Değişmeli Noether Halkaları

Bu bölümde değişmeli Noether halkaları ile ilgili bazı önemli sonuçları göreceğiz. Değişmeli Noether halkaları, değişmeli halkalar arasında önemli bir sınıf oluşturur ve birçok önemli özelliğe sahiptirler. Bu halkalar, özellikle cebirsel geometri ve sayılar teorisi gibi alanlarda sıkça karşımıza çıkarlar. Önemli sonuçlar arasında literatürde iyi bilinen Hilbert'in Taban Teoremi, Artin-Rees Lemması ve Krull Kesişim Teoremi gibi sonuçlar yer alır. Bu sonuçlar, Noether halkalarının yapısını ve özelliklerini anlamamıza yardımcı olur ve bu halkaları diğer halkalara göre özel kılar.

Genel Özellikler

$R$ bir değişmeli halka olsun. Önceki bölümde de söylendiği gibi $R$'nin bir Noether halkası olması, kendisi üzerinde modül olarak düşünüldüğünde bir Noether $R$-modülü olması demektir. Buna göre önceki bölümde verilen sonuçlardan dolayı aşağıdakiler denktir:

$R$ bir Noether halkasıdır.
$R$'nin ideallerinin herhangi bir artan zinciri durağandır.
$R$'nin ideallerinin her boştan farklı ailesinin kapsama bağıntısına göre bir maksimal elemanı vardır.
$R$'nin her ideali sonlu üretilmiştir.
$R$'nin herhangi bir $I$ ideali için $I$ ve $R/I$'nın her ikisi de Noether $R$-modülleridir.

Benzer şekilde, $R$'nin bir Artin halkası olması, kendisi üzerinde modül olarak düşünüldüğünde bir Artin $R$-modülü olması demektir. Buna göre önceki bölümde verilen sonuçlardan dolayı aşağıdakiler denktir:

$R$ bir Artin halkasıdır.
$R$'nin ideallerinin herhangi bir azalan zinciri durağandır.
$R$'nin ideallerinin her boştan farklı ailesinin kapsama bağıntısına göre bir minimal elemanı vardır.
$R$'nin herhangi bir $I$ ideali için $I$ ve $R/I$'nın her ikisi de Noether $R$-modülleridir.

Bu bölümde ve bundan sonra gelecek olan tüm bölümlerde bir $R$ değişmeli halkasının bir $I$ alt kümesinin $R$'nin ideali (öz ideali) olduğunu belirtmek için $I\trianglelefteq R$ ($I\triangleleft R$) gösterimini kullanacağız.

Teorem 5.1

$R$ bir değişmeli Noether halkası olsun. O zaman $R$'nin yalnızca sonlu sayıda minimal asal ideali vardır ve minimal asal ideallerin bir sonlu çarpımı sıfır idealini verir.

Kanıt

$$\Omega=\{I\triangleleft R\mid I,\ R\text{'nin asal ideallerinin bir sonlu çarpımını içermez}\}$$

kümesini tanımlayalım. Kabul edelim ki $0\in \Omega$ olsun. O zaman $\Omega\neq\emptyset$ ve böylece $R$ bir Noether halkası olduğundan $\Omega$'nın bir maksimal elemanı $I$ vardır. Özel olarak $I$, $R$'nin bir asal ideali değildir. Buna göre $ab\in I$ olacak şekilde $a,b\in R\setminus I$ elemanları vardır. O zaman $I\subsetneq I+(a)$ ve $I\subsetneq I+(b)$ olduğundan $I+(a)$ ve $I+(b)$, $R$'nin asal ideallerinin birer sonlu çarpımını içerirler. Diyelim ki $\fp_1,\ldots,\fp_n$ ve $\fq_1,\ldots,\fq_m$, $R$'nin asal idealleri olmak üzere $I+(a)\supseteq \fp_{1}\cdots \fp_{n}$ ve $I+(b)\supseteq \fq_{1}\cdots \fq_{m}$ olsun. O zaman

$$I\supseteq I + Rab \supseteq (I+(a))(I+(b))\supseteq \fp_{1}\cdots \fp_{n}\fq_{1}\cdots \fq_{m} \supseteq \fp_{1}\cdots \fp_{n}\fq_{1}\cdots \fq_{m}$$

olur. Bu ise $I$'nın, $R$'nin asal ideallerinin bir sonlu çarpımını içermediği varsayımımız ile çelişir. O zaman $0\notin \Omega$ olur ve buradan $R$'nin asal ideallerinin bir sonlu çarpımı sıfır idealini verir.

