Ön Bilgiler
Bu bölüm, Değişmeli Cebir çalışması için gerekli olan halkalar, homomorfizmalar, alt halkalar, idealler ve sıfır bölenler gibi temel kavramları sunmaktadır.
Tarihsel Arka Plan
Değişmeli halka teorisi, sayılar teorisi, cebirsel geometri ve değişmezler teorisinden doğmuştur. Cebirsel sayı cisimlerindeki ve cebirsel fonksiyon cisimlerindeki "tamsayılar" halkaları ve iki veya daha fazla değişkenli polinom halkaları, bu konuların gelişiminde merkezi rol oynamıştır.
Gauss, Kummer ve Tek Türlü Çarpanlara Ayırma
Ondokuzuncu yüzyılın ortalarında, rasyonel sayıların sonlu cisim genişlemelerinin incelenmesinin sayılar teorisi için vazgeçilmez olduğu da anlşılmıştı. Ancak, bu tür genişlemelerdeki "tamsayılar"ın, tek türlü çarpanlara ayırma özelliğini sağlamayabileceği de fark edildi. Fermat'nın son teoremini çözme girişiminde, Gauss, Dirichlet, Kummer ve diğer matematikçiler, $\zeta$ birimin bir kökü olmak üzere, $\mathbb{Z}[\zeta]$ halkalarını incelediler. Ernst Kummer (1844), $\mathbb{Z}[i]$'nin aksine, $\zeta$ birimin yirmi üçüncü ilkel kökü olduğunda $\mathbb{Z}[\zeta]$ halkasının tek türlü çarpanlara ayırma özelliğine sahip olmadığını gördü ve 1847'de, ideal bölenler kavramını ortaya attığı bir makale yazdı.
Dedekind ve İdealler
Richard Dedekind, o zamana kadar büyük ölçüde hesaplamalara dayanan bu teoriye genel bir yaklaşım getirerek ideal kavramını ortaya attı ve asal sayıları asal ideallere genelleştirdi. Elemanları tek türlü çarpanlara ayırma özelliğini sağlamayan bazı halkaların ideallerinin, asal ideallerin bir çarpımı olarak tek bir şekilde ifade edilebildiği durumları inceledi. Dedekind'in bu çalışmaları, günümüzde Dedekind Halkaları olarak bilinen halkaların temelini oluşturmuştur.
Dedekind, Göttingen'deyken Peter Gustav Lejeune Dirichlet'in sayılar teorisi derslerine katıldı. Daha sonra bu ders notlarını düzenleyerek 1863'te Dirichlet adı altında Sayılar Teorisi Üzerine Dersler'i yayınladı. 1879 ve 1894 yıllarındaki üçüncü ve dördüncü baskılarda, idealler üzerine yaptığı çalışmaları açıklayan ekler yazdı.
Hilbert ve Cebirsel Geometri
Kartezyen koordinatların ve karmaşık sayıların ortaya çıkışından sonra, geometri ve cebiri birbirine bağlamak mümkün hale geldi. $R=\mathbb{C}[X_{1},\ldots,X_{n}]$ polinom halkasının herhangi bir $I$ alt kümesini, $\mathbb{C}^{n}$'in
$$\mathcal{Z}(I)=\{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n}:f(a_{1},\ldots,a_{n})=0\,\text{her }f\in I\text{ için}\}.$$alt kümesi ile ilişkilendirebiliriz. Bu kümeye bir afin varyete (affine variety) denir. Diğer yandan, her $X\subseteq\mathbb{C}^{n}$ kümesini, $R$'nin şu alt kümesi ile ilişkilendirebiliriz:
$$\mathcal{I}(X)=\{f\in\mathbb{C}[X_{1},\ldots,X_{n}]:f(a_{1},\ldots,a_{n})=0\,\text{her }(a_{1},\ldots,a_{n})\in X\text{ için}\}$$Bu küme $R$'nin bir (radikal) idealidir. Hilbert'in Nulstellensatz'ı (1893), afin varyeteler (geometrik nesneler) ile radikal idealler (cebirsel nesneler) arasında birebir bir eşleşme sağlar. Bu nedenle, Cebirsel Geometri alanının David Hilbert'in bu teoremi ile başladığını söylemek yanlış olmaz.
