerinin

$$L_{1}\supseteq L_{2}\supseteq\ldots\supseteq L_{i}\supseteq L_{i+1}\supseteq\ldots$$

biçiminde bir azalan zinciri verildiğinde, her $i\in\mathbb{N}$ için $L_{n}=L_{n+i}$ olacak şekilde bir $n$ pozitif tamsayısının var olmasıdır.

Değişmeli bir $R$ halkası, doğal yolla kendi üzerinde bir modül olarak düşünüldüğünde eğer $R$ bir Noether (Artin) modül ise, $R$'ye bir Noether halkası (Artin halkası) denir. Örneğin, tamsayılar halkası $\mathbb{Z}$ bir Noether halkasıdır. Ancak; $\mathbb{Z}$ bir Artin halkası değildir, çünkü herhangi bir $p$ asal sayısı için, $\mathbb{Z}$'nin ideallerinin

$$(p)\supset(p^{2})\supset\cdots\supset(p^{i})\supset(p^{i+1})\supset\cdots$$

şeklinde kesin azalan sonsuz bir ideal zinciri vardır. Aslında, her esas ideal bölgesi Noetherdir (aşağıdaki alıştırmaya bakınız) ve cisim olmayan hiçbir tamlık bölgesi Artin değildir. Bir cismin hem Noether hem de Artin olduğuna dikkat ediniz.

📝 Ödev 4.1 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 12.04.2026 23:59

Her E.İ.B.'nin (Esas İdeal Bölgesi) bir Noether halkası olduğunu kanıtlayınız.
Her Artin tamlık bölgesinin bir cisim olduğunu gösteriniz.

📝 Ödev 4.2 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 12.04.2026 23:59

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir Artin modül olsun. $f:M\to M$, $M$'nin birebir bir $R$-endomorfizması olsun. $f$'in aynı zamanda örten olduğunu, yani $f$'in $M$'nin bir otomorfizması olduğunu kanıtlayınız.

Örnek 4.16

$p$ sabit bir asal sayı olsun. O zaman $$\mathbb{Z}_{p^{\infty}}:=\{\alpha\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z}:\alpha=\frac{r}{p^{n}}+\mathbb{Z}\text{ olacak şekilde }r\in\mathbb{Z}\text{ ve }n\in\mathbb{N}_{0}\text{ vardır}\}$$

kümesi $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$'nin bir $\mathbb{Z}$-alt modülüdür. Her $t\in\mathbb{N}_{0}$ için $\zz_{p^{\infty}}$'un

$$G_{t}:=\{\alpha\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z}:\alpha=\frac{r}{p^{t}}+\mathbb{Z}\text{ olacak şekilde }r\in\mathbb{Z}\text{ vardır}\}$$

alt kümelerini tanımlayalım. O halde

Her $t\in\mathbb{N}_{0}$ için $G_{t}$, $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un, $(1/p^{t})+\mathbb{Z}$ tarafından üretilen devirli alt modülüdür (Burada $G_{0}=0$ kabul ediyoruz),
$\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un her öz alt modülü bir $i\in\mathbb{N}_{0}$ için $G_{i}$'ye eşittir ve
$\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un tüm öz alt modüllerinin kümesi $$G_{0}\subset G_{1}\subset\ldots\subset G_{n}\subset G_{n+1}\subset\ldots$$
şeklinde kesin artan ve sonlanmayan bir zincir oluşturur ve bu yüzden $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ Noether olmayan bir Artin $\mathbb{Z}$-modülüdür.

$\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$'nin bir $\mathbb{Z}$-alt modülü olduğunu göstermek kolaydır. Ayrıca, $(r/p^{t})+\mathbb{Z}=r[(1/p^{t})+\mathbb{Z}]$ olduğundan, (1) kısmı açıktır.

(2) $H$, $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un bir öz alt modülü olsun. $H\neq0$ varsayabiliriz, aksi takdirde $H=G_{0}$ olur. Tanım gereği, $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}=\bigcup_{i\in\mathbb{N}_{0}}G_{i}$'dir. Ayrıca, her $n\in\mathbb{N}_{0}$ için $(1/p^{n})+\mathbb{Z}=p((1/p^{n+1})+\mathbb{Z})$ olduğundan, $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un alt modüllerinin

$$G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq\ldots\subseteq G_{n}\subseteq G_{n+1}\subseteq\ldots$$

şeklinde bir artan zincirini yazabiliriz. $H$, $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un sıfırdan farklı bir öz alt modülü ve $G_0\subset H$ olduğundan, $G_{j}\subseteq H$ olacak şekilde en büyük $j\in\mathbb{N}$ tamsayısı vardır. Eğer böyle olmasaydı, o zaman her $j\in\mathbb{N}$ için $n_{j}\geq j$ ve $G_{n_{j}}\subseteq H$ olacak şekilde $n_{j}\in\mathbb{N}$ olurdu ki bu durumda $G_{j}\subseteq H$ olurdu ve bu da $H=\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ çelişkisine yol açardı. $m$ bu en büyük tamsayı olsun. O zaman $G_{m}\subseteq H$'dir.

$H=G_{m}$ olduğunu göstereceğiz. Aksine $G_{m}\neq H$ olduğunu varsayalım. O zaman $\alpha\in H\setminus G_{m}$ vardır. Şimdi, $\alpha=(r/p^{t})+\mathbb{Z}$ olacak şekilde $r\in\mathbb{Z}$ ve $t\in\mathbb{N}_{0}$ vardır. Dikkat edilirse, $t>m$ olmalıdır, çünkü aksi halde $\alpha\in G_{m}$ olurdu. $\alpha\neq0$ olduğundan, eğer $r$'nin $p$'nin kuvveti olan bir çarpanı varsa, bu kuvvet $p^{t}$'den küçük olmalıdır. Buradan, genelliği bozmadan, $r\notin p\mathbb{Z}$, yani $(r,p^{t})=1$ alabiliriz. O zaman $ar+bp^{t}=1$ olacak şekilde $a,b\in\mathbb{Z}$ vardır ve böylece $$\frac{1}{p^{t}}+\mathbb{Z}=\frac{ar}{p^{t}}+\mathbb{Z}=a\alpha\in H$$

olur. Bu durumda

$$G_{t}=\left(\frac{1}{p^{t}}+\mathbb{Z}\right)\mathbb{Z}\subseteq H$$

olur, ki $t>m$ olduğundan bu da $m$'nin seçimiyle çelişir. Dolayısıyla iddia edildiği gibi $H=G_{m}$'dir.