Kabul edelim ki $R$'nin (birbirinden farklı olmak zorunda olmayan) $\fp_1,\ldots,\fp_k$ asal idealleri için $\fp_1\cdots\fp_k=0$ olsun. $\fp$, $R$'nin bir minimal asal ideali olsun. $\fp=0 \supseteq \fp_1\cdots\fp_k$ olacağından $\fp\supseteq \fp_j$ olacak şekilde $j\in\{1,\ldots,k\}$ vardır. $\fp$'nin minimal asal ideal olduğunu varsaydığımızdan dolayı $\fp=\fp_j$ olur. O zaman $R$'nin minimal asal idealleri $\{\fp_1,\ldots,\fp_k\}$ kümesinin bir alt kümesidir. Diğer taraftan eğer bir $1\le i\le k$ için $\fp_i$, $R$'nin bir minimal asal ideal değilse, o zaman $\fp_i\supseteq \fp$ olacak şekilde $R$'nin bir minimal asal ideal $\fp$ vardır. Bu durumda

$$\fp_1\cdots\fp_{i-1}{\color{red}\fp}\fp_{i+1}\cdots\fp_k=0$$

olur. Böylece herhangi bir $\fp_i$ minimal asal ideal ise çarpımın içinde tutup, değilse de içerdiği bir minimal asal ideal ile değiştirerek sadece minimal asal ideallerin bir sonlu çarpımının sıfır idealini verdiğini görebiliriz. Böylece kanıt tamamlanır.

Aşağıdaki teorem bir değişmeli halkada idealler üzerindeki azalan zincir koşulunun, artan zincir koşulunu gerektirdiğini göstermesi bakımından epey ilgi çekicidir. Birbirine zıt gibi görünen bu iki koşuldan birinin diğerini gerektirmesi sadece değişmeli halkalarda değil genel olarak değişmeli olmayan birimli halkalarda da doğrudur. Bu sonuç Hopkins tarafından kanıtlanmıştır ve literatürde iyi bilinen bir sonuçtur. Ancak Hopkins'den daha önce değişmeli halkalarda bu sonucun doğru olduğu Akizuki tarafından 1935'te kanıtlanmıştır.

Teorem 5.2

Her değişmeli Artin halkası Noether halkasıdır.

Kanıt

$R$ bir Artin halkası olsun. Önce $R$'nin sonlu tane maksimal ideali olduğunu göstereceğiz. $$\Psi=\{\fm_1\cap\ldots\cap\fm_n\mid n\in\mathbb{N}\text{ ve her }1\le j\le n\text{ için } \fm_j,\ R\text{'nin bir maksimal ideali}\}$$

kümesini tanımlayalım. $R$'nin en az bir maksimal ideali olduğundan $\Psi$ kümesi boştan farklıdır. $R$ bir Artin halkası olduğundan $\Psi$'nin bir minimal elemanı $\fm_1\cap\ldots\cap\fm_k$ vardır. Burada $\fm_1,\ldots,\fm_k$, $R$'nin birbirinden farklı maksimal idealleridir. $\fm$, $R$'nin bir maksimal ideali olsun.

$$\fm\cap\left(\fm_1\cap\ldots\cap\fm_k\right)\subseteq \fm_1\cap\ldots\cap\fm_k$$

olduğundan $\fm_1\cap\ldots\cap\fm_k$ idealinin minimalliği nedeniyle $\fm\cap\left(\fm_1\cap\ldots\cap\fm_k\right)=\fm_1\cap\ldots\cap\fm_k$ olur. Buna göre $\fm\supseteq \fm_1\cap\ldots\cap\fm_k$ olur. $\fm$ maksimal ideal olduğundan aynı zamanda bir asal idealdir ve dolayısıyla $\fm=\fm_j$ olacak şekilde $1\le j\le k$ vardır. Fakat $\fm_j$ bir maksimal ideal olduğundan $\fm=\fm_j$ olur. Böylece $R$'nin tüm maksimal idealleri $\fm_1,\ldots,\fm_k$ maksimal ideallerinden ibarettir.

$J=\fm_1\cap\ldots\cap\fm_k$ olsun. Buna göre $J$, $R$'nin Jacobson radikalidir. $R$ bir Artin halkası olduğundan $$J\supseteq J^2\supseteq \cdots \supseteq J^i\supseteq J^{i+1} \supseteq \cdots$$

azalan zinciri durağandır; yani $J^n=J^{n+1}$ olacak şekilde bir $n\in\mathbb{N}$ vardır. $I=(0:J^n)$ olsun. O zaman

$$(I:J) = ((0:J^n):J) = (0:J^{n+1})=I$$

olur.