Hilbert ve Değişmezler Teorisi
Düzlem eğrilerinin belirli dönüşüm sınıfları altında değişmez kalan geometrik özelliklerinin incelenmesi, $F[X_{1},\ldots,X_{n}]$ polinom halkasının belirli otomorfizmalarından oluşan bir grubun etkisi altında sabit kalan elemanlarının incelenmesine yol açmış ve bu da değişmezler teorisini (invariant theory) doğurmuştur. Buradaki temel problem, sabit elemanlardan oluşan alt cebir için sonlu bir üreteç sistemi bulmaktı. 19. yüzyılın sonundaki bir dizi makalede David Hilbert, bir varlık kanıtı vererek bu problemi çözmüştür. Çözümdeki ilk adım günümüzde genellikle Hilbert taban teoremi olarak bilinir.
Noether, Krull ve Soyut Cebirin Yükselişi
Değişmeli halkaların aksiyomatik olarak ele alınması, 1920'lerde Emmy Noether ve Wolfgang Krull'un çalışmalarından sonra gelişmiştir. 1921'de Emmy Noether, polinom halkaları teorisi ile sayı halkaları teorisini tek bir soyut değişmeli halka teorisi altında toplamayı başardı. 1921 tarihli makalesinde, bir temsilin (representation) bir grup cebiri üzerinde bir modül olarak düşünülebileceğini fark etti. Sadece bir cisim üzerindeki cebirlerle değil, artan zincir koşulunu sağlayan halkalarla da çalışarak teoriyi daha genel bir şekilde geliştirebildi. Emmy Noether'in değişmeli halkalar için artan zincir koşulunu kullanması, aynı koşulu sağlayan değişmeli olmayan halkaların incelenmesine kaynaklık etmiştir.
Ayrıca, aralarında Artin halkaları sınıfına adı verilen Emil Artin ve yerelleştirme, bir halkanın tamlanışı ve düzenli yerel halkalar gibi günümüzde merkezi olan kavramları tanıtan ve değişmeli halkalardaki idealler teorisine önemli katkılarda bulunan Wolfgang Krull da dahil olmak üzere teorinin önde gelen birçok 20. yüzyıl matematikçisini etkiledi. Krull, bir halkanın Krull boyutu kavramını önce Noether halkaları için oluşturdu. Daha sonra teorisini genel değerleme (valuation) halkalarını ve Krull halkalarını kapsayacak şekilde genişletti. Günümüzde, Krull'un esas ideal teoremi (principal ideal theorem), değişmeli cebirdeki en önemli temel teoremlerden biri olarak kabul edilir.
Değişmeli Cebiri tam teşekküllü bir matematik dalına yükseltme onuru, Ernst Kummer (1810-1893), Leopold Kronecker (1823-1891), Richard Dedekind (1831-1916), David Hilbert (1862-1943), Emanuel Lasker (1868-1941), Emmy Noether (1882-1935), Emil Artin (1898-1962), Wolfgang Krull (1899-1971) ve Van Der Waerden (1903-1996) gibi birçok ünlü matematikçiye aittir.
Günümüzde Değişmeli Cebir hızla büyümekte ve birçok farklı yönde gelişmektedir. Karmaşık analiz, topoloji, homolojik cebir, cebirsel sayılar teorisi, cebirsel geometri, sonlu cisimler ve hesaplamalı cebir gibi çok çeşitli alanlarla güçlü bağlantıları vardır.
Halkalar, Alt Halkalar, Homomorfizmalar
Bu bölümde, bu ders boyunca kullanacağımız bazı ön kavramların ve kabullerin kısa bir özetini veriyoruz.
Tanım 2.1
Bir $R$ halkası ile, aşağıdaki koşulları sağlayan iki ikili işleme (toplama ve çarpma) sahip (boş olmayan) bir kümeyi kastediyoruz:
- $(R,+)$ değişmeli bir gruptur,
çarpma işlemi birleşmelidir, yani $R$'deki tüm $x$,$y$ ve $z$ elemanları için $x(yz)=(xy)z$'dir,
çarpma işlemi toplama işlemi üzerine dağılmalıdır, yani $R$'deki tüm $x$,$y$ ve $z$ elemanları için $x(y+z)=xy+xz$ ve $(y+z)x=yx+zx$'tir.
Not 2.1
- Bu derste sadece değişmeli halkaları, yani tüm $x$ ve $y$ elemanları için $xy=yx$ olan halkaları ve birimli halkaları, yani tüm $x$ elemanları için $1x=x1=x$ olacak şekilde 1 elemanına sahip olan halkaları ele alacağız. Dolayısıyla, $R$'nin değişmeli bir halka olduğunu söylediğimizde, $R$'nin birim elemana sahip olduğu da anlaşılmalıdır.
- Bir halkada $0=1$ olduğunda, halkanın sadece sıfır elemanından oluştuğu açıktır; bu durumda halkaya "sıfır halkası" deriz. Bu halka, incelemeye değer ilginç bir halka olmadığından, bu derste daima $0\neq 1$ olduğunu varsayacağız.