(3) Her $i\in\mathbb{N}_{0}$ için $(1/p^{i+1})+\mathbb{Z}\notin G_{i}$ olduğunu göstereceğiz. Dikkat edilirse, eğer $(1/p^{i+1})+\mathbb{Z}\in G_{i}$ olsaydı, o zaman

$$\frac{1}{p^{i+1}}-\frac{r}{p^{i}}\in\mathbb{Z}$$

olacak şekilde bir $r\in\mathbb{Z}$ olurdu ve bu da $1-rp\in p^{i+1}\mathbb{Z}$ olmasını gerektirirdi, ki bu bir çelişkidir. Dolayısıyla

$$G_{0}\subset G_{1}\subset\ldots\subset G_{n}\subset G_{n+1}\subset\ldots.$$

zincirinde hiçbir terim eşit olamaz. Bu, özel olarak, $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un bir Noether $\mathbb{Z}$-modülü olmadığını gösterir. Diğer yandan, yukarıdaki zincir $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un öz alt modüllerinin toplam listesini oluşturduğundan, $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$'un alt modüllerinin herhangi bir azalan zinciri, esasen (belki ilk terim hariç) bazı $G_{i}$'lere eşit olan sadece sonlu sayıda alt modül içerir. Böylece, $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ bir Artin $\mathbb{Z}$-modülüdür.

Önerme 4.1

$K$ bir cisim ve $V$, $K$ üzerinde bir vektör uzayı olsun. O zaman aşağıdaki ifadeler denktir:

$V$, sonlu boyutlu bir $K$-uzayıdır;
$V$ bir Noether $K$-modülüdür;
$V$ bir Artin $K$-modülüdür.

Kanıt

Alt uzayların boyutlarını karşılaştırarak, sonlu boyutlu bir vektör uzayındaki herhangi bir alt uzay zincirinin sonlu sayıda terime sahip olacağını görebiliriz. Bu hem (1)$\Rightarrow$(2) hem de (1)$\Rightarrow$(3) gerektirmelerini doğrular. (2)$\Rightarrow$(1) ve (3)$\Rightarrow$(1) gerektirmeleri için, $V$'nin sonlu boyutlu olmadığını varsayalım ve $V$'nin bir $K$-uzayı olarak ne Noether ne de Artin olduğunu gösterelim. $\{v_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$, $V$'nin lineer bağımsız bir alt kümesi olsun. Aşağıdaki alt uzayları tanımlayalım:

$$L_{n}:=\bigoplus_{i=1}^{n}Kv_{i}\text{ ve }M_{n}:=\bigoplus_{i=n+1}^{\infty}Kv_{i}.$$

Şimdi, $V$'nin alt uzaylarının kesin artan

$$L_{1}\subset L_{2}\subset\ldots\subset L_{n}\subset L_{n+1}\subset\ldots$$

zincirine ve kesin azalan

$$M_{1}\supset M_{2}\supset\ldots\supset M_{n}\supset M_{n+1}\supset\ldots$$

zincirine sahibiz. Bu ise $V$'nin ne Noether ne de Artin $K$-modülü olduğunu gösterir.

Önerme 4.2

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. $M$'nin Noether olması için gerek ve yeter koşul $M$'nin her alt modülünün sonlu üretilmiş olmasıdır.

Kanıt

($\Rightarrow$) $N$, $M$'nin bir alt modülü olsun. $N$'nin sonlu üretilmediğini varsayalım. $\Gamma$, $N$'nin sonlu üretilmiş tüm alt modüllerinin kümesi olsun. $0\in\Gamma$ olduğundan $\Gamma\neq\emptyset$. $N$'nin her alt modülü aynı zamanda $M$'nin bir alt modülü olduğundan, $M$'nin sağladığı maksimal koşul gereği ($M$ Noether olduğundan), $\Gamma$'nın kapsama bağıntısına göre bir maksimal elemanı vardır. Bu maksimal eleman $L$ olsun. $N$ sonlu üretilmediğinden $L\subset N$ olur. $n\in N\setminus L$ olsun. O zaman $L+Rn$, $N$'nin sonlu üretilmiş bir alt modülüdür ve $n\in(L+Rn)\setminus N$ olduğundan $L\subset L+Rn$'dir. Fakat bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $N$ sonlu üretilmiş olmalıdır.

($\Leftarrow$)

$$L_{1}\subseteq L_{2}\subseteq\ldots\subseteq L_{n}\subseteq L_{n+1}\subseteq\ldots$$ $M$'nin alt modüllerinin bir artan zinciri olsun. O zaman $G=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}L_{i}$, $M$'nin bir alt modülüdür. Hipotez gereği $G$'yi üreten $g_{1},\ldots,g_{t}$ şeklinde sonlu tane elemanı vardır. O zaman $g_{1},\ldots,g_{t}\in L_{n}$ olacak şekilde yeterince büyük bir $n\in\mathbb{N}$ olmalıdır. Buradan $$G=\sum_{i=1}^{t}Rg_{i}\subseteq L_{n}\subseteq L_{n+1}\subseteq\ldots\subseteq G$$

olur. Dolayısıyla her $i\in\mathbb{N}$ için $L_{n}=L_{n+i}$'dir. Dolayısıyla $M$ Noether bir $R$-modülüdür.

Önerme 4.3

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül ve $N$, $M$'nin bir alt modülü olsun. O zaman $M$'nin Noether (resp. Artin) olması için gerek ve yeter koşul hem $N$'nin hem de $M/N$'nin Noether (resp. Artin) olmasıdır. Başka bir deyişle, $$0\longrightarrow N\longrightarrow M\longrightarrow M/N\longrightarrow0$$

kısa tam dizisi için $M$'nin Noether (resp. Artin) olması için gerek ve yeter koşul $N$ ve $M/N$'nin Noether (resp. Artin) olmasıdır.

Kanıt

$M$'nin $R$-modülü olarak Noether olduğunu varsayalım. $N$'nin her alt modülü aynı zamanda $M$'nin bir alt modülü olduğundan, $N$'nin de bir Noether $R$-modülü olduğu açıktır. Ayrıca, $M/N$'in alt modüllerinin herhangi bir artan zinciri $$N_{1}/N\subseteq N_{2}/N\subseteq\ldots\subseteq N_{i}/N\subseteq N_{i+1}/N\subseteq\ldots,$$

formunda olmalıdır, burada

$$N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq\ldots\subseteq N_{i}\subseteq N_{i+1}\subseteq\ldots$$ $M$'nin $N$'yi içeren alt modüllerinin bir artan zinciridir. İkinci zincir durmak zorunda olduğundan, ilki de durmalıdır. $M$'nin Artin olduğu durum benzer şekilde ele alınabilir.

