Modüller

Bu bölümde modül kavramı ve onunla ilişkili bazı temel kavramları ele alacağız. Her ne kadar keyfi halkalar üzerinde kapsamlı bir modül teorisi olsa da, biz kendimizi değişmeli halkalar üzerindeki modüllerle sınırlayacağız.

Modül Kavramı

Tanım 3.1: Modül

$R$ değişmeli bir halka ve $M$ bir toplamsal değişmeli grup olsun. Eğer aşağıdakiler koşulları sağlayan bir $$\cdot:R\times M\to M$$

işlemi varsa, $M$'ye bir $R$-modül (veya $R$ üzerinde bir modül) denir:

her $r\in R,$ $m,m'\in M$ için $r\cdot(m+m')=r\cdot m+r\cdot m'$,
her $r,r'\in R$, $m\in M$ için $(r+r')\cdot m=r\cdot m+r'\cdot m$,
her $r,r'\in R$, $m\in M$ için $\left(rr'\right)\cdot m=r\cdot\left(r'\cdot m\right)$,
her $m\in M$ için $1_{R}\cdot m=m$.

Not 3.1

Skalerle çarpımı göstermek için çoğu zaman '$\cdot$' gösterimini atlayıp bunun yerine sadece yan yana yazımı (juxtaposition) tercih edeceğiz. Ayrıca yukarıdaki aksiyomların, tıpkı vektör uzaylarında olduğu gibi, bazı doğrudan sonuçları aşağıdaki gibi verilebilir:

$0_R\,m=0_M$
$r\ 0_M=0_M$
$(-r)\ m=-r\ m$

Not 3.2

Her değişmeli $R$ halkası, $R$'nin kendi çarpma işlemi ile aynı tanımlanan skalerle çarpıma göre kendi üzerinde bir modüldür.
$R$ değişmeli bir halka ve $S$, $f:R\to S$ halka homomorfizması ile tanımlı bir $R$-cebiri olsun. O zaman $S$, kendi toplaması ve $$\begin{eqnarray*} R\times S & \to & S\\ (r,s) & \mapsto & f(r)s \end{eqnarray*}$$
ile tanımlanan skalerle çarpma işlemine göre bir $R$-modülüdür.
$G$ toplamsal değişmeli bir grup olsun. O zaman her $g\in G$ ve $n\in\mathbb{Z}$ için $$ng=\left\{ \begin{array}{ccc} g+\cdots+g & \text{(}n\,\text{terim)} & n>0\text{ için}\\ 0 & & n=0\text{ için}\\ (-g)+\cdots+(-g) & \text{(}|n|\,\text{terim)} & n<0\text{ için} \end{array}\right.$$
ile verilen skaler çarpımla, $G$ bir $\mathbb{Z}$-modül olur. Aslında, $G$'yi bir $\mathbb{Z}$-modülüne dönüştüren tek skaler çarpım budur. Buradan değişmeli grup kavramının $\mathbb{Z}$-modül kavramı ile eşdeğer olduğu sonucu çıkar.
$R$ ve $S$ değişmeli halkalar ve $f:R\to S$ bir halka homomorfizması olsun. $N$ bir $S$-modülü olsun. O zaman $N$, aynı toplama ve $$\begin{eqnarray*} R\times N & \to & N\\ (r,n) & \mapsto & f(r)n \end{eqnarray*}$$
ile verilen skaler çarpıma göre ayrıca bir $R$-modülü yapısına sahiptir. Bu durumda, $N$'in $f$ aracılığıyla veya skalerlerin kısıtlanmasıyla bir $R$-modül olarak tanımlandığını söyleriz.

Alt Modül Kavramı

Tanım 3.2: Alt Modül

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül ve $N$, $M$'nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer $N$, $M$ üzerindeki işlemlere göre kendisi bir $R$-modülü ise, $N$'ye $M$'nin bir alt modülü denir. $N$, $M$'nin bir alt modülü ise bunu belirtmek için $N\leq M$ yazacağız.

Not 3.3

$\leq$ ile $<$ gösterimleri arasında fark vardır; ikincisi öz (proper) kapsama anlamına gelir.

Değişmeli bir $R$ halkası üzerindeki bir $M$ modülü ve $M$'nin boş olmayan bir $N$ alt kümesi için, kolayca görülebilir ki $N\leq M$ olması için gerek ve yeter koşul, tüm $r,r'\in R$ ve $n,n'\in N$ için $rn+r'n'\in N$ olmasıdır.

Kolayca görülebilir ki bir modülün alt modüllerinin herhangi bir ailesinin kesişimi de yine bir alt modüldür.

$J\subseteq M$ olsun. $M$'nin $J$ tarafından üretilen alt modülünü, $M$'nin $J$'yi içeren tüm alt modüllerinin ailesinin kesişimi olarak tanımlarız. Bunun, kapsama bağıntısına göre $M$'nin $J$'yi içeren en küçük alt modülü olduğuna dikkat ediniz. $M$'nin $J$ tarafından üretilen alt modülü $N$ olsun. Eğer $J=\emptyset$ ise $N=0$ ve eğer $J\neq\emptyset$ ise, $$N=\left\{ \sum_{i=1}^{n}r_{i}j_{i}:n\in\mathbb{N}^{+},\,r_{1},\ldots,r_{n}\in R,\,j_{1},\ldots,j_{n}\in J\right\}$$

olur.

Eğer $J=\{j_{1},\ldots,j_{m}\}$ sonlu bir küme ise,

$$N=\left\{ \sum_{i=1}^{m}r_{i}j_{i}:r_{1}\ldots,r_{m}\in R\right\} ,$$

olur; bu durumda $N$'ye sonlu üretilmiş bir $R$-modül deriz. Özel olarak, eğer $J=\{j\}$ ise, $N=\{rj:r\in R\}=Rj$ olur. Böyle bir $R$-modüle devirli modül denir.