Tanım 2.2
Tanım 2.3
Bir halka homomorfizması, bir $R$ halkasından bir $S$ halkasına giden ve $R$'deki tüm $x$ ve $y$'ler için aşağıdaki koşulları sağlayan bir $f$ dönüşümüdür:
- $f(x+y)=f(x)+f(y)$,
- $f(xy)=f(x)f(y),$
- $f(1_{R})=1_{S}$.
İki halka homomorfizmasının bileşkesinin (mümkün olduğunda) yine bir homomorfizma olduğuna dikkat ediniz.
Örnek 2.26
Tanım 2.4
Eğer $R$ bir halka ise, her $n\in\mathbb{Z}$ için $f(n)=n(1_{R})$ ile tanımlanan $f:\mathbb{Z}\to R$ dönüşümü bir halka homomorfizmasıdır. Buradan her halkanın doğal bir $\mathbb{Z}$-cebiri yapısına sahip olduğu sonucu çıkar. Tanım gereği, sıfırdan farklı her değişmeli halka, alt halkaları üzerinde bir cebirdir.
Örnek 2.27: Örnekler
- $R$ değişmeli bir halka ve $X$ bir değişken ise, $R$, $R[X]$'in bir alt halkasıdır ve $R[X]$, $R[[X]]$'in bir alt halkasıdır.
- $R$ bir halka olsun. $R$'nin alt halkalarının kesişiminin yine $R$'nin bir alt halkası olduğunu görmek zor değildir. Bu gözlem, $R$'nin aşağıdaki özel tipteki alt halkalarına yol açar.
$S$, $R$'nin bir alt halkası ve $A$, $R$'nin bir alt kümesi olsun. $S$ alt halkası üzerinde $A$ alt kümesi tarafından üretilen $R$'nin alt cebirini, $R$'nin hem $S$'yi hem de $A$'yı içeren tüm alt halkalarının kesişimi olarak tanımlar ve bunu $S[A]$ ile gösteririz. $S[A]$'nın, $R$'nin hem $S$'yi hem de $A$'yı içeren en küçük alt halkası olduğu ortadadır. $S$, $S[A]$'nın bir alt halkası olduğundan, $S[A]$, $S$ üzerinde bir cebirdir ki bu da "alt cebir" ismini açıklar. $A=\{\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\}$ kümesinin $R$'nin sonlu bir alt kümesi olması durumunda, $S[A]$'yı $S[\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}]$ olarak yazarız. Bu durumda
$$S[\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}]=\left\{ \sum_{\text{sonlu}}s_{m_{1},\ldots,m_{n}}\alpha_{1}^{m_{1}}\ldots\alpha_{n}^{m_{n}}:m_{1},\ldots,m_{n}\geq0,\,\text{ve }s_{m_{1},\ldots,m_{n}}\in S\right\}$$
elde edilir. ($a^{0}=1$ kabulünü yaptığımıza dikkat ediniz.) Gauss tamsayıları halkası için neden $\mathbb{Z}[i]$ gösterimini kullandığımız artık daha net olmalıdır. ($i^{2}=-1\in\mathbb{Z}$ olduğundan, $i^{n}$ ya $\pm1$ ya da $\pm i$'dir ve bu nedenle $\mathbb{Z}[i]$, $\mathbb{C}$'nin $\mathbb{Z}$ alt halkası üzerinde $\{i\}$ alt kümesi tarafından üretilen alt cebirdir.) $R$'nin herhangi $A$ ve $B$ alt kümeleri için $S[A\cup B]=S[A][B]$ olduğu da kolayca görülebilir. Ayrıca $S[A]$'nın, $B$, $A$'nın tüm sonlu alt kümelerini tararken, $S[B]$ alt cebirlerinin birleşimi olduğu sonucuna da varabiliriz.
Sıfır Bölenler, Nilpotent ve Tersinir Elemanlar
Tanım 2.5
Bir $R$ halkasının bir $a$ elemanına, eğer $ab=0$ olacak şekilde sıfırdan farklı bir $b\in R$ elemanı varsa sıfır bölen denir. Başka bir deyişle, sıfır bölen, sıfırı bölen bir elemandır. Dikkat edilirse $0$ doğal olarak bir sıfır bölendir. Eğer $R$'nin sıfır dışında sıfır böleni yoksa, $R$'ye bir tamlık bölgesi (veya kısaca bölge) deriz.