Şimdi hem $N$'nin hem de $M/N$'in Noether olduğunu varsayalım.

$$L_{1}\subseteq L_{2}\subseteq\ldots\subseteq L_{i}\subseteq L_{i+1}\subseteq\ldots$$ $M$'nin alt modüllerinin artan bir zinciri olsun. $N$'nin alt modüllerinin $$N\cap L_{1}\subseteq N\cap L_{2}\subseteq\ldots\subseteq N\cap L_{i}\subseteq N\cap L_{i+1}\subseteq\ldots$$

artan zincirini ve $M/N$'nin alt modüllerinin

$$(N+L_{1})/N\subseteq(N+L_{2})/N\subseteq\ldots\subseteq(N+L_{i})/N\subseteq(N+L_{i+1})/N\subseteq\ldots$$

artan zincirini düşünelim. Hem $N$ hem de $M/N$ Noether olduğundan, öyle $n,m\in\mathbb{N}$ vardır ki her $i,j\in\mathbb{N}_{0}$ için

$$N\cap L_{n}=N\cap L_{n+i} \quad \text{ve} \quad N+L_{m}=N+L_{m+j}$$

eşitlikleri sağlanır. $k=\max\{n,m\}$ olsun. Her $i\in\mathbb{N}_{0}$ için $L_{k}=L_{k+i}$ olduğunu göstereceğiz. Zaten $L_{k}\subseteq L_{k+i}$ olduğunu biliyoruz. Tersine, $l\in L_{k+i}$ olsun.

$$l\in L_{k+i}\subseteq N+L_{k+i}=N+L_{k}$$

olduğundan, $l=a+b$ olacak şekilde $a\in N$ ve $b\in L_{k}$ vardır. Buradan

$$a=l-b\in N\cap L_{k+i}=N\cap L_{k},$$

olur, böylece hem $a$ hem de $b$, $L_{k}$ içindedir ve $l=a+b\in L_{k}$'dir. Bu nedenle $L_{k+i}\subseteq L_{k}$ ve dolayısıyla her $i\in\mathbb{N}_{0}$ için $L_{k}=L_{k+i}$'dir. Hem $N$ hem de $M/N$'nin Artin olduğu durumun kanıtı da benzer şekilde verilebilir.

Sonuç 4.4

$M_{1},\ldots,M_{n}$ değişmeli bir $R$ halkası üzerinde modüller olsun. O zaman $\bigoplus_{i=1}^{n}M_{i}$ direkt toplamının Noether (Artin) olması için gerek ve yeter koşul $M_{1},\ldots,M_{n}$ modüllerinin hepsinin Noether (Artin) olmasıdır.

Kanıt

$M_{1},\ldots,M_{n}$'nin hepsinin Noether (Artin) olduğunu varsayalım. $\bigoplus_{i=1}^{n}M_{i}$'nin Noether (Artin) olduğunu tümevarım kullanarak kanıtlayacağız. $n=1$ için iddia açıktır. $n>1$ ve $\bigoplus_{i=1}^{n-1}M_{i}$'nin Noether (Artin) olsun. Buna göre $$0\longrightarrow\bigoplus_{i=1}^{n-1}M_{i}\longrightarrow\bigoplus_{i=1}^{n}M_{i}\longrightarrow M_{n}\longrightarrow0$$

kısa tam dizisinin kenarları Noether (Artin) modüllerdir. Dolayısıyla dizinin ortasındaki $\bigoplus_{i=1}^{n}M_{i}$ modülü de Noether (Artin) olmalıdır.

Tersine, $\bigoplus_{i=1}^{n}M_{i}$'nin Noether (Artin) olduğunu varsayarsak, her $i=1,\ldots,n$ için $M_{i}\le \bigoplus_{i=1}^{n}M_{i}$ olduğundan, $M_{i}$'nin Noether (Artin) olduğunu görebiliriz.

Sonuç 4.5

$R$ değişmeli bir halka olsun. Eğer $R$ Noether (resp. Artin) ise, o zaman her sonlu üretilmiş $R$-modülü Noetherdir (resp. Artindir).

Kanıt

$M$, $R$'nin sonlu üretilmiş bir modülü olsun. Kabul edelim ki $M=Rm_1+\cdots+Rm_k$ olsun. Kolayca görülebilir ki $$\begin{array}{lccc} f: & R^k & \longrightarrow & M \\ &(r_1,\ldots,r_k) & \longmapsto & r_1m_1+\cdots+r_km_k \end{array}$$

bir $R$-modül epimorfizmasıdır. $R$ bir Noether halkası olduğundan $R^k$ bir Noether (Artin) $R$-modülü olur. Böylece $M$ de bir Noether (Artin) $R$-modülü olur.

Lemma 4.6

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül ve $m\in M$ olsun. O zaman her $r\in R$ için $f(r+(0:m))=rm$ olacak şekilde bir $$f:R/(0:m)\longrightarrow Rm$$ $R$-modül izomorfizması vardır. Ayrıca, $M$'nin devirli olması için gerek ve yeter koşul $M$'nin $R$'nin bir $I$ ideali için $R/I$ formundaki bir $R$-modülüne izomorf olmasıdır.

Kanıt

$R/(0:m)$'den $Rm$'ye tanımlanan $f$ dönüşümünün iyi tanımlandığını görmek kolaydır. Ayrıca $f$'nin bir $R$-modül homomorfizması olduğunu göstermek de kolaydır. $f$'nin birebir olduğunu göstermek için, $r+(0:m)\in\ker(f)$ alalım. O zaman $rm=0$ olur, yani $r\in(0:m)$'dir ve bu da $r+(0:m)=0+(0:m)$ demektir. Dolayısıyla $f$ birebirdir. $f$'nin örten olduğunu göstermek için, $rm\in Rm$ olsun. O zaman $f(r+(0:m))=rm$ olur. Böylece $f$ bir izomorfizmadır.

$M$'nin devirli olması için gerek ve yeter koşulun $M$'nin $R$'nin bir $I$ ideali için $R/I$ formundaki bir $R$-modülüne izomorf olması olduğunu göstermek için önce $M$'nin devirli olduğunu varsayalım. O zaman $M=Rm$ olacak şekilde bir $m\in M$ vardır. Böylece $f:R/(0:m)\to M$, $r+(0:m)\mapsto rm$ dönüşümü bir izomorfizmadır. Buna göre $I=(0:m)$ için $M\cong R/I$'dir.

Tersine, $R$'nin bir $I$ ideali için $M\cong R/I$ olduğunu varsayalım. $R/I$'nın $R$-modülü olarak $1+I$ ile üretilen bir devirli olduğundan $M$ de devirlidir.

Not 4.1

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül ve $I$, $R$'nin $I\subseteq\operatorname{ann}(M)$ olacak şekilde bir ideali olsun. O zaman $M$ aynı zamanda bir $(R/I)$-modülüdür ve $M$'nin bir alt kümesinin $M$'nin bir $R$-alt modülü olması için gerek ve yeter koşul $M$'nin bir $(R/I)$-alt modülü olmasıdır. Buradan $M$'nin bir $R$-modülü olarak Noether (resp. Artin) olması için gerek ve yeter koşulun bir $(R/I)$-modülü olarak Noether (resp. Artin) olması olduğu sonucu çıkar.