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. $\left\{ G_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}$, $M$'nin alt modüllerinin bir ailesi olsun. $\sum_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ toplam alt modülünü, $M$'nin $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ tarafından üretilen alt modülü olarak tanımlarız. Özel olarak, $\Lambda=\emptyset$ olduğunda bu toplamı sıfır alt modülü olarak alırız. Bu işlemin sonlu adet alt modülün toplamı için hem değişmeli hem de birleşmeli olduğunu görmek zor değildir. Dahası $$\sum_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}=\left\{ \sum_{i=1}^{n}g_{\lambda_{i}}:n\in\mathbb{N}^{+},\,\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\Lambda,\,\text{ve her }i=1,\ldots,n\text{ için }g_{\lambda_{i}}\in G_{\lambda_{i}}\right\}$$

yazabiliriz. Eğer $\Lambda=\{1,\ldots,n\}$ ise,

$$\sum_{i=1}^{n}G_{i}=\left\{ \sum_{i=1}^{n}g_{i}:\text{her }i=1,\ldots,n\text{ için }g_{i}\in G_{i}\right\}$$

olur. $\sum_{i=1}^{n}G_{i}$ toplamını kimi zaman $G_{1}+\cdots+ G_{n}$ şeklinde de gösteririz.

$M$'nin bir alt kümesi tarafından üretilen alt modülünü, devirli modüllerin toplamı şeklinde yazılabilir. Daha açık bir ifadeyle, $m_{1},\ldots,m_{n}\in M$ olmak üzere, $M$'nin $m_{1},\ldots,m_{n}$ tarafından üretilen alt modülü $Rm_{1}+\cdots+ Rm_{n}$'dir.

Sıfırlayıcı İdealler

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül, $I$ ve $J$, $R$'nin idealleri olsun. $IM$ ile, $M$'nin $\left\{ rm:r\in R,\,m\in M\}\right\} $ alt kümesi tarafından üretilen alt modülünü gösteririz. O zaman $$IM=\left\{ \sum_{i=1}^{n}r_{i}m_{i}:n\in\mathbb{N}^{+},\,r_{1},\ldots,r_{n}\in R,\,m_{1},\ldots,m_{n}\in M\right\}$$

olur.

$R$'nin $I$ ve $J$ idealleri için, $I(JM)=(IJ)M$ olduğu kolayca görülebilir. Ayrıca $r\in R$ için, $(Rr)M$ yerine $rM$ yazacağız. Aslında, $(Rr)M=\{rm:m\in M\}$'dir.

Tanım 3.3

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül, $N\leq M$ ve $U\subseteq M$, $U\neq\emptyset$ olsun.

$$\{r\in R:\text{her }u\in U\text{ için }ru\in N\}$$
alt kümesinin $R$'nin bir ideali olduğu açıktır. $R$'nin bu idealini $(N:U)$ (veya $(N:_{R}U)$) ile göstereceğiz.
$N=0$ olduğu özel durumda, $$(0:U)=\{r\in R:ru=0\,\text{her }u\in U\text{ için}\}$$
idealine $U$'nun sıfırlayıcısı denir ve $\operatorname{ann}(U)$ veya $\operatorname{ann}_{R}(U)$ ile gösterilir.
Eğer $U=\{m\}$ tek elemanlı bir küme ise, $(N:U)$ idealini basitçe $(N:m)$ şeklinde gösteririz. $N=0$ olduğunda, $(0:m)$ idealine $m$'nin sıfırlayıcısı denir.

Not 3.4

Eğer $L$, $M$'nin $U$ tarafından üretilen bir alt modülü ise $(N:U)=(N:L)$ olur.

📝 Ödev 3.1 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 22.03.2026 23:59

$I$, değişmeli bir $R$ halkasının bir ideali olsun. $I=\operatorname{ann}_{R}(R/I)=(0:_{R}1+I)$ olduğunu gösteriniz.

Önerme 3.1

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül, $N$ ve $L$, $M$'nin alt modülleri ve $\{N_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ ile $\{L_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$, $M$'nin alt modüllerinin iki ailesi olsun. Buna göre aşağıdakiler sağlanır:

$\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}N_{\lambda}:L\right)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(N_{\lambda}:L)$;
$\left(N:\sum_{\gamma\in\Gamma}L_{\gamma}\right)=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}(N:L_{\gamma})$.

Teorem 3.2: Halka Değişimi

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. $I$, $R$'nin $I\subseteq\operatorname{ann}(M)$ olacak şekilde bir ideali olsun. O zaman $M$'nin kendi toplama işlemi ve $$\begin{eqnarray*} (R/I)\times M & \to & M\\ (r+I,m) & \mapsto & rm \end{eqnarray*}$$

ile verilen skalerle çarpma işlemine göre bir $(R/I)$-modülü yapısına da sahip olduğunu görmek kolaydır.

$I\subseteq\operatorname{ann}(M)$ koşulunun yukarıdaki işlemi belirsiz olmaktan çıkarmak için kullanışlı olduğunu, ayrıca $M$'nin bir alt kümesinin bir $R$-modülü olması için gerek ve yeter koşulun bir $(R/I)$-alt modülü olması olduğunu söyleyebiliriz.

Lemma 3.3

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül, $G$, $M$'nin bir alt modülü ve $I$, $R$'nin bir ideali olsun. O zaman $M$'nin $$\{m\in M:\text{her }r\in I\text{ için }rm\in G\}$$ şeklinde tanımlı alt kümesi $M$'nin $G$'yi içeren bir alt modülüdür.

Tanım 3.4

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül, $G$, $M$'nin bir alt modülü ve $I$, $R$'nin bir ideali olsun. O zaman $M$'nin $\{m\in M:\text{her }r\in I\text{ için }rm\in G\}$ şeklinde tanımlı alt modülünü $(G:_{M}I)$ ile gösteririz. $G=0$ olduğu özel durumda, $(0:_{M}I)=\{m\in M: text{her }r\in I\text{ için }rm=0\}$ alt modülü $I$'nın $M$ içindeki sıfırlayıcısı olarak tanımlanır.

Önerme 3.4

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül, $N$, $M$'nin bir alt modülü ve $\{N_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$, $M$'nin alt modüllerinin bir ailesi olsun. Ayrıca $I$, $J$, $K$, $R$'nin idealleri ve $\{I_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$, $R$'nin ideallerinin bir ailesi olsun. Aşağıdakiler sağlanır:

$((N:_{M}J):_{M}K)=(N:_{M}JK)=((N:_{M}K):_{M}J)$;
$\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}N_{\lambda}:_{M}I\right)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(N_{\lambda}:I)$;
$\left(N:_{M}\sum_{\alpha\in A}I_{\alpha}\right)=\bigcap_{\alpha\in A}(N:_{M}I_{\alpha})$.