$I=R$ olduğunu göstereceğiz. Kabul edelim ki $I\neq R$ olsun. O zaman $$\Gamma = \{A\trianglelefteq R \mid A \supset I\}$$

kümesini tanımlayalım. $R\in \Gamma$ olduğundan $\Gamma$ boştan farklıdır. $R$ bir Artin halkası olduğundan $\Gamma$'nın bir minimal elemanı $I'$ vardır. $x\in I'\setminus I$ seçelim. Buna göre $I' = I + Rx$ olur. Eğer $I'= I + Jx$ olsaydı,

$$J(I'/I) = J(I + Rx/I) = Jx + I/I = I/I = 0$$

olurdu ki $I'/I$ bir basit modül olarak sıfırdan fakrlı sonlu üretilmiş (daha da doğrusu tek eleman tarafıdan üretilmiş) bir modül olduğundan, bu durum Nakayama Lemması ile çelişirdi. O zaman $I' \supsetneq I + Jx\supseteq I$ ve buradan $I = I + Jx$ olur. Buna göre $Jx \subseteq I$; yani $x\in (I:J)=I$ olur ki bu da $x\not\in I$ kabulümüzle çelişir. Dolayısıyla $I=R$ olur. Dolayısıyla $J^n=0$ bulunur.

$J^n=0$ olduğunu gösterdik. $J = \fm_1\cap\ldots\cap\fm_k=J$ olduğunu hatırlarsak, $$\fm_1^n\cdots\fm_k^n\subseteq (\fm_1\cap\ldots\cap\fm_k) = J^n=0,$$

yani $\fm_1^n\cdots\fm_k^n=0$ olur. Buna göre

$$(\fm_1^n\cdots\fm_k^n)R=0$$

ve $R$ kendisi üzerinde bir modül olarak Artin olduğundan, [ref:Noether_equiv_Artin]'den dolayı $R$ bir Noether halkasıdır.

Not 5.1

Yukarıdaki teoremin söylediğinin yanında kanıtından süzülen önemli bazı bazı sonuçlar da vardır. Örneğin, $R$'nin bir Artin halkası olması durumunda $R$'nin yalnızca sonlu sayıda maksimal ideali vardır ve bu maksimal ideallerin bir sonlu çarpımı sıfır idealini verir. Ayrıca, $R$'nin bir Artin halkası olması durumunda $R$'nin Jacobson radikalinin bir kuvveti sıfır idealini verir.

Polinom Halkaları ve Biçimsel Kuvvet Serileri Halkaları

Dikkat edilirse bir Noether $R$ halkası ve onun bir $I$ ideali için $R/I$ ile yeni bir Noether halkası oluşturabiliriz. Yine de $R/I$ halkası karakter olarak $R$ halkasına büyük ölçüde benzer. Değişik karakterde yeni Noether halkaları oluşturmak için aşağıdaki sonuç biçilmiş kaftandır.

Aşağıdaki teorem literatürde iyi bilinen Hilbert'in Taban Teoremi olarak adlandırılır ve yeni Noether halkaları oluşturmak için önemli bir araçtır.

Teorem 5.3: Hilbert'in Taban Teoremi

$R$ bir Noether halkası ve $X$ bir değişken ise $R[X]$ polinom halkası da bir Noether halkasıdır.

Kanıt

$\ca$, $R[X]$ halkasının bir ideali olsun. Her $j\ge0$ tamsayısı için $$I_j:=\{b_j\in R\mid b_jX^j+a_{j-1}X^{j-1}+\ldots+a_0\in\ca\text{ olacak şekilde }a_{j-1},\ldots,a_0\in R\text{ var}\}$$

kümesini tanımlayalım. $I_j$'nin $R$'nin bir ideali olduğunu görmek kolaydır. Öte yandan her $j$ için $I_j\subseteq I_{j+1}$ olduğu ortadadır. Böylece $R$'nin ideallerinin

$$I_0\subseteq I_1\subseteq\cdots\subseteq I_j\subseteq I_{j+1}\subseteq\cdots$$

artan zinciri elde edilir. $R$ bir Noether halkası olduğundan bu dizi durağan olmak zorundadır, yani öyle bir $m\ge 0$ tamsayısı vardır ki her $i > 0$ için $I_m=I_{m+i}$'dir. $R$ bir Noether halkası olduğundan, $I_0,I_1,\ldots,I_m$ idealleri sonlu üretilmiştir. Kabul edelim ki her $0\le j\le m$ için $I_j$ ideali