Özel olarak, eğer $I$, $R$'nin bir ideali ise, $R/I$'nın $R$-modülü olarak Noether (resp. Artin) olması için gerek ve yeter koşul bir Noether (resp. Artin) halkası olmasıdır.

Teorem 4.7

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. Aşağıdakiler sağlanır:

Eğer $M$ bir Noether $R$-modülü ise, o zaman $R/\operatorname{ann}(M)$ bir Noether halkasıdır, ve
Eğer $M$ sonlu üretilmiş bir Artin $R$-modülü ise, o zaman $R/\operatorname{ann}(M)$ bir Artin halkasıdır.

Not 4.2

Yukarıdaki teoremin (1). kısmının şunu gösterdiğine dikkat ediniz: Eğer değişmeli halkalar üzerinde Noether modüller çalışılacaksa, o zaman kişi kendini değişmeli Noether halkalar üzerindeki sonlu üretilmiş modülleri çalışmakla sınırlayabilir çünkü $M$ aynı zamanda $R/\operatorname{ann}(M)$ üzerinde sonlu üretilmiş bir modüldür ve $M$'nin bir alt kümesinin $M$'nin bir $R$-alt modülü olması için gerek ve yeter koşul $M$'nin bir $(R/\operatorname{ann}(M))$-alt modülü olmasıdır.

📝 Ödev 4.3 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 12.04.2026 23:59

Teorem 4.7'yi kanıtlayınız.

📝 Ödev 4.4 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 12.04.2026 23:59

$\mathbb{Q}$ hakkında ne söyleyebiliriz? Bir $\mathbb{Z}$-modülü olarak Noether midir yoksa Artin midir?
Yukarıdaki maddede sorulan soruyu $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ için cevaplayınız.

Teorem 4.8

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun ve $G$'nin $R$'nin sonlu sayıda (mutlaka farklı olması gerekmeyen) maksimal idealinin çarpımı tarafından sıfırlandığını, yani $$\mathfrak{M}_{1}\ldots\mathfrak{M}_{n}G=0$$

olacak şekilde $n\in\mathbb{N}$ ve $R$'nin $\mathfrak{M}_{1},\ldots,\mathfrak{M}_{n}$ maksimal ideallerinin var olduğunu varsayalım. O zaman $G$'nin bir Noether $R$-modülü olması için gerek ve yeter koşul $G$'nin bir Artin $R$-modülü olmasıdır.

Kanıt

$n$ üzerine tümevarım kullanacağız. $n=1$ olsun. O zaman $\mathfrak{M}G=0$ olacak şekilde $R$'nin bir $\mathfrak{M}$ maksimal ideali vardır. Buradan $G$'nin bir $R/\mathfrak{M}$-uzayı olduğu sonucu çıkar. Önerme 4.1$K$ bir cisim ve $V$, $K$ üzerinde bir vektör uzayı olsun. O zaman aşağıdaki ifadeler denktir:

• $V$, sonlu boyutlu bir $K$-uzayıdır;

• $V$ bir Noether $K$-modülüdür;

• $V$ bir Artin $K$-modülüdür.
📖 Detaya Git gereği, $G$'nin bir Noether $R/\mathfrak{M}$-modülü olması için gerek ve yeter koşul bir Artin $R/\mathfrak{M}$-modülü olmasıdır. Ancak, $G$'nin $R$-alt modüllerinin kümesi $G$'nin $R/\mathfrak{M}$-alt uzaylarının kümesiyle aynı olduğundan, $G$'nin $R$-modül olarak Noether (resp. Artin) olması ile $R/\mathfrak{M}$-modülü olarak Noether (resp. Artin) olması aynı anlama gelir. Böylece $n=1$ için önermenin kanıtı tamamlanır.

Şimdi, $n>1$ olduğunu ve sonucun $n$’den küçük değerler için kanıtlandığını varsayalım. $(\mathfrak{M}_{1}\ldots\mathfrak{M}_{n-1})\mathfrak{M}_{n}G=0$ yazabildiğimizden, tümevarım hipotezi gereği, $\mathfrak{M}_{n}G$ $R$-modülünün Noether olması ile Artin olması denktir. Ayrıca, $G/\mathfrak{M}_{n}G$, $R$'nin $\mathfrak{M}_{n}$ maksimal ideali tarafından sıfırlandığından, yukarıdaki paragraftan, $G/\mathfrak{M}_{n}$'in Noether olması ile Artin olması denktir. Diğer yandan,

$$0\longrightarrow\mathfrak{M}_{n}G\longrightarrow G\longrightarrow G/\mathfrak{M}_{n}G\longrightarrow0,$$

doğal kısa tam dizisini düşünürsek, $G$ Noetherdir $\iff$ $\mathfrak{M}_{n}G$ ve $G/\mathfrak{M}_{n}G$ Noetherdir $\iff$ $\mathfrak{M}_{n}G$ ve $G/\mathfrak{M}_{n}G$ Artindir $\iff$ $G$ Artindir. Bu ise kanıtı tamamlar.

Not 4.3

Yukarıdaki teoremin yardımıyla, hem Noether hem de Artin olan birçok modül örneği bulabiliriz. Gerçekten, eğer $G$ değişmeli bir Noether $R$ halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modül ise ve $\mathfrak{M}_{1},\ldots,\mathfrak{M}_{n}$ $R$'nin maksimal idealleri ise, o zaman $G$ ve $G/\mathfrak{M}_{1}\ldots\mathfrak{M}_{n}G$ ikisi de Noetherdir. $G/\mathfrak{M}_{1}\ldots\mathfrak{M}_{n}G$, maksimal ideallerin $\mathfrak{M}_{1}\ldots\mathfrak{M}_{n}$ çarpımı tarafından sıfırlandığından, hem Noether hem de Artindir.

Tanım 4.3

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. Eğer $G\neq0$ ve $G$'nin $0$ ve $G$'nin kendisinden başka herhangi bir alt modülü yoksa $G$'ye bir basit (simple) $R$-modülü denir.

Lemma 4.9

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. O zaman $G$'nin basit bir $R$-modülü olması için gerek ve yeter koşul $G$'nin $R$'nin bir $\mathfrak{M}$ maksimal ideali için $R/\mathfrak{M}$ formundaki bir $R$-modülüne izomorf olmasıdır.

Kanıt

Önce $G$'nin basit olduğunu varsayalım. O zaman $G$ devirli bir $R$-modülüdür. Böylece $R$'nin bir $I$ ideali için $G\cong R/I$ olur. $R/I$ bir $R$-modülü olarak basit olduğundan, $I$, $R$'nin bir maksimal $R$-alt modülü (veya denk olarak maksimal ideali) olmalıdır.