Bölüm (Faktör) Modülleri

Teorem 3.5: Bölüm (Faktör) Modüllerinin İnşası

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül ve $N$, $M$'nin bir alt modülü olsun. $N$, $M$ değişmeli grubunun bir alt grubu olduğundan, $M/N$ bir toplamsal değişmeli grup yapısına sahiptir. $M/N$ üzerindeki toplama işlemine ek olarak, $M/N$'yi bir $R$-modül yapmak için skaler çarpımı şu şekilde tanımlarız: $$\begin{eqnarray*} R\times(M/N) & \to & M/N\\ (r,m+N) & \mapsto & rm+N \end{eqnarray*}$$

Buna göre $M/N$ bir $R$-modül olur.

Not 3.5

Eğer $M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül ve $I$, $R$'nin bir ideali ise, $I\subseteq\operatorname{ann}_{R}(M/IM)$ olduğunu ve dolayısıyla $M/IM$'nin aynı zamanda, her $r\in R$ ve $m\in M$ için $(r+I)(m+IM)=rm+IM$ ile tanımlanan skalerle çarpma işlemi altında bir $(R/I)$-modül olduğunu görebiliriz.

Teorem 3.6: Bölüm Modüllerinin Alt Modülleri

$N$, $M$'nin bir alt modülü ise, o zaman $M$'nin $N$'yi içeren herhangi bir $N'$ alt modülü için, $N'/N$, $M/N$ bölüm modülünün bir alt modülüdür. Aslında, $M/N$'in tüm alt modülleri bu formdadır. $N_{1}$ ve $N_{2}$, $M$'nin $N$'yi içeren alt modülleri olsun. O zaman $N_{1}/N\subseteq N_{2}/N$ olması için gerek ve yeter koşul $N_{1}\subseteq N_{2}$ olmasıdır. Dolayısıyla, $M/N$'in alt modülleri ile $M$'nin $N$'yi içeren alt modülleri arasında birebir ve sırayı koruyan bir eşleşme olduğu sonucu çıkar. Dahası, aşağıdakiler sağlanır

$\left(N_{1}/N\right)+\left(N_{2}/N\right)=\left(N_{1}+N_{2}\right)/N$,
$R$'nin herhangi bir $I$ ideali için $I\left(N_{1}/N\right)=\left(IN_{1}+N\right)/N$,
$m_1,\ldots,m_t\in M$ için $R(m_1+N)+\cdots+R(m_t+N)=[(Rm_1+\cdots+Rm_t)+N]/N$,
$\left(N_{1}/N\right)\cap\left(N_{2}/N\right)=\left(N_{1}\cap N_{2}\right)/N$ ve
$\operatorname{ann}\left(\left(N_{1}+N_{2}\right)/N_{1}\right)=\left(N_{1}:N_{2}\right)$.

Ayrıca, bir $M$ modülü sonlu üretilmiş olduğunda, $M$'nin herhangi bir $M/N$ bölüm modülünün de sonlu üretilmiş olur, çünkü $M$ bir $\{m_{1},\ldots,m_{n}\}$ kümesi tarafından üretilirse, $M/N$ de $\{m_{1}+N,\ldots,m_{n}+N\}$ kümesi tarafından üretilir.

Tanım 3.5

$M$ ve $N$ değişmeli $R$ halkası üzerinde iki modül ve $f:M\to N$ bir dönüşüm olsun. Eğer her $r,r'\in R$ ve $m,m'\in M$ için $$f(rm+r'm')=rf(m)+r'f(m')$$

ise, $f$'ye bir $R$-modül homomorfizması veya $R$-homomorfizması denir. Böyle bir $R$-homomorfizmasına birebir ise monomorfizma, örten ise epimorfizma, hem birebir hem de örten ise izomorfizma denir. Ayrıca, eğer $f:M\to M$ bir $R$-homomorfizması ise $f$'ye $M$'nin bir $R$-modül endomorfizması (veya $R$-endomorfizması) denir. Bir $M$ modülünün hem birebir hem de örten olan bir endomorfizmasına $M$'nin bir otomorfizması denir. Bir $M$ modülünün birim otomorfizması $\operatorname{id}_{M}$ ile gösterilecektir.

$M$'nin her elemanını $N$'nin sıfır elemanına gönderen $M\to N$ eşlemesine sıfır homomorfizması denir ve $0$ ile gösterilir.

Eğer $f_{i}:M\to N$ ($i=1,2$ için) $R$-homomorfizmaları ise, her $m\in M$ için $(f_{1}+f_{2})(m)=f_{1}(m)+f_{2}(m)$ ile tanımlanan $f_{1}+f_{2}:M\to N$ dönüşümü de bir $R$-homomorfizmasıdır ve buna $f_{1}$ ve $f_{2}$'nin toplamı denir.

Eğer $f:M\to N$ bir $R$-izomorfizması ise, $f^{-1}:N\to M$ eşlemesi de bir $R$-izomorfizmasıdır ve bu durumda $M$ ve $N$ modüllerine izomorf $R$-modüller denir ve $M\cong N$ yazılır. İzomorf $R$-modüllerin eşit sıfırlayıcılara sahip olduğu açıktır.

İki $R$-homomorfizmasının (veya $R$-izomorfizmasının) bileşkesinin -- anlamlı olduğu her durumda -- yine bir $R$-homomorfizması (veya $R$-izomorfizması) olduğu da kolayca görülebilir. Buradan, ($\operatorname{End}_{R}(M)$ ile gösterilen) $M$ modülünün tüm endomorfizmalarının kümesinin, toplama ve bileşke işlemleri altında (değişmeli olması gerekmeyen) birimli bir halka olduğu anlaşılır.