$$\{b_j^{(0)},\ldots,b_j^{(k_j)}\}$$

kümesi tarafından üretilsin. O zaman her $0\le j\le m$ ve $1\le i\le k_j$ için

$$f_j^{(i)} = b_j^{(i)}X^j + g_j^{(i)} \in \ca \quad\text{ve}\quad \deg(g_j^{(i)}) < j$$

olacak şekilde $g_j^{(i)}\in R[X]$ polinomları vardır. $S=\{f_j^{(i)}\mid 0\le j\le m\text{ ve }1\le i\le k_j\}$ kümesini tanımlayalım. $\ca$'nın $S$ kümesi tarafından üretildiğini göstermek yeterlidir.

$\ca$'nın herhangi bir elemanı $f(X)$ olsun. $\deg(f(X)) = n$ üzerine tümevarım uygulayalım. $n=0$ ise o zaman $f(X)\in I_0$ olduğundan $f(X)$, $I_0$'ın üreteçleri tarafından üretilir ve bu üreteçler de $S$ kümesinin elemanlarıdır. $n>0$ ve iddia $\ca$'nın, derecesi $n$'den küçük olan elemanları için doğru olsun. $f(X)$'in baş katsayısı $b_n$'dir.

Önce $n\ge m$ olsun. $b_n\in I_n=I_m$ olduğundan $b_n$'nin $I_m$'nin üreteçlerinin bir $R$-lineer kombinasyonu olduğu bir gösterimi vardır. O zaman $b_n = \sum_{i=1}^{k_m} r_i b_n^{(i)}$ olacak şekilde $r_i \in R$ elemanları vardır.

$$\deg\left(f(X) - \sum_{i=1}^{k_m} r_i X^{n-m} f_m^{(i)}\right) < n$$

ve

$$f(X) - \sum_{i=1}^{k_m} r_i X^{n-m} f_m^{(i)}\in\ca$$

olduğundan tümevarım varsayımından dolayı $f(X) - \sum_{i=1}^{k_m} r_i X^{n-m} f_m^{(i)}$ ifadesi $S$ kümesinin elemanları tarafından üretilir. O zaman $f(X)$'in de $S$ kümesinin elemanları tarafından üretildiği sonucuna varılır.

Şimdi $n < m$ olsun. $b_n\in I_n$ olduğundan $b_n$'nin $I_n$'nin üreteçlerinin bir $R$-lineer kombinasyonu olduğu bir gösterimi vardır. O zaman $b_n = \sum_{i=1}^{k_n} r_i b_n^{(i)}$ olacak şekilde $r_i \in R$ elemanları vardır. Yukarıdaki gibi $f(X) - \sum_{i=1}^{k_n} r_i f_n^{(i)}$ ifadesinin derecesi $n$'den küçük olur ve bu ifade $\ca$'nın bir elemanı olduğundan tümevarım varsayımından dolayı $f(X) - \sum_{i=1}^{k_n} r_i f_n^{(i)}$ ifadesi $S$ kümesinin elemanları tarafından üretilir. O zaman $f(X)$'in de $S$ kümesinin elemanları tarafından üretildiği sonucuna varılır. Böylece kanıt tamamlanır.

Hilbert'in Taban Teoremi'nden hareketle, $R$ bir Noether halkası ve $X_{1},\ldots,X_{n}$ değişkenler olmak üzere $R[X_{1},\ldots,X_{n}]$ polinom halkası da bir Noether halkasıdır. Bu sonuç, $R$'nin bir Noether halkası olması durumunda, $R$'nin herhangi bir sayıda değişken içeren polinom halkalarının da Noether halkaları olduğunu gösterir. Bu, özellikle cebirsel geometri ve sayılar teorisi gibi alanlarda, polinom halkalarının yapısını anlamak için önemli bir sonuçtur.

Sonuç 5.4

$R$ bir değişmeli Noether halkası ve $S$, $R$'nin bir olsun. Eğer $S$ bir $R$-cebiri olarak sonlu üretilmişse, o zaman $S$ de bir Noether halkasıdır.

Aşağıdaki sonuç I. S. Cohen tarafından kanıtlanmış kullanışlı bir sonuçtur. Bu sonuç sayesinde bir değişmeli halkanın Noether olduğunu göstermek için sadece asal ideallerinin sonlu üretilmiş olduğunu göstermek yeterli olur.

Teorem 5.5: I. S. Cohen

$R$ bir değişmeli halka olsun. O zaman $R$'nin Noether halkası olması için gerek ve yeter koşul, $R$'nin her asal idealinin sonlu üretilmiş olmasıdır.