Şimdi, $I$, $R$'nin bir maksimal ideali olsun. $R/I$'nın $0$ ve $R/I$'nın kendisi olmak üzere tam olarak iki ideali olduğundan, $R/I$'nın tam olarak iki alt modülü (0 ve $R/I$) vardır. Bu da kanıtı tamamlar.

Tanım 4.4

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. $G$'nin alt modüllerinin bir $$G_{0}\subset G_{1}\subset\ldots\subset G_{n-1}\subset G_{n}$$

kesin artan zincirinin uzunluğu (length), ardışık alt modüllerin arasındaki $\subset$ bağlantılarının sayısıdır, yani terim sayısının bir fazlasıdır. Tek başına $$G_{0}$$ şeklindeki bir yazımı uzunluğu 0 olan bir zincir olarak kabul ederiz.

$G$'nin alt modüllerinin $G_{0}=0$ ve $G_{n}=G$ olan bir $$G_{0}\subset G_{1}\subset\ldots\subset G_{n-1}\subset G_{n}$$

kesin artan zincirine, eğer her $i=1,\ldots,n$ için $G_{i}/G_{i-1}$ basit bir $R$-modül ise $G$ için bir kompozisyon serisi denir.

Tanım gereği, bir $G$ modülünün kompozisyon serisi, $0$'dan başlayıp $G$'de biten ve fazladan bir terim ekleyerek daha uzun bir kesin artan zincire genişletilemeyen bir alt modüller zinciridir.

Teorem 4.10

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun ve $G$'nin $n$ uzunluğunda bir kompozisyon serisine sahip olduğunu varsayalım. O zaman aşağıdakiler sağlanır:

$G$'nin alt modüllerinin, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan sonlu uzunluktaki hiçbir kesin artan zinciri $n$'den büyük uzunluğa sahip olamaz.
$G$ için her kompozisyon serisinin uzunluğu tam olarak $n$'dir.
$G$'nin alt modüllerinin, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan $n'\leq n$ uzunluğundaki her kesin artan zinciri, fazladan $n-n'$ terimin eklenmesiyle $G$ için bir kompozisyon serisine genişletilebilir.
$G$'nin alt modüllerinin, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan $n$ uzunluğundaki her kesin artan zinciri, $G$ için bir kompozisyon serisidir.

Kanıt

$n>0$ olduğunu varsayabiliriz. Bir kompozisyon serisine sahip her $R$-modül $M$ için, $M$'nin bir kompozisyon serisinin sahip olabileceği en küçük uzunluğunu $\ell(M)$ ile gösterelim. (Doğal sayıların iyi sıralı olması sayesinde böyle bir $\ell(M)$ vardır.) Eğer $M$'nin bir kompozisyon serisi yoksa $\ell(M)=\infty$ yazacağız. Öncelikle, eğer $H$, $G$'nin bir öz alt modülü ise, $\ell(H)<\ell(G)$ olduğunu gösterelim. $\ell(G)=t$ olsun ve $$0=G_{0}\subset G_{1}\subset\ldots\subset G_{t-1}\subset G_{t}=G$$ $G$ için $t$ uzunluğunda bir kompozisyon serisi olsun. Her $i=1,\ldots,t$ için $H_{i}:=H\cap G_{i}$ yazalım. O zaman, her $i=1,\ldots,t$ için, $\iota$ içerim dönüşümü ve $\pi$ kanonik izdüşüm olmak üzere, $$H_{i}=H\cap G_{i}\overset{\iota}{\longrightarrow}G_{i}\overset{\pi}{\longrightarrow}G_{i}/G_{i-1},$$

bileşke homomorfizmasının çekirdeği $H\cap G_{i}\cap G_{i-1}=H_{i-1}$'e eşit olduğundan,

\begin{eqnarray*} \psi_{i}:H_{i}/H_{i-1} & \longrightarrow & G_{i}/G_{i-1}\\ h+H_{i-1} & \longmapsto & h+G_{i-1}. \end{eqnarray*}

şeklinde bir $R$-monomorfizması vardır.

Böylece $H_{i}/H_{i-1}$, $G_{i}/G_{i-1}$'in bir alt modülüne izomorftur. $G_{i}/G_{i-1}$ basit bir $R$-modülü olduğundan, $H_{i}/H_{i-1}$ ya $0$ ya da basittir. Ayrıca $H_{i}/H_{i-1}$'in basit modül olması için gerek ve yeter koşul $\psi_{i}$'nin bir izomorfizma olmasıdır. Böylece, eğer

$$0=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\ldots\subseteq H_{t}=H\cap G_{t}=H,$$

dizisindeki tekrarları çıkarırsak, $H$ için bir kompozisyon serisini elde ederiz. Böylece $\ell(H)\leq\ell(G)$. Ayrıca, $\ell(H)<\ell(G)$ olmalıdır, aksi takdirde yukarıdaki süreç $H$ için bir kompozisyon serisi olarak

$$H_{0}\subset H_{1}\subset\ldots\subset H_{t-1}\subset H_{t}$$

zincirini verirdir, ki bu durumda her $i=1,\ldots,t$ için $H_{i}/H_{i}\cap G_{i-1}=H_{i}/H_{i-1}\neq0$ olurdu. Fakat o zaman $H_{0}=0=G_{0}$ olduğundan, ardışık olarak

$$H_{1}=G_{1},\,H_{2}=G_{2},\,\ldots,\,H_{t}=G_{t},$$

bulunurdu, ki bu da $H\subset G$ olmasıyla çelişirdi. Böylece iddia edildiği gibi $\ell(H)<\ell(G)$ olduğunu göstermiş olduk. Ayrıca $G$'nin her alt modülünün bir kompozisyon serisine sahip olduğunu gösterdiğimizi de gözden kaçırmayalım.

(1) Şimdi

$$0=G'_{0}\subset G'_{1}\subset\ldots\subset G'_{r-1}\subset G'_{r} = G$$ $G$'nin alt modüllerinin kesin artan bir zinciri olsun. $\ell(0)=0$ ve yukarıda gösterilenlerden, $$0=\ell(G'_{0})<\ell(G'_{1})<\ldots<\ell(G'_{r-1})<\ell(G'_{r})=\ell(G)$$

olur. Dolayısıyla $r\leq\ell(G)\leq n$ bulunur. Özel olarak $G$, $n$ uzunluğunda bir kompozisyon serisine sahip olduğundan ve $G$'nin herhangi bir kompozisyon serisi, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan $G$'nin alt modüllerinin kesin artan bir zinciri olduğundan, $n\leq\ell(G)$ ve böylece $n=\ell(G)$ olmalıdır.