Endomorfizmalar ve Nakayama Lemması

Her $r\in R$ ve $m\in M$ için

$$\begin{eqnarray*} \varphi(r):M & \longrightarrow & M\\ m & \longmapsto & rm \end{eqnarray*}$$

ile tanımlanan bir $\varphi:R\to\operatorname{End}_{R}(M)$ halka homomorfizması vardır. Buradan $\varphi$'nin, genellikle değişmeli olmamasına rağmen $\operatorname{End}_{R}(M)$'i bir $R$-cebiri olarak görmemize olanak sağladığını söyleyebiliriz. Yani, $R$-nin elemanlarının $\varphi$ aracılığıyla $\operatorname{End}_{R}(M)$ üzerine etki ettiğini düşünebiliriz. Daha açık bir ifadeyle, $r\in R$ ve $f\in\operatorname{End}_R(M)$ için $rf\in\operatorname{End}_{R}(M)$ çarpımını

$$\begin{eqnarray*} rf:M & \to & M\\ m & \mapsto & rf(m). \end{eqnarray*}$$

ile tanımlayabiliriz.

Önerme 3.7

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modül, $I$, $R$'nin bir ideali ve $f$, $f(M)\subseteq IM$ koşulunu sağlayan $M$'nin bir $R$-endomorfizması olsun. O zaman $f$, $a_{i}$'ler $I^{i}$ içinde olmak üzere $$f^{n}+a_{1}f^{n-1}+\cdots+a_{n-1}f+a_{n}=0,$$

şeklinde bir eşitliği sağlar.

Kanıt

$\{m_{1},\ldots,m_{n}\}$, $M$'nin bir üreteç kümesi olsun. $f(M)\subseteq IM$ olduğundan, her $1\leq i\leq n$ için, $f(m_{i})=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}m_{j}$ olacak şekilde $a_{ij}\in I$ ($j=1,\ldots,n$) vardır. Buna göre her $1\leq i\leq n$ için $\sum_{j=1}^{n}(\delta_{ij}f-a_{ij})m_{j}=0$ olur. Burada $\delta_{ij}$ Kronecker deltasını göstermektedir. Buradan $\Phi X=0$ matris denklemini yazabiliriz, öyle ki $$\Phi=\left[\begin{array}{cccc} f-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21} & f-a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & f-a_{nn} \end{array}\right] \quad \text{ ve } \quad X=\begin{bmatrix}m_{1}\\ m_{2}\\ \vdots\\ m_{n} \end{bmatrix}.$$

Dikkat edilirse $\Phi$, $\operatorname{End}_{R}(M)$'nin değişmeli alt cebiri olan $R[f]$ üzerinde bir matris olup, her iki tarafı $\Phi$'nin ek (adjoint) matrisiyle çarparak, cisimler üzerindeki genel matris teorisinde olduğu gibi, burada da $\left[\det(\Phi)I_{n}\right]X=0$ eşitliğini elde edebiliriz. Burada $I_{n}$, $n$. mertebeden birim matrisi göstermektedir. Böylece $\det(\Phi)$'nin $M$'nin tüm $m_{i}$ üreteçlerini sıfırladığı, yani $\det(\Phi)M=0$ olduğu sonucu elde edilir. Ancak $\det(\Phi)$, $M$'nin

$$f^{n}+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a_{n}$$

formundaki bir $R$-endomorfizması olduğundan kanıt tamamlanır.

Yukarıdaki önermenin kanıtındaki $\det(\Phi)$'nin, $A=[a_{ij}]$ matrisinin karakteristik polinomunda, yani $P(X)=\det[XI_{n}-A]$ polinomunda, $X$ yerine $f$ konularak elde edildiğini belirtelim. Eğer $M$, $m_{1},\ldots,m_{n}$ tabanlı bir serbest $R$-modül ve $I=R$ alınırsa, elde edilen sonuç literatürde Cayley-Hamilton teoremi olarak bilinir: $P(X)$, bir kare $A$ matrisinin karakteristik polinomu ise, $P(A)=0$'dır.

Teorem 3.8: Nakayama Lemması

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modül ve $I$, $R$'nin bir ideali olsun. Eğer $M=IM$ ise, o zaman $aM=0$ ve $1-a\in I$ olacak şekilde bir $a\in R$ vardır. Eğer ek olarak $I\subseteq\operatorname{Jac}(R)$ ise, o zaman $M=0$'dır.

Kanıt

Önerme 3.7 $M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modül, $I$, $R$'nin bir ideali ve $f$, $f(M)\subseteq IM$ koşulunu sağlayan $M$'nin bir $R$-endomorfizması olsun. O zaman $f$, $a_{i}$'ler $I^{i}$ içinde olmak üzere $$f^{n}+a_{1}f^{n-1}+\cdots+a_{n-1}f+a_{n}=0,$$ şeklinde bir eşitliği sağlar.
📖 Detaya Git de $f=\operatorname{id}_{M}$ alarak, $a=1+a_{1}+\cdots+a_{n}=0$ bağıntısını elde ederiz. Buradan $aM=0$ ve $1-a\in I$ elde edilir. Şimdi, eğer $I\subseteq\operatorname{Jac}(R)$ ise, o zaman $a$, $R$'nin bir tersinir elemanıdır ve dolayısıyla $0=a^{-1}aM=M$ olur.

Sonuç 3.9

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül, $N$, $M$'nin bir alt modülü ve $I$, $R$'nin $\operatorname{Jac}(R)$ içinde kapsanan bir ideali olsun. Eğer $M/N$ sonlu üretilmiş bir $R$-modülü ve $M=N+IM$ ise, o zaman $M=N$'dir.

$\Gamma$, değişmeli bir $R$ halkası üzerindeki bir $M$ modülünün bir üreteç kümesi olsun. Eğer $\Gamma$'nın hiçbir öz alt kümesi $M$'yi üretmiyorsa, $\Gamma$'ya $M$'nin bir minimal üreteç kümesi deriz. İki minimal üreteç kümesi aynı kardinaliteye (eleman sayısına) sahip olmak zorunda değildir; örneğin, $M=R$ olduğunda, $x$ ve $y$, $R$'nin $x+y=1$ olan tersinir olmayan elemanlarıysa, hem $\{1\}$ hem de $\{x,y\}$, $R$'nin birer minimal üreteç kümesidir. Dikkat edilirse böyle bir örnek yerel halkalarda asla görülmez. (Nedenini düşününüz.) Aşağıdaki teorem, yerel bir halka üzerindeki sonlu üretilmiş bir modülün minimal üreteç kümesinin kardinalitesinin modül için değişmez bir özellik olduğunu söyler.