Kanıt

$R$ bir Noether halkası olduğunda her ideali sonlu üretilmiş olduğundan her asal ideal de sonlu üretilmiş olur.

Şimdi $R$'nin her asal idealinin sonlu üretilmiş olduğunu fakat $R$'nin Noether olmadığını varsayalım.

$$\Fi=\{I\trianglelefteq R\mid I\text{ bir ideal ve }I\text{ sonlu üretilmiş değil}\}$$

kümesini tanımlayalım. $R$'nin Noether halkası olmadığını varsaydığımızdan $\Fi$ boştan farklıdır. Zorn Lemmasını kullanarak $\Fi$ kümesinin kapsama bağıntısına göre bir maksimal elemanı olduğunu göreceğiz. $\{I_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$, $\Fi$'nin herhangi bir zinciri olsun. $I=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} I_\lambda$ olsun. $I$'nin bir ideal olduğunu görmek kolaydır. $I$'nin sonlu üretilmiş olmadığını göstermek yeterlidir. Kabul edelim ki $I$ sonlu üretilmiş olsun. O zaman $I=(a_1,\ldots,a_n)$ olacak şekilde $a_1,\ldots,a_n\in I$ elemanları vardır. Her $1\le i\le n$ için $a_i\in I_{\lambda_i}$ olacak şekilde $\lambda_i \in \Lambda$ elemanları vardır. $\{I_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$'nın bir zincir olduğunu varsaydığımızdan dolayı, $\lambda_j$'nin diğer $\lambda_i$'leri içerdiğini varsayabiliriz. O zaman $a_1,\ldots,a_n\in I_{\lambda_j}$ olur ve buradan

$$I = Ra_1 + \cdots + Ra_n \subseteq I_{\lambda_j}\subseteq I$$

olacağından $I_{\lambda_j}$'nin sonlu üretilmiş olduğunu elde ederiz ki bu da $I_{\lambda_j}\in \Fi$ olmasına aykırıdır. O zaman $I$ sonlu üretilmiş olamaz ve böylece $I\in \Fi$ olur. $I$, $\{I_\lambda\}$ zincirinin $\Fi$ içindeki bir üst sınırlaması olduğundan $\Fi$ kümesinin kapsama bağıntısına göre bir maksimal elemanı vardır. $P$, $\Fi$'nin bir maksimal elemanı olsun.

Kabulümüzden dolayı $P$, $R$'nin bir asal ideali olamaz. O zaman $ab\in P$ olacak şekilde $a,b\in R\setminus P$ elemanları vardır. O zaman $P\subsetneq P+Ra$ olduğundan $P+(a)$, $\Fi$'nin bir elemanı değildir. O zaman $P+Ra$, $R$'nin bir sonlu üretilmiş ideali olur. Kabul edelim ki $P + Ra$ ideali $p_1 + r_1a,\ldots,p_n + r_na$ elemanları tarafından üretilmiş olsun. I=(P:a) olsun. $b\in I\setminus P$ olduğundan $P\subset I$ olur. Buna göre $I$, $\Fi$'nin bir elemanı değildir. O zaman $I$ da $R$'nin bir sonlu üretilmiş idealidir. Dolayısıyla, $Ia$ da $R$'nin bir sonlu üretilmiş idealidir. $P = Rp_1 + \cdots + Rp_n + Ia$ olduğunu göstereceğiz.

$$Rp_1 + \cdots + Rp_n + Ia \subseteq P$$

olduğu açıktır. $x\in P$ olsun. O zaman $x = c_1(p_1 + r_1a) + \cdots + c_n(p_n + r_na)$ olacak şekilde $c_1,\ldots,c_n\in R$ elemanları vardır. O zaman

$$x - (c_1p_1 + \cdots + c_np_n) = (c_1r_1 + \cdots + c_nr_n)a\in P$$

olur, ki bu da $c_1r_1 + \cdots + c_nr_n\in I$ olduğu anlamına gelir. O zaman $x\in Rp_1 + \cdots + Rp_n + Ia$ olur. Böylece $P = Rp_1 + \cdots + Rp_n + Ia$ olur. $Rp_1 + \cdots + Rp_n$ ve $Ia$'nın her ikisi de sonlu üretilmiş olduğundan, $P$ de sonlu üretilmiş olur ki bu da $P\in \Fi$ olmasına aykırıdır. Böylece $R$'nin Noether halkası olmadığı varsayımımızın yanlış olduğunu görürüz ve $R$'nin Noether halkası olduğu sonucuna varırız.