(2) Şimdi $G$'nin $n_{1}$ uzunluğunda bir kompozisyon serisine sahip olduğunu varsayalım. O zaman (1) gereği $n_{1}\leq\ell(G)=n$'dir, çünkü bir kompozisyon serisi $0$'dan $G$'ye kesin artan bir zincirdir. Ayrıca, $\ell(G)$'nin tanımı gereği $\ell(G)\leq n_{1}$'dir.

(3) ve (4) $0$'dan $G$'ye $n'<n=\ell(G)$ uzunluğundaki kesin artan bir zincir $G$ için bir kompozisyon serisi olamaz çünkü (2) gereği $G$ için tüm kompozisyon serileri $n$ uzunluğundadır ve bu nedenle fazladan bir terim eklenerek $n'+1$ uzunluğunda kesin artan bir zincire genişletilebilir; diğer yandan, $0$'dan $G$'ye $n$ uzunluğundaki kesin artan bir alt modül zinciri $G$ için zaten bir kompozisyon serisi olmalıdır, aksi takdirde (1)'e aykırı olarak $n+1$ uzunluğunda kesin artan bir alt modül zincirine genişletilebilirdi.

Tanım 4.5

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. Eğer $G$ bir kompozisyon serisine sahipse, $G$'nin sonlu uzunluğa sahip olduğunu söyleriz. Bu durumda, $\ell(G)$ ile gösterilen $G$'nin uzunluğu, $G$ için herhangi bir kompozisyon serisinin uzunluğu olarak tanımlanır. $G$ sonlu uzunluğa sahip olmadığında, yani $G$'nin hiçbir kompozisyon serisi olmadığında, $\ell(G)=\infty$ yazarız.

Önerme 4.11

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. O zaman $G$'nin sonlu uzunluğa sahip olması için gerek ve yeter koşul $G$'nin hem Noether hem de Artin olmasıdır.

Kanıt

($\Rightarrow$): $G$ sonlu uzunluğa sahip olsun. $\ell(G)=n$ alalım. O zaman Teorem 4.10$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun ve $G$'nin $n$ uzunluğunda bir kompozisyon serisine sahip olduğunu varsayalım. O zaman aşağıdakiler sağlanır:

• $G$'nin alt modüllerinin, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan sonlu uzunluktaki hiçbir kesin artan zinciri $n$'den büyük uzunluğa sahip olamaz.

• $G$ için her kompozisyon serisinin uzunluğu tam olarak $n$'dir.

• $G$'nin alt modüllerinin, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan $n'\leq n$ uzunluğundaki her kesin artan zinciri, fazladan $n-n'$ terimin eklenmesiyle $G$ için bir kompozisyon serisine genişletilebilir.

• $G$'nin alt modüllerinin, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan $n$ uzunluğundaki her kesin artan zinciri, $G$ için bir kompozisyon serisidir.
📖 Detaya Git gereği, herhangi bir kesin artan zincir en fazla $n$ uzunluğuna sahip olmalıdır. Böylece herhangi bir kesin artan zincir durağan olmalıdır, yani $G$ Noetherdir. Benzer şekilde, $G$'nin alt modüllerinin herhangi bir kesin azalan zinciri de durağandır ve bu nedenle $G$ aynı zamanda Artindir.

($\Leftarrow$): $G$'nin hem Noether hem de Artin olduğunu varsayalım.

$$\Phi:=\{H\leq G:\ell(H)<\infty\}$$

kümesini tanımlayalım. $0\in\Phi$ olduğundan $\Phi\neq\emptyset$. $G$ Noether olduğundan (veya başka bir deyişle, $G$'nin boş olmayan herhangi bir alt modül kümesi kapsama bağıntısına göre bir maksimal elemana sahip olduğundan) $\Phi$'nin bir maksimal elemanı, diyelim ki $H$, vardır. $H=G$ olduğunu göstereceğiz. Aksine, $H$'nin $G$'nin bir öz alt modülü olduğunu varsayalım. $H\in\Phi$ olduğundan, $H$'nin bir kompozisyon serisi vardır. $\ell(H)=n$ ve

$$0=H_{0}\subset H_{1}\subset\ldots\subset H_{n}=H$$ $H$ için bir kompozisyon serisi olsun. $G$ Artin olduğundan, $G/H$ de sıfırdan farklı bir Artin modülüdür. Buna göre $G/H$ bölüm modülünün basit bir alt modülü, diyelim ki $H'/H$, vardır. O zaman $$0=H_{0}\subset H_{1}\subset\ldots\subset H_{n}\subset H'$$ $H'$ için bir kompozisyon serisi olur, ki bu da $H$'nin maksimalliği ile çelişir. Dolayısıyla $H=G$ ve dolayısıyla $\ell(G)<\infty$ elde edilir.

Tanım 4.6

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. $G$'nin sonlu uzunluğa sahip olduğunu varsayalım. $$\label{1} 0=G_{0}\subset G_{1}\subset\ldots\subset G_{n-1}\subset G_{n}=G\tag{1}$$ $G$ için bir kompozisyon serisi olsun (böylece $\ell(G)=n$). O zaman $\{G_{i}/G_{i-1}:i=1,\ldots,n\}$ basit $R$-modüller kümesine \eqref{1} kompozisyon serisinin kompozisyon faktörleri kümesi denir. $G=0$ ise bu kümenin boş olduğuna dikkat ediniz.

Şimdi $G\neq0$ olduğunu ve

$$\label{2} 0=G'_{0}\subset G'_{1}\subset\ldots\subset G'_{n-1}\subset G'_{n}=G \tag{2}$$

zincirinin $G$ için başka bir kompozisyon serisi olduğunu varsayalım. Eğer her $i=1,\ldots,n$ için,

$$G_{i}/G_{i-1}\cong G'_{\sigma(i)}/G'_{\sigma(i)-1}$$

olacak şekilde $\{1,\ldots,n\}$ tamsayı kümesinin bir $\sigma$ permütasyonu varsa, o zaman, $G$'nin \eqref{1} ve \eqref{2} kompozisyon serisilerinin birbirine izomorf olduğunu söyleriz.

Bir faktör modülünün basitliğini maksimal alt modüller üzerinden yorumlamak oldukça yararlıdır. Bir $G$ modülü ve $G$'nin bir $H$ alt modülü için, eğer $H\neq G$ ve $H$ ile $G$ arasında kesin olarak yer alan $G$'nin hiçbir alt modülü yoksa, $H$'ye $G$'nin bir maksimal alt modülü deriz. Dikkat edilirse, $G/H$ bölüm modülünün basit olması için gerek ve yeter koşul, $H$'nin $G$'nin bir maksimal alt modülü olmasıdır.