Teorem 3.10

$(R,\mathfrak{M})$, yerel bir halka ve $M$, sonlu üretilmiş bir $R$-modülü olsun. $\kk=R/\mathfrak{M}$ ve $\overline{M}=M/\mathfrak{M}M$ olsun. O zaman $\overline{M}$, $\kk$ üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayıdır. $\overline{M}$'nin $\kk$-uzayı olarak boyutu $n$ olsun. O halde

$\overline{M}$ için $\kk$ üzerinde bir $\{\gamma_{1},\ldots,\gamma_{n}\}$ tabanı alır ve her $\gamma_{i}$ için bir $u_{i}\in M$ ters görüntüsü seçersek (yani, $\gamma_{i}=u_{i}+\mathfrak{M}M$), o zaman $\{u_{1},\ldots,u_{n}\}$, $M$'nin bir minimal bir üreteç kümesidir. Tersine, $M$'nin her minimal üreteç kümesi bu şekilde elde edilir.
$M$'nin herhangi bir minimal üreteç kümesi $n$ tane elemana sahiptir.

Kanıt

$\overline{M}=\sum_{i=1}^{n}R\gamma_{i}=\sum_{i=1}^{n}R(m_{i}+\mathfrak{M}M)=(\sum_{i=1}^{n}Rm_{i}+\mathfrak{M}M)/\mathfrak{M}M$ olduğundan, $M=\sum_{i=1}^{n}Rm_{i}+\mathfrak{M}M$ olur. $M/(\sum_{i=1}^{n}Rm_{i})$ de sonlu üretilmiş olduğundan, Sonuç 3.9 $M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül, $N$, $M$'nin bir alt modülü ve $I$, $R$'nin $\operatorname{Jac}(R)$ içinde kapsanan bir ideali olsun. Eğer $M/N$ sonlu üretilmiş bir $R$-modülü ve $M=N+IM$ ise, o zaman $M=N$'dir.
📖 Detaya Git gereği, $M=\sum_{i=1}^{n}Rm_{i}$ olur. Eğer $\{m_{1},\ldots,m_{n}\}$ minimal değilse, yani bir öz alt kümesi, örneğin $\{m_{i_{1}},\ldots,m_{i_{k}}\}$ ($k<n$), $M$'yi üretiyorsa, o zaman $\{\bar{m}_{i_{1}},\ldots,\bar{m}_{i_{k}}\}$, $\overline{M}$yi üretir ki bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $\{m_{1},\ldots,m_{n}\}$, $M$'nin minimal bir üreteç kümesidir.

Şimdi, $\{m_{1},\ldots,m_{t}\}$, $M$'nin bir minimal üreteç kümesi ise ve her $1\leq i\leq t$ için $\bar{u}_{i}$, $u_{i}$'nin $\overline{M}$ içindeki görüntüsü ise, $\bar{u}_{1},\ldots,\bar{u}_{t}$, $\overline{M}$'yi $\kk$ cismi üzerinde üretir. Dolayısıyla $\{\bar{m}_{1}\ldots,\bar{m_{t}}\}$, $\overline{M}$ için bir tabandır; aksi takdirde $\{\bar{m}_{1},\ldots,\bar{m_{t}}\}$'nin bir öz alt kümesi $\overline{M}$ için bir taban olurdu ve o zaman yukarıdaki gibi $\{u_{1},\ldots,u_{t}\}$'nin bir öz alt kümesi $M$'yi üretirdi. Bu ise bir çelişkidir.
$\{m_{1},\ldots,m_{t}\}$, $M$'nin minimal bir üreteç kümesi olsun. O zaman (1) den dolayı, $\{\bar{m}_{1},\ldots,\bar{m}_{t}\}$, $\overline{M}$ için bir tabandır. Varsayım gereği $\dim_\kk \overline{M}=n$ olduğundan, $t=n$ olmalıdır.

İzomorfizma Teoremleri

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül ve $N$, $M$'nin bir alt modülü olsun. Tüm $m\in M$ için $\pi(m)=m+N$ ile tanımlanan $\pi:M\to M/N$ eşlemesi örtendir ve dolayısıyla $M$'nin $M/N$ üzerine kanonik izdüşümü olarak adlandırılan bir epimorfizmadır. $M'$ ikinci bir $R$-modülü ve $f:M\to M'$ bir $R$-modülleri homomorfizması olsun. $f$'in çekirdeği, $\ker f$ ile gösterilir ve $\{m\in M:f(m)=0_{M'}\}$ kümesi olarak tanımlanır. $\ker f=0$ olması için gerek ve yeter koşulun $f$'in bir monomorfizma olması olduğu açıktır. $f$'nin görüntüsü, $\operatorname{Im} f$ ile gösterilir ve $M'$'nün $f(M)=\{f(m):m\in M\}$ alt kümesidir. $\operatorname{Im} f$, $M'$'nün bir alt modülüdür. $M$'nin $M/N$ üzerine kanonik izdüşümünün çekirdeğinin $N$ alt modülüne eşit olduğu açıktır. Böylece $M$'nin $M/0$ üzerine izdüşümü bir izomorfizmadır. Buna göre $M$ modülünün bir $N$ alt kümesinin $M$'nin bir alt modülü olması için gerek ve yeter koşul, $N$'nin $M$'den bir $R$-modülüne giden bir homomorfizmanın çekirdeği olmasıdır.

$R$ değişmeli bir halka, $M$ bir $R$-modül ve $f:M\to M$ bir $R$-endomorfizması olsun. $P(X)=a_{0}+a_{1}X+\cdots+a_{n}X^{n}\in R[X]$ için, $P(f)=a_{0}+a_{1}f+\cdots+a_{n}f^{n}\in\operatorname{End}_{R}(M)$ yazılsın. $M$ toplamsal değişmeli grubu üzerinde $$\begin{eqnarray*} \cdot:R[X]\times M & \longrightarrow & M\\ (P(X),m) & \longmapsto & P(f)(m). \end{eqnarray*}$$

ile bir skalerle çarpma işlemi tanımlayalım. Bu çarpımla, $M$, $R[X]$ üzerinde bir modül olur.

Teorem 3.11

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modül olsun. $f:M\to M$ bir $R$-endomorfizması ise ve $f$ örten ise, o zaman $f$ aynı zamanda birebirdir, yani $f$, $M$'nin bir otomorfizmasıdır.