Yukarıdaki sonuucu kullanarak, yepyeni Noether halkalar türetmek için biçimsel kuvvet serileri halkalarını kullanmanın mümkün olduğunu göstereceğiz.

Teorem 5.6

$R$ bir Noether halkası ve $X$ bir değişken olsun. O zaman $R[[X]]$ biçimsel kuvvet serileri halkası da bir Noether halkasıdır.

Kanıt

'i kullanacağız. $\cp\in\spec{R}$ olsun. \begin{matrix} s: & R[[X]] & \longrightarrow & R\\ & \sum_{j=0}^\infty r_jX^j & \longmapsto & r_0 \end{matrix}

dönüşümü bir örten halka homomorfizmasıdır. Buna göre $s(\cp)\trianglelefteq R$ olur. $R$ bir Noether halkası olduğundan, $s(\cp)$ sonlu üretilmiştir.

$$s(\cp)=Ra_0^{(1)} + \cdots + Ra_0^{(k)}$$

olsun. Her $1\le i \le k$ için

$$f^{(i)}=a_0^{(i)}+a_1^{(i)}X + \cdots \in\cp$$

serileri vardır. Kanıtı iki ayrık durum için yapacağız: $X\in\cp$ ve $X\not\in\cp$.

Önce $X\in\cp$ olduğunu varsayalım. O zaman her $1\le i\le k$ için

$$a_0^{(i)} = f^{(i)} - X\sum_{j=0}^\infty a_{j+1}X^j\in\cp$$

olacağından, herhangi bir $f=\sum_{j=0}^\infty b_jX^j\in\cp$ elemanı için $b_0\in s(\cp)=\sum_{i=1}^k$ ve böylece

$$f=b_0 + X\sum_{j=0}^\infty b_{j+1}X^j\in\sum_{i=1}^k R[[X]]a_0^{(i)} + XR[[X]]$$

olur. Bu durumda

$$\cp = \sum_{i=1}^k R[[X]]a_0^{(i)} + XR[[X]]$$

sonlu üretilmiş olur.

Şimdi $X\not\in\cp$ olsun. $\sum_{i=1}^k R[[X]]f^{(i)}\in\cp$ olduğu açıktır. Ters kapsamı göstermek için $f=\sum_{j=0}^\infty b_iX^i\in\cp$ alalım. O zaman

$$b_0\in h(\cp)=\sum_{i=1}^t Ra_0^{(i)}$$

olur. Buna göre $b_0 = b_0^{(1)}+\cdots+b_0^{(t)}$ olacak şekilde $b_0^{(1)},\ldots,b_0^{(t)}\in R$ vardır. Dolayısıyla

$$f-\sum_{i=1}^t b_0^{(i)}f^{(i)}=Xg_1$$

olacak şekilde $g_1\in R[[X]]$ vardır. $Xg_1\in\cp$, $X\not\in\cp$ ve $\cp\in\spec{R}$ olduğundan, $g_1\in \cp$ olur. Kabul edelim ki bir $v>1$ için

$$f-\sum_{i=1}^{t}\left(\sum_{j=0}^{v-1}b_j^{(i)}X^j\right)f^{(i)}=X^vg_v$$

olacak şekilde $b_j^{(i)}\in R$ ($1\le i\le t$, $0\le j\le v-1$) ve $g_1,\ldots,g_{v-1}\in \cp$ bulunmuş olsun. $g_{v-1}\in \cp$ olduğundan yukarıda $f$ için yapılanları $g_{v-1}$ için tekrar edersek,

$$g_{v-1} - \sum_{i=1}^t b_v^{(i)}f^{(i)}=Xg_{v+1}$$

olacak şekilde $b_v^{(1)},\ldots,b_v^{(t)}\in R$ ve $g_{v+1}\in \cp$ bulabiliriz. Buna göre

\begin{align*} f-\sum_{i=1}^t\left(\sum_{j=0}^{v}b_j^{(i)X^j}\right)f^{(i)} & = f-\sum_{i=1}^t\left(\sum_{j=0}^{v-1}b_j^{(i)}X^j\right)f^{(i)} - X^v\sum_{i=1}^t b_v^{(i)}f^{(i)}\\ & = X^vg_v - X^v\sum_{i=1}^t b_v^{(i)}f^{(i)}\\ & = X^v\left(g_v - \sum_{i=1}^t b_v^{(i)}f^{(i)}\right)\\ & = X^{v+1}g_{v+1} \end{align*}

elde edilir. Böylece tümevarım ile her $v\ge 1$ tamsayısı için

\begin{equation*} f - \sum_{i=1}^{t}\left(\sum_{j=0}^{v-1}b_j^{(i)}X^j\right)f^{(i)}=X^vg_v \end{equation*}

olacak şekilde $b_j^{(i)}\in R$ ve $g_v\in\cp$ bulunabilir.