Lemma 4.12

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül ve $H,H'$, hem $G/H$ hem de $G/H'$ birer basit modül olacak şekilde $G$'nin birbirinden farklı iki alt modülü olsun. O zaman $$G/H\cong H'/(H\cap H')\qquad\text{ve}\qquad G/H'\cong H/(H\cap H').$$

Kanıt

$H=H+H'$ olduğunu varsayalım. O zaman $H'\subseteq H$ olur. $G/H'$ basit olduğundan, $H'$, $G$'nin bir maksimal alt modülüdür. Ayrıca $G/H$ basit olduğundan, $H\neq G$ ve dolayısıyla, $H'$'nün maksimalliğinden, $H=H'$ olur, ki bu da bir çelişkidir. Şimdi, modüller için Üçüncü İzomorfizma Teoremi sayesinde, $H+H'=G$ olduğunu göstermek yeterlidir. Ancak bu kolayca görülür çünkü $H\subset H+H'$ ve $H$, $G$'nin maksimal bir alt modülüdür.

Teorem 4.13: Jordan-Hölder Teoremi

$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde sonlu uzunlukta sıfırdan farklı bir modül olsun. O zaman $G$'nin herhangi bir kompozisyon serisi çifti izomorftur.

Kanıt

$G\neq0$ olduğundan, $n:=\ell(G)\geq1$ olur. $n$ üzerine tümevarım kullanacağız. $n=1$ olduğunda iddia açıktır, bu yüzden $n>1$ olduğunu ve sonucun $n$’den küçük değerler için kanıtlandığını varsayalım. $$0=G_{0}\subset G_{1}\subset\ldots\subset G_{n-1}\subset G_{n}=G \tag{1}$$

$$0=G'_{0}\subset G'_{1}\subset\ldots\subset G'_{n-1}\subset G'_{n}=G \tag{2}$$ $G$ için iki kompozisyon serisi olsun. İlk olarak $G_{n-1}=G'_{n-1}$ olduğunu varsayalım. O zaman $$G_{n}/G_{n-1}=G'_{n}/G'_{n-1}$$

olur ve hem

$$G_{0}\subset G_{1}\subset\ldots\subset G_{n-1}$$

hem de

$$G'_{0}\subset G'_{1}\subset\ldots\subset G'_{n-1}$$ $G_{n-1}=G'_{n-1}$ için kompozisyon serileridir. $\ell(G_{n-1})=n-1$ olduğundan, tümevarım hipotezini $G_{n-1}$ için bu iki kompozisyon serisine uygulayabiliriz ve bu durumda istenen sonuç kolayca çıkar.

Şimdi $G_{n-1}\neq G'_{n-1}$ olduğunu varsayalım. $H:=G_{n-1}\cap G'_{n-1}$ yazalım. O zaman, yukarıdaki lemmadan,

$$G_{n}/G_{n-1}\cong G'_{n-1}/H\qquad\text{ve}\qquad G'_{n}/G'_{n-1}\cong G_{n-1}/H,$$

izomorfizmalarını yazabiliriz. Böylece bu modüllerin dördü de basittir. Eğer $H=0$ ise (böylece hem $G_{n-1}$ hem de $G'_{n-1}$ basit modüller ve $n=2$ olur), istenen sonuç elde edilmiş olur. O yüzden $H\neq0$ olduğunu varsayalım.

Bu durumda,

$$0\subset H\subset G_{n-1}\subset G_{n}$$ $G$'nin alt modüllerinin kesin artan bir zinciridir ve hem $G_{n}/G_{n-1}$ hem de $G_{n-1}/H$ basittir. Şimdi, Teorem 4.10$G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun ve $G$'nin $n$ uzunluğunda bir kompozisyon serisine sahip olduğunu varsayalım. O zaman aşağıdakiler sağlanır:

• $G$'nin alt modüllerinin, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan sonlu uzunluktaki hiçbir kesin artan zinciri $n$'den büyük uzunluğa sahip olamaz.

• $G$ için her kompozisyon serisinin uzunluğu tam olarak $n$'dir.

• $G$'nin alt modüllerinin, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan $n'\leq n$ uzunluğundaki her kesin artan zinciri, fazladan $n-n'$ terimin eklenmesiyle $G$ için bir kompozisyon serisine genişletilebilir.

• $G$'nin alt modüllerinin, ilk terimi $0$ ve son terimi $G$ olan $n$ uzunluğundaki her kesin artan zinciri, $G$ için bir kompozisyon serisidir.
📖 Detaya Git (3) gereği, yukarıdaki zincir $G$ için bir kompozisyon serisine genişletilebilir. Ayrıca $\ell(H)=n-2$ dir. Özel olarak, $H$ için $$0=H_{0}\subset H_{1}\subset\ldots\subset H_{n-3}\subset H_{n-2}=H$$

şeklinde bir kompozisyon serisi yazabiliriz.

Buna göre $G$'nin

$$H_{0}\subset H_{1}\subset\ldots\subset H_{n-3}\subset H_{n-2}\subset G_{n-1}\subset G_{n} \tag{1'}$$

$$H_{0}\subset H_{1}\subset\ldots\subset H_{n-3}\subset H_{n-2}\subset G'_{n-1}\subset G'_{n} \tag{2'}$$

kompozisyon serileri izomorftur. Diğer yandan, tümevarım hipotezini $G_{n-1}$ için uygulayarak,

$$G_{0}\subset G_{1}\subset\ldots\subset G_{n-1}\subset G_{n} \tag{1}$$

$$H_{0}\subset H_{1}\subset\ldots\subset H_{n-3}\subset H_{n-2}\subset G_{n-1}\subset G_{n} \tag{1'}$$

kompozisyon serilerinin izomorf olduğunu görebiliriz. Benzer şekilde,

$$H_{0}\subset H_{1}\subset\ldots\subset H_{n-3}\subset H_{n-2}\subset G'_{n-1}\subset G'_{n} \tag{2'}$$

$$G'_{0}\subset G'_{1}\subset\ldots\subset G'_{n-1}\subset G'_{n} \tag{2}$$

kompozisyon serileri de izomorftur. Dolayısıyla $G$'nin (1), (1'), (2) ve (2') kompozisyon serileri birbirine izomorftur ve böylece istenen sonuç elde edilir.

Not 4.4

$M$ ve $M'$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde iki izomorf modül olsun. $M$ ve $M'$'nün alt modülleri kapsamayı koruyan birebir bir eşleşme içinde olduklarından, $M$'nin Noether (resp., Artin) olması için gerek ve yeter koşulun $M'$'nün Noether (resp. Artin) olması olduğu açıktır. Buradan $M$'nin sonlu uzunluğa sahip olması için gerek ve yeter koşulun $M'$'nün sonlu uzunluğa sahip olması olduğu ve bu durumda $\ell(M)=\ell(M')$ olduğu sonucu çıkar.