Kanıt

$m\in M$ için $X\cdot m=f(m)$ alarak $M$ bir $R[X]$-modülü olarak görülebildiğinden, $XM=M$ olur. Nakayama Lemması ile $(1+XP)M=0$ olacak şekilde bir $P(X)\in R[X]$ vardır. Şimdi, eğer $u\in\ker f$ ise, $0=(1+XP)(u)=u+P(f)u=u$. Buradan $f$'in birebir ve dolayısıyla bir otomorfizma olduğu sonucu çıkar. $\square$

Teorem 3.12: Modüller için Birinci İzomorfizma Teoremi

$M$ ve $M'$, değişmeli $R$ halkası üzerinde modüller ve $f:M\to M'$ bir $R$-homomorfizması olsun. O zaman $f$ yardımıyla tanımlanan, her $m\in M$ için $\bar{f}(m+\ker f)=f(m)$ olacak şekilde bir $\bar{f}:M/\ker f\to\operatorname{Im} f$ izomorfizması vardır.

Sonuç 3.13

$R$ değişmeli bir halka olsun. Bir $R$-modül $M$ için, $\mathcal{S}_{M}$, $M$'nin tüm alt modüllerinin kümesini göstersin. Eğer $f:M\to M'$ bir $R$-modülleri epimorfizması ise o zaman $$\begin{eqnarray*} \tau:\{N\in\mathcal{S}_{M}:N\supseteq\ker f\} & \to & \mathcal{S}_{M'}\\ N & \mapsto & f(N) \end{eqnarray*}$$

eşlemesi kapsamayı koruyan bir birerbir eşleşmedir.

Önerme 3.14

$M$ ve $M'$, değişmeli $R$ halkası üzerinde modüller ve $f:M\to M'$ bir $R$-homomorfizması olsun. $N$, $M$'nin $N\subseteq\ker f$ olacak şekilde bir alt modülü olsun. O zaman $f$ yardımıyla tanımlanan, her $m\in M$ için $g(m+N)=f(m)$ olacak şekidle bir $g:M/N\to M'$ $R$-homomorfizması vardır. Dahası, $G$, $M$'nin bir alt modülü ve $G'$, $M'$'nün $f(G)\subseteq G'$ olacak şekilde bir alt modülü ise, o zaman $f$ yardımıyla tanımlanan, her $m\in M$ için $\tilde{f}(m+G)=f(m)+G'$ olcak şekilde bir $\tilde{f}:M/G\to M'/G'$ $R$-homomorfizması vardır.

Teorem 3.15: Modüller için İkinci İzomorfizma Teoremi

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. $N$ ve $N'$, $M$'nin $N'\supseteq N$ olacak şekilde alt modülleri olsun. O zaman her $m\in M$ için $\alpha((m+N)+N'/N)=m+N'$ ile verilen bir $$\alpha:\left(M/N\right)/\left(N'/N\right)\to M/N'$$

izomorfizması vardır.

Teorem 3.16: Modüller için Üçüncü İzomorfizma Teoremi

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül ve $K$, $L$, $M$'nin alt modülleri olsun. O zaman her $k\in K$ için $\sigma(k+K\cap L)=k+L$ şeklinde tanımlı bir $$\sigma:K/(K\cap L)\to(K+L)/L$$

izomorfizması vardır.

Tam Diziler

Tanım 3.6

$R$ değişmeli bir halka olsun.

$M$, $M'$ ve $M''$ birer $R$-modül, ve $f:M'\to M$, $g:M\to M''$ $R$-homomorfizmaları olsun. Eğer $\operatorname{Im} f=\ker g$ ise dizisine bir tam dizi denir.
Daha genel olarak, $R$-modüllerin ve $R$-homomorfizmalarının
$⋯ → M_{n-1} → M_n → M_{n+1} → M_{n+2} → ⋯$ dizisine, hem $d_{r-1}$ hem de $d_{r}$'nin tanımlı olduğu bir $M^{r}$ teriminde tam deriz, eğer $M_{r-1} → M_r → M_{r+1}$ dizisi bir tam dizi ise.
Eğer yukarıdaki dizi hem $d_{r-1}$ hem de $d_{r}$'nin tanımlı olduğu her $M_{r}$ teriminde tam ise, o zaman tüm diziye tam dizi deriz.

dizisi tamdır ancak ve ancak $h$ bir monomorfizmadır.
dizisi tamdır ancak ve ancak $h$ bir epimorfizmadır.
$M$'nin herhangi bir $G$ alt modülü için, tam dizisi vardır, burada $i$ içerim dönüşümü (yani birim dönüşümün kısıtlaması) ve $\pi$ kanonik izdüşümdür.

Tanım 3.7

$R$ değişmeli bir halka olsun. $R$-modülleri ve $R$-homomorfizmalarının $$0\longrightarrow M'\overset{f}{\longrightarrow}M\overset{g}{\longrightarrow}M''\longrightarrow0$$

formundaki bir tam dizisine bir kısa tam dizi denir.

$R$-modülleri ve $R$-homomorfizmalarının $$0\longrightarrow M'\overset{f}{\longrightarrow}M\overset{g}{\longrightarrow}M''\longrightarrow0$$

dizisinin bir kısa tam dizi olması için gerek ve yeter koşul aşağıdakilerin sağlanmasıdır:

$f$ bir monomorfizmadır ve $g$ bir epimorfizmadır,
$\operatorname{Im} f=\ker g$.

Modüllerin Dik Çarpımları ve Dik Toplamları

$\{M_{\lambda}$, $\lambda\in\Lambda\}$, değişmeli bir $R$ halkası üzerindeki modüllerin bir ailesi olsun. $\prod_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$'nin bir elemanı, $M_{\lambda}$'ların her birinden bir eleman içeren bir $\Lambda$-listesidir, yani her $\lambda\in\Lambda$ için $m_{\lambda}\in M_{\lambda}$ olmak üzere, $(m_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ biçiminde bir yapıdır. $\prod_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$'nin iki elemanının toplamını ve bir elemanın herhangi bir skalerle çarpımını sırasıyla $$(m_{\lambda})+(m'_{\lambda})=(m_{\lambda}+m'_{\lambda})$$

$$r(m_{\lambda})=(rm_{\lambda})$$

ile tanımlarız. Bu yeni $R$-modülüne $\{M_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ ailesinin dik çarpımı deriz.