Şimdi her $1\le i\ t$ için $e^{(i)}=\sum_{j=0}^\infty b_j^{(i)}X^j$ olsun. Buna göre

\begin{align*} f - \sum_{i=1}^t e^{(i)}f^{(i)} & = f - \sum_{i=1}^{t}\left(\sum_{j=0}^{v-1}b_j^{(i)}X^j\right)f^{(i)} - \sum_{i=1}^{t}\left(\sum_{j=v}^{\infty}b_j^{(i)}X^j\right)f^{(i)}\\ & = X^vg_v - X^v\sum_{i=1}^{t}\left(\sum_{j=v}^{\infty}b_j^{(i)}X^{j-v}\right)f^{(i)}\in X^vR[[X]] \end{align*}

olur. Fakat

$$\bigcap_{v=1}^\infty X^vR[[X]]=(0)$$

olduğundan, $f=\sum_{i=1}^t e^{(i)}f^{(i)}\in\sum_{i=1}^t R[[X]]f^{(i)}$ bulunur. Böylece istenen elde edilir ve kanıt tamamlanır.

Halka Genişlemeleri

Değişmeli halkaların bir $S\subseteq R$ genişlemesi için $S$, $R$-modül olarak sonlu üretilmiş ve $S$ bir Noether halkası ise o zaman Sonuç 4.5 $R$ değişmeli bir halka olsun. Eğer $R$ Noether (resp. Artin) ise, o zaman her sonlu üretilmiş $R$-modülü Noetherdir (resp. Artindir).
📖 Detaya Git gereğince $R$, $S$-modül olarak bir Noether modül olur. $R$'nin idealleri de aynı zamanda birer $S$-alt modülü olduğundan, $R$'nin ideallerinin her artan zinciri durağan olur; yani $R$ bir Noether halkası olur.

Şimdi de böyle bir genişlemede sonlu üretilme koşulunu muhafaza ederek Noether halkası olma özelliğini $S$ halkasından $R$ halkasına taşıyalım ve soruyu "$S$ halkası Noether olur mu?" şeklinde güncelleyelim. Bu bölümde bu soruya olumlu cevap verebileceğimizi göstereceğiz. Doğrudan, literatürde Eakin-Nagata Teoremi olarak bilinen bu sonucu E. Formanek'in teoreminin bir sonucu olarak vereceğiz. (bkz. H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8, 1986)

Lemma 5.7

$R$ değişmeli bir halka ve $R$-modüllerin bir \begin{matrix} 0 & \longrightarrow & N & \longrightarrow & M & \longrightarrow & K & \longrightarrow & 0 \end{matrix}

kısa tam dizisi için eğer $N$ ve $K$ sonlu üretilmiş ise $M$ de sonlu üretilmiştir.

Teorem 5.8: (E. Formanek)

$R$ değişmeli bir halka ve $M$, sonlu üretilmiş bir $R$-modül olsun. Eğer $(0:M)=0$ ve $I\trianglelefteq R$ olmak üzere $M$'nin $IM$ tipindeki alt modüllerinin her artan zinciri durağan oluyorsa, o zaman $R$ bir Noether halkasıdır.

Kanıt

gereğince, $M$'nin Noether $R$-modül olduğunu göstermek yeter. Aksini kabul edelim. $$\left\{IM\mid I\trianglelefteq R\text{ ve }M/IM\text{ bir Noether }R\text{-modül değil} \right\}$$

kümesi $M$'nin sıfır alt modülünü içerdiğinden boş değildir. $M$'nin $IM$ tipindeki alt modüllerini her artan zinciri durağan olduğundan, bu kümenin bir maksimal elamanı vardır. Böyle bir eleman $IM$ olsun. O zaman $M$'yi $M/IM$ ile, $R$'yi de $R/(IM:I)$ halkası ile değiştirirsek, $M$ Noether olmayan, $(0:M)=0$ olacak şekilde bir $R$-modül ve sıfırdan farklı her $I\trianglelefteq R$ için $M/IM$ bir Noether $R$-modül olur. Şimdi