📝 Ödev 2.1 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 05.03.2026 00:00
- Eğer $f\in R[X]$, $R[X]$ içinde bir sıfır bölense, o zaman $cf=0$ olacak şekilde sıfırdan farklı bir $c\in R$ elemanının var olduğunu gösteriniz.
- Eğer $R$ bir tamlık bölgesi ise, $R[X_{1},\ldots,X_{n}]$'in de öyle olduğunu gösteriniz.
- $R$'nin bir tamlık bölgesi olması için gerek ve yeter koşulun $R[[X_{1},\ldots,X_{n}]]$'in bir tamlık bölgesi olması olduğunu gösteriniz.
📝 Ödev 2.2 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 05.03.2026 00:00
📝 Ödev 2.3 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 05.03.2026 00:00
📝 Ödev 2.4 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 05.03.2026 00:00
- $f$'nin $R[X]$'in bir tersinir elemanı olması için gerek ve yeter koşulun $a_{0}$'ın tersinir ve $a_{1},\ldots,a_{n}$'in hepsinin nilpotent olması olduğunu gösteriniz.
- $R[X]$'in asla bir cisim olmadığını gösteriniz.
📝 Ödev 2.5 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 05.03.2026 00:00
olsun, burada her $i\geq0$ için $f_{i}$, $R[X_{1},\ldots,X_{n}]$ içinde ya sıfır ya da $i$ dereceli homojen bir polinomdur. $f$'nin $R[[X_{1},\ldots,X_{n}]]$'in bir tersinir elemanı olması için gerek ve yeter koşulun $f_{0}$'ın $R$'nin bir tersinir elemanı olması olduğunu kanıtlayınız.
Bir Tamlık Bölgesinin Kesirler Cismi
ile gösterelim. Buna göre
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\quad\text{ve}\quad\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$şeklinde tanımlanan işlemlerle $Q=\left\{ \frac{a}{b}:a,b\in R,\,b\neq 0\right\}$ kümesi bir cisimdir. Bu cisme $R$'nin kesirler cismi denir.
şeklinde bir dönüşüm tanımlauabiliriz. Bu fonksiyon aslında birebir halka homomorfizmasıdır. Böylece $R$'nin bir alt halka olarak $Q$ içine gömülebilir. $R$'nin $r$ elemanlarını $Q$'da $r/1$ olarak yeniden tanımlayarak, $R$'nin kendisinin de $Q$'nun bir alt halkası olduğunu varsayabiliriz. Dahası; eğer $F$ bir cisim ve $f:R\to F$ bir halka homomorfizması ise, $g\iota=f$ olacak şekilde bir $g:Q\to F$ halka homomorfizması vardır, yani aşağıdaki diyagramı değişmeli yapan bir $g:Q\to F$ halka homomorfizması vardır:
Değişmeli Bir Halkada Elemanların Çarpanlara Ayrılması
Tanım 2.6
- $p$, $R$'nin tersinir bir elemanı değildir ve
her $a,b\in R$ için $p=ab$ olduğunda, $a$ veya $b$'den biri $R$'nin bir tersinir elemanıdır.
Tanım 2.7
- $R$'de tersinir olmayan sıfırdan farklı her eleman, $R$'nin indirgenemez elemanlarının bir çarpımı olarak ifade edilebilir ve
- $n,m\in\mathbb{N}$ ve $p_{1},\ldots,p_{n},q_{1},\ldots,q_{m}$ $R$'nin indirgenemez elemanları olmak üzere
$$p_{1}p_{2}\ldots p_{n}=q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$$
eşitliği sağlanırsa, o zaman $n=m$'dir ve uygun bir yeniden indekslemeden sonra,
$$p_{i}=u_iq_{i}\,\,\,\,\,\text{her }1\leq i\leq n\text{ için}$$olacak şekilde $R$'de $u_{1},\ldots,u_{n}$ tersinir elemanları vardır.
Tanım 2.8
- $a,b\in R\setminus\{0\}$ ve $a=bc$ olacak şekilde bir $c\in R$ varsa, $\partial(b)\leq\partial(a)$'dır.
Her $a,b\in R$, $b\neq 0$ için
$$a=qb+r\,\text{öyle ki ya }r=0\,\text{ya da }r\neq0\,\text{ve }\partial(r)<\partial(b)$$olacak şekilde $q,r\in R$ vardır.
Tamsayılar halkası $\mathbb{Z}$, Gauss tamsayıları halkası $\mathbb{Z}[i]$ ve bir $F$ cismi üzerindeki $X$ değişkenine bağlı polinomlar halkası $F[X]$ birer Öklit bölgesidir.
Teorem 2.1
Her Öklit bölgesi bir TÇAB'dir.