$\prod_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$ dik çarpımının $$\left\{ (m_{\lambda})\in\prod_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}:\text{sonlu tane }\lambda\in\Lambda\text{ hariç her }\lambda\text{ için }m_{\lambda}=0\right\}$$

alt kümesi $\prod_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$'nin bir alt modülüdür. Bu alt modüle $\{M_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ ailesinin dik toplamı denir ve $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$ ile gösterilir.

Şimdi $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$'nın

$$M'_{\mu}:=\left\{ (m_{\lambda})\in\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}:m_{\lambda}=0\,\text{tüm }\lambda\in\Lambda\,\text{için, }\lambda\neq\mu\text{ olmak üzere}\right\}$$

alt kümesini tanımlayalım. Aşağıdakilerin sağlandığını kolayca görebiliriz:

$M'_{\mu}$, $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$'nın bir $R$-alt modülüdür ve tüm $\mu\in\Lambda$ için $M'_{\mu}\cong M_{\mu}$'dür,
$\sum_{\lambda\in\Lambda}M'_{\lambda}=\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda},$ ve
her $\mu\in\Lambda$ için,$$M'_{\mu}\bigcap\sum_{\substack{\lambda\in\Lambda\\ \lambda\neq\mu}}M'_{\lambda}=0.$$

Tanım 3.8

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül ve $\{M_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$, $M$'nin alt modüllerinin bir ailesi olsun. Eğer

$M=\sum_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$
her $\mu\in\Lambda$ için,
$$M_{\mu}\bigcap\sum_{\substack{\lambda\in\Lambda\\ \lambda\neq\mu}}M_{\lambda}=0$$

ise, o zaman $M$'ye $\{M_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ alt modül ailesinin dik toplamı veya bazen iç dik toplamı denir ve

$$\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$$

şeklinde gösterilir.

Eğer $M$'nin bir $\{M_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ alt modül ailesi için $M=\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$ ise, o zaman yukarıdaki tanımdaki (1) koşuluyla, herhangi bir $m\in M$ elemanı için,

$$m=\sum_{i=1}^{n}m_{i}$$

olacak şekilde $n\in\mathbb{N}_{0}$, $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\Lambda$ ve $m_{i}\in M_{\lambda_{i}}$ ($i=1,\ldots,n$) vardır. Şimdi, (2) koşulu, $n$ sayısının, $\lambda_{i}$'lerin ve $m_{i}\in M_{\lambda_{i}}$ elemanlarının $m$ tarafından tek bir şekilde belirlendiğini ifade eder. Bu özellik, iç dik toplamları normal toplamlardan ayırır.

Ayrıca, yukarıdaki tanımdan önce verilen argümanlarla, değişmeli bir $R$ halkası üzerindeki bir $\{M_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ modül ailesi ve

$$M_{\mu}'=\left\{ (m_{\lambda})\in\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}:m_{\lambda}=0\,\text{tüm }\lambda\in\Lambda\,\text{için, }\lambda\neq\mu\text{ olmak üzere}\right\}$$

alt modülleri için, $M_{\lambda}$'ların $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$ dış dik toplamının, $\{M'_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ alt modül ailesinin $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M'_{\lambda}$ iç dik toplamı ile aynı olduğunu görebiliriz.

$R$ bir değişmeli halka olmak üzere $R$-modüllerin bir $\{M_\lambda:\lambda\in\Lambda\}$ ailesini düşünelim. Her $\mu\in\Lambda$ için, $q_{\mu}:M_{\mu}\to\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$ kanonik gömülme ve $p_{\mu}:\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}\to M_{\mu}$'nun, her $(m_{\lambda})\in\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$ için $$p_{\mu}((m_{\lambda}))=m_{\mu}$$

olacak şekilde kanonik izdüşüm olarak tanımlansın. O zaman aşağıdakiler sağlanır:

$p_{\mu}\circ q_{\mu}=\operatorname{Id}_{M_{\mu}}$.
$\mu\neq\lambda$ ile tüm $\mu\in\Lambda$ için $p_{\lambda}\circ q_{\mu}=0$.
$\Lambda$ sonlu olduğunda, $\sum_{\lambda\in\Lambda}q_{\lambda}\circ p_{\lambda}=\operatorname{Id}_{M}$.

📝 Ödev 3.2 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 22.03.2026 23:59

$M,M_{1},\ldots M_{n}$ değişmeli bir $R$ halkası üzerinde modüller olsun.

$q_{j}$'nin kanonik gömülme olduğu ve tüm $(m_{1},\ldots,m_{n})\in\bigoplus_{i=1}^{n}M_{i}$ için $$p'_{j}((m_{1},\ldots,m_{n}))=(m_{1},\ldots,\hat{m}_{j},\ldots,m_{n})$$
olduğu
$$0\longrightarrow M_{j}\overset{q_{j}}{\longrightarrow}\bigoplus_{i=1}^{n}M_{i}\overset{p'_{j}}{\longrightarrow}\bigoplus_{\begin{array}{c} i=1\\ i\neq j \end{array}}^{n}M_{i}\longrightarrow0$$ $R$-homomorfizmalarının tam dizisinin var olduğunu gösteriniz. (Burada $\hat{m}_{j}$, $(m_{1},\ldots,m_{n})$ içinde $j$-inci koordinatın silindiğini ifade eder.)
Her $1\leq i,j\leq n$ için$$\tilde{p}_{i}\circ\tilde{q}_{i}=\operatorname{Id}_{M_{i}}\qquad\text{ve}\qquad i\neq j\text{\hspace{1em} ise \hspace{1em}}\tilde{p}_{i}\circ\tilde{q}_{j}=0$$
olacak şekilde $\tilde{p}_{i}:M\to M_{i}$ ve $\tilde{q}_{i}:M_{i}\to M$ homomorfizmalarının var olduğunu ve $\sum_{i=1}^{n}\tilde{q}_{i}\circ\tilde{p}_{i}=\operatorname{Id}_{M}$ olduğunu varsayalım. Her $m\in M$ için,
$$f(m)=(\tilde{p}_{1}(m),\ldots,\tilde{p}_{n}(m))$$
ile tanımlanan $f:M\to\bigoplus_{i=1}^{n}M_{i}$ eşlemesinin bir izomorfizma olduğunu gösteriniz.