Önerme 4.14

$R$ değişmeli bir halka ve $$0\longrightarrow L\overset{f}{\longrightarrow}M\overset{g}{\longrightarrow}N\longrightarrow0$$ $R$-modüllerin bir kısa tam dizisi olsun. O zaman $M$'nin sonlu uzunluğa sahip olması için gerek ve yeter koşul $L$ ve $N$'nin ikisinin de sonlu uzunluğa sahip olmasıdır. Ayrıca eğer $L$, $M$ ve $N$'nin hepsi sonlu uzunluğa sahipse, o zaman $$\ell(M)=\ell(L)+\ell(N)$$

eşitliği sağlanır.

Kanıt

$M$'nin sonlu uzunluğa sahip olması için gerek ve yeter koşulun hem Noether hem de Artin olması olduğunu biliyoruz. Bu ise ancak ve ancak $L$ ve $N$'nin ikisinin de hem Noether hem de Artin olması durumunda geçerlidir. Böylece önermenin ilk kısmı kanıtlanır.

Önermenin geri kalanı için, $L\cong\operatorname{Im} f=\ker g$ ve Birinci İzomorfizma Teoremi ile $M/\ker g\cong N$ olduğunu göz önünde bulundurarak, $\ker g$ ve $M/\ker g$'nin sonlu uzunluğa sahip birer modül olduğunu, ek olarak, $\ell(L)=\ell(\ker g)$ ve $\ell(N)=\ell(M/\ker g)$ olduğunu söyleyebiliriz. Dolayısıyla, eğer $M$ sonlu uzunluğa sahipse ve $G$, $M$'nin bir alt modülü ise, $\ell(M)=\ell(G)+\ell(M/G)$ olduğunu göstermek yeterlidir. Bu eşitlik $G=0$ veya $G=M$ için açıktır. Bu yüzden $G\neq0$ ve $G\neq M$ olduğunu varsayalım. O zaman $M$'nin alt modüllerinin

$$0\subset G\subset M$$

kesin artan zinciri $M$ için bir kompozisyon serisine genişletilebilir. Diyelim ki $\ell(M)=n$ olmak üzere

$$0=M_{0}\subset M_{1}\subset\ldots\subset M_t=G\subset M_{t+1}\subset\ldots\subset M_{n-1}\subset M_{n}=M,$$ $M$'nin bir kompozisyon serisi olsun. Bu durumda, $$0=M_{0}\subset M_{1}\subset\ldots\subset M_{t} = G$$

$$M_{t}/G\subset M_{t+1}/G\subset\ldots\subset M_{n}/G$$

zincirleri, sırasıyla, $G$ ve $M/G$ için birer kompozisyon serisidir. Dolayısıyla $\ell(G)+\ell(M/G)=t+(n-t)=n=\ell(M)$ olur.

Önerme 4.15

$V$, bir $K$ cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. O zaman $V$'nin sonlu boyutlu bir $K$-uzayı olması için gerek ve yeter koşul sonlu uzunlukta bir $K$-modülü olmasıdır. Bu durumda $\dim_{K}V=\ell(V)$ olur.

Kanıt

Önerme 4.11 $G$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. O zaman $G$'nin sonlu uzunluğa sahip olması için gerek ve yeter koşul $G$'nin hem Noether hem de Artin olmasıdır.
📖 Detaya Git'den, $V$'nin sonlu boyutlu olması için gerek ve yeter koşulun $V$'nin bir $K$-modülü olarak artan veya azalan (ve dolayısıyla her iki) zincir koşullarını sağlaması olduğunu biliyoruz. Böylece, Önerme 4.1$K$ bir cisim ve $V$, $K$ üzerinde bir vektör uzayı olsun. O zaman aşağıdaki ifadeler denktir:

• $V$, sonlu boyutlu bir $K$-uzayıdır;

• $V$ bir Noether $K$-modülüdür;

• $V$ bir Artin $K$-modülüdür.
📖 Detaya Git'den önermenin ilk kısmı elde edilir.

İkinci kısım için $\dim_{K}(V)=n$ olduğunu varsayalım ve $n$ üzerine tümevarım yapalım. $n=0$ olduğunda $V=0$'dır ve bu durum için kanıtlanacak bir şey yoktur. $n=1$ olduğunda, $V$'nin $0$ ve kendisinden başka alt uzayı yoktur ve bu yüzden $0\subset V$, $V$ için bir kompozisyon serisidir. Böylece $\ell(V)=1$ olur. Şimdi $n>1$ olsun ve sonucun $n$'den küçük değerler için kanıtlandığını varsayalım. $v\in V$, $v\neq0$ olsun. $U=Kv$ olsun. $\dim_{K}(U)=1$ ve $\dim_{K}(V)=\dim_{K}(U)+\dim_{K}(V/U)$ olduğundan, $\dim_{K}(V/U)=n-1$ olmalıdır. Tümevarım hipotezi gereğince $\ell(U)=1$ ve $\ell(V/U)=n-1$ olacağından yukarıdaki önerme ile $$\ell(V)=\ell(U)+\ell(V/U)=1+n-1=n,$$

buluruz. Dolayısıyla $\dim_{K}(V)=\ell(V)$ olur.

📝 Ödev 4.5 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 19.04.2026 23:59

$$0\longrightarrow G_{n}\overset{d_{n}}{\longrightarrow}G_{n-1}\longrightarrow\cdots\longrightarrow G_{i}\overset{d_{i}}{\longrightarrow}G_{i-1}\longrightarrow\cdots\longrightarrow G_{1}\overset{d_{1}}{\longrightarrow}G_{0}\longrightarrow0$$

değişmeli $R$ halkası üzerindeki modüllerin bir tam dizisi olsun ($n\in\mathbb{N}$ ve $n>1$). Her $i=1,\ldots,n-1$ için $G_{i}$'nin sonlu uzunluğa sahip olduğunu varsayalım. O zaman $G_{0}$ ve $G_{n}$'in sonlu uzunluğa sahip olduğunu ve

$$\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\ell(G_{i})=0$$

eşitliğinin sağlandığını gösteriniz.

📝 Ödev 4.6 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 19.04.2026 23:59

$G$, aşikar olmayan değişmeli bir Noether $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. Gösteriniz ki $G$'nin sonlu uzunluğa sahip olması için gerek ve yeter koşul,

$G$ sonlu üretilmiş modüldür ve
$$\mathfrak{M}_{1}\ldots\mathfrak{M}_{n}G=0$$
olacak şekilde $R$'nin (mutlaka farklı olması gerekmeyen) $\mathfrak{M}_{1},\ldots,\mathfrak{M}_{n}$ maksimal idealleri vardır.

📝 Ödev 4.7 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 19.04.2026 23:59

$R$, cisim olmayan bir EİB olsun. $G$ bir $R$-modülü olsun. Gösteriniz ki $G$ sonlu uzunluğa sahiptir ancak ve ancak $G$ sonlu üretilmiştir ve $rG=0$ olacak şekilde sıfırdan farklı bir $r\in R$ vardır.