$$\Gamma=\{N\mid N\le M\text{ ve }\annn{M/N}=0\}$$

kümesini tanımlayalım. Zorn Lemmasını kullanaral $\Gamma$ kümesinin bir maksimal elemanı olması gerektiğini gösterelim. $\{N_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$, $\Gamma$'nın bir zinciri olsun. $N=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}N_\lambda$ olsun.$N\in\Gamma$ olduğunu görmek yeter. Kabul edelim ki $\annn{M/N}\neq0$ olsun. O zaman bir $0\neq r\in R$ için $r(M/N)=0$ yazabiliriz. Bu durumda, $rM\subseteq N$ olur. $M=Rm_1 + \cdots + Rm_t$ olsun. O zaman $\{rm_1,\ldots,rm_t\}\subseteq N$ olur. $\{N_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ bir zincir olduğundan her $1\le i\le t$ için $rm_i\in N_{\lambda_0}$ olacak şekilde bir $\lambda_0\in\Lambda$ vardır. Fakat bu durumda $r\in\annn{M/N_{\lambda_0}}$ olacağından, $M/N_{\lambda_0}\not\in\Gamma$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla, $\Gamma$'nın bir maksimal elemanı vardır. Böyle bir elemnan $N$ olsun. Eğer $M/N$ Noether ise o zaman Teorem 4.7$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. Aşağıdakiler sağlanır:

• Eğer $M$ bir Noether $R$-modülü ise, o zaman $R/\operatorname{ann}(M)$ bir Noether halkasıdır, ve

• Eğer $M$ sonlu üretilmiş bir Artin $R$-modülü ise, o zaman $R/\operatorname{ann}(M)$ bir Artin halkasıdır.
📖 Detaya Git (1) gereğince $R$ bir Noether halkası olur ve dolayısıyla Teorem 4.5 $R$ değişmeli bir halka olsun. Eğer $R$ Noether (resp. Artin) ise, o zaman her sonlu üretilmiş $R$-modülü Noetherdir (resp. Artindir).
📖 Detaya Git ile $M$ de Noether olur -ki bu bir çelişkidir.

$M$'yi $M/N$ ile değiştirirsek aşağıdaki özellikleri sağlayan bir $M$ modülü elde edilmiş olur:

$M$ bir Noether $R$-modül değildir.
$\annn{M}=0$.
Sıfırdan farklı her $I$ ideali için $M/IM$ bir Noether $R$-modüldür.
$M$'nin sıfırdan farklı her $N$ alt modülü için $\annn{M/N}\neq0$.

$N$, $M$'nin sıfırdan farklı bir alt modülü olsun. $0\neq r\in\annn{M/N}$ seçebiliriz. Buna göre $rM\subseteq N$ olur. $I=Rr$ alırsak $M/rM=M/IM$ bir Noether modülüdür. Dolayısıyla $N/rM$ bir sonlu üretilmiş modül olur. Ayrıca $M$ sonlu üretildiğinden, $rM$ de sonlu üretilir ve böylece ile $N$ de sonlu üretilmiş olur. Fakat $N\le M$ keyfi olduğundan $M$ bir Noether modül olur ki bu da bir çelişkidir.

Teorem 5.9: Eakin-Nagata Teoremi

Değişmeli halkaların bir $S\subseteq R$ genişlemesi için eğer $R$, $S$-modül olarak sonlu üretilmiş ve halka olarak Noether halkası ise o zaman $S$ de bir Noether halkasıdır.

Örnek 5.10

$R$ bir Noether halkası olsun. Hilbert Taban Teoremi gereğince $R[X]$ de bir Noether halkasıdır. $R[X^2]\subset R[X]$ halka genişlemesini ele alalım. Kolayca görülebilir ki $R[X]$, $R[X^2]$-modül olarak $\{1,X\}$ kümesi ile üretilebileceğinden Eakin-Nagata Teoremi gereğince $R[X^2]$ halkası Noether olur.

📝 Ödev 5.1 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 19.04.2026 23:59

$R$ değişmeli bir halka olsun. Gösteriniz ki $R$ bir Artin halkasıdır ancak ve ancak $R\cong R_1\times\cdots\times R_n$ olacak şekilde $R_1,\ldots,R_n$ Artin yerel halkaları vardır.

📝 Ödev 5.2 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 19.04.2026 23:59

$R$ değişmeli bir halka ve $A$ bir Artin $R$-modülü olsun. $0\neq a\in A$ olsun. O zaman $R$'nin maksimal ideallerinin bir $\{\cm_1\ldots,\cm_k\}$ kümesi ile bir $t\in\mathbb{N}$ için $$(\cm_1\ldots\cm_k)^ta=0$$

olduğunu gösteriniz.