Tanım 3.9

$R$ değişmeli bir halka ve $$0\longrightarrow M'\overset{f}{\longrightarrow}M\overset{g}{\longrightarrow}M''\longrightarrow0$$ $R$-homomorfizmalarının bir kısa tam dizisi olsun. Eğer $\operatorname{Im} f=\ker g$, $M$'nin bir dik toplananı ise, yani $M=\ker g\oplus N$ olacak şekilde $M$'nin bir $N$ alt modülü varsa, bu kısa tam diziye parçalanan kısa tam dizi denir.

Parçalanan bir kısa tam dizi örneğini aşağıdaki şekilde verebiliriz:

$$0\longrightarrow M'\overset{q_{1}}{\longrightarrow}M'\oplus M''\overset{p_{2}}{\longrightarrow}M''\longrightarrow0.$$

Burada $M'$ ve $M''$ $R$-modülleridir, $q_{1}$ kanonik gömülme ve $p_{2}$ kanonik izdüşümdür.

📝 Ödev 3.3 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 22.03.2026 23:59

$R$ değişmeli bir halka ve $$\tag{$*$}0\longrightarrow M'\overset{f}{\longrightarrow}M\overset{g}{\longrightarrow}M''\longrightarrow0$$ $R$-homomorfizmalarının bir kısa tam dizisi olsun. Aşağıdaki koşulların denk olduğunu gösteriniz:

$(*)$ kısa tam dizisi parçalanır;
$gh=\operatorname{Id}_{M''}$ olacak şekilde bir $h:M''\to M$ $R$-homomorfizması vardır;
$ef=\operatorname{Id}_{M'}$ olacak şekilde bir $e:M\to M'$ $R$-homomorfizması vardır.

Serbest Modüller

Tanım 3.10

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. $M$'nin aşağıdaki özelliklere sahip bir $\{e_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ alt kümesi içerdiğini varsayalım:

$\{e_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$, $M$'yi üretir, ve
her $m\in M$ için $m=\sum_{\lambda\in\Lambda}r_{\lambda}e_{\lambda}$ olacak şekilde sonlu tanesi hariç tümü sıfır olan tek türlü belirli $r_{\lambda}\in R$ ($\lambda\in\Lambda$) elemanları vardır.

O zaman $M$'ye $\{e_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ tabanlı bir serbest (free) $R$-modül denir.

Not 3.6

$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde bir modül ve $\{e_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$, $M$'nin $M=\sum_{\lambda\in\Lambda}Re_{\lambda}$ olacak şekilde bir alt kümesi olsun. O zaman $M$'nin $\{e_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ tabanlı serbest bir $R$-modül olması için gerek ve yeter koşul, ne zaman sonlu tanesi sıfırdan farklı $r_{\lambda}\in R$ ($\lambda\in\Lambda$) elemanları için $$\sum_{\lambda\in\Lambda}r_{\lambda}e_{\lambda}=0$$

yazılsa, her $\lambda\in\Lambda$ için $r_{\lambda}=0$ olmasıdır.

Önerme 3.17

$R$ değişmeli bir halka olsun.

$\{R_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$, her $\lambda\in\Lambda$ için $R_{\lambda}=R$ olacak şekilde $R$-modüllerin boş olmayan bir ailesi olsun. O zaman $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}R_{\lambda}$, $\{e_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ tabanlı serbest bir $R$-modüldür. Burada her $\mu\in\Lambda$ için, $e_{\mu}\in\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}R_{\lambda}$ elemanının $R_{\mu}$ içindeki bileşeni $1$ ve diğer tüm bileşenleri sıfırdır.
$M$ bir $R$-modül olsun. O zaman $M$'nin serbest olması için gerek ve yeter koşul, $M$'nin yukarıdaki (1) maddesinde verilen tipte bir $R$-modüle izomorf olmasıdır. Aslında, eğer $M$'nin bir $\{m_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ tabanı varsa, o zaman her $\lambda\in\Lambda$ için $R_{\lambda}=R$ olmak üzere $m_{\lambda}$ ile $e_{\lambda}$'nın karşılık geldiği bir $M\cong\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}R_{\lambda}$ izomorfizması vardır.

📝 Ödev 3.4 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 22.03.2026 23:59

$R$ değişmeli bir halka ve $\{e_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$, boş olmayan bir $\Lambda$ kümesi ile indekslenmiş bir *semboller* kümesi olsun. $\{e_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ kümesini taban kabul eden serbest bir $R$-modülü inşa ediniz.

Önerme 3.18

$M$, değişmeli bir $R$ halkası üzerinde bir modül olsun. O zaman serbest bir $F$ $R$-modülü ve bir $f:F\to M$ $R$-modül epimorfizması vardır.

Ayrıca, eğer $M$, $n$ eleman tarafından sonlu olarak üretilmişse, o zaman $F$, $n$ elemanlı sonlu bir tabana sahip serbest bir $R$-modülü olarak alınabilir.

Önerme 3.19

$R$ aşikar olmayan değişmeli bir halka ve $F$, sonlu tabanlı serbest bir $R$-modülü olsun. O zaman $F$ için her taban sonludur ve $F$ için herhangi iki taban aynı sayıda elemana sahiptir. $F$ için bir tabandaki eleman sayısına $F$'in rankı denir.

Kanıt

(Taslak) $F$, $\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ tabanlı serbest bir $R$-modül olsun. $R$'nin bir $\mathfrak{M}$ maksimal idealini ele alalım ve $F/\mathfrak{M}F$ $R$-modülünü düşünelim. $F/\mathfrak{M}F$, $\mathfrak{M}$ tarafından sıfırlandığı için, aynı zamanda $R/\mathfrak{M}$ üzerinde bir vektör uzayıdır. Şimdi, $\{e_{1}+\mathfrak{M}F,\ldots,e_{n}+\mathfrak{M}F\}$ kümesinin $F/\mathfrak{M}F$ için $R/\mathfrak{M}$ üzerinde bir taban oluşturduğu gösterilirse önerme buradan elde edilir.

📝 Ödev 3.5 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 22.03.2026 23:59

$F$'in aşikar olmayan değişmeli bir $R$ halkası üzerinde serbest bir modül olduğunu ve $F$'in sonlu üretildiğini varsayalım. $F$ için her tabanın sonlu olduğunu gösteriniz.