Teorem 2.2
Eğer $R$ bir TÇAB ise, $R[X]$ de bir TÇAB'dir.
Genel olarak, eğer $F$ bir cisim ise, $n$ değişkenli $F[X_{1},\ldots,X_{n}]$ polinom halkası bir TÇAB olur. Ayrıca, $F=\mathbb{Z}$ olduğunda da aynısını söyleyebiliriz.
İdealler, Bölüm Halkaları
Tanım 2.9
- $I$ toplamsal bir alt grup ve
her $x\in R$, $y\in I$ için $xy\in I$
oluyorsa $I$ kümesine $R$'nin bir ideali denir.
$R$'nin ideallerinin kümesini $\mathcal{I}_{R}$ ile gösteririz.
Her değişmeli $R$ halkasının en az iki doğal ideali vardır: $\{0\}$ ve $R$'nin kendisi. İlkine sıfır ideali adı verilir ve basitçe $0$ ile gösterilir.
📝 Ödev 2.6 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 05.03.2026 00:00
ve
$$(r_{1},\ldots,r_{n})(s_{1},\ldots,s_{n})=(r_{1}s_{1},\ldots,r_{n}s_{n})$$şeklinde tanımlanan işlemlerle $R$ bir halkadır. Bu yeni halkaya $R_{1},\ldots,R_{n}$'in direkt çarpımı denir.
Eğer her $i=1,\ldots,n$ için $I_{i}$, $R_{i}$'nin bir ideali ise, $I_{1}\times\cdots\times I_{n}$'in $\prod_{i=1}^{n}R_{i}$ direkt çarpım halkasının bir ideali olduğunu gösteriniz. Ayrıca $\prod_{i=1}^{n}R_{i}$'nin her idealinin bu biçimde olduğunu kanıtlayınız.
Örnek 2.28
Bu toplamsal değişmeli grup üzerinde
$$(a+I)(b+I) =ab+I$$şeklinde tanımlanan çarpma işlemi ile $R/I$ bir halkadır. Bu halkaya $R/I$ bölüm halkası denir. Örneğin, $R=\mathbb{Z}$ ve $I=4\mathbb{Z}$ için $R/I=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ bölüm halkası, tamsayıların 4 modülüne göre kalanlarının halkasıdır.
Teorem 2.3: Bölüm Halkasının İdealleri
- Eğer $J$, $R$'nin $I$'yı içeren bir ideali ise, o zaman $J/I$ değişmeli grubu $R/I$'nın bir idealidir. Ayrıca, $r\in R$ için, $r+I\in J/I$ olması için gerek ve yeter koşul $r\in J$ olmasıdır.
- $\mathcal{J}$, $R/I$ bölüm halkasının bir ideali ise, o zaman $R$'nin $I$'yı içeren ve $\mathcal{J}=J/I$ olan tek bir $J$ ideali vardır; aslında bu $J$ şu şekilde verilir: $$J=\{a\in R:a+I\in\mathcal{J}\}.$$
Önerme 2.4
Eğer $R$ bir halka ve $I$, $R$'nin bir ideali ise, $R$'nin $I$'yı içeren $J$ idealleri ile $R/I$'nın $\mathcal{J}$ idealleri arasında, $J=\phi^{-1}(\mathcal{J})$ ile verilen, birebir ve sırayı koruyan bir eşleşme vardır. Bu eşleşmeyi açıkça şöyle verebiliriz:
$$\begin{eqnarray*} \tau:\{J:J,\,R\text{'nin bir ideali ve }J\supseteq I\} & \to & \{R/I\text{'nın idealleri}\}\\ J & \mapsto & J/I \end{eqnarray*}$$Teorem 2.5
ile tanımlanan ve her $r\in R$ için $\eta((r+I)+J/I)=r+J$ olan eşleme bir halka izomorfizmasıdır.
Herhangi bir $f:R\rightarrow S$ halka homomorfizması için, $f^{-1}(0)$ alt kümesi $R$'nin bir idealidir ve buna $f$'in çekirdeği denir. $f$'in çekirdeğini $\ker(f)$ ile gösteririz.
Teorem 2.6
Önerme 2.7
- $\left(S\right)$, $R$'nin bir idealidir,
- $S\subseteq\left(S\right)$,
- $\left(S\right)$, $R$'nin $S$'yi içeren idealleri arasındaki en küçük idealdir,
- $(\emptyset)=0$.
Ayrıca şu da gösterilebilir:
$$\left(S\right)=\left\{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}:n\in\mathbb{N},\text{ her } i=1,\ldots,n\text{ için }a_{i}\in R\text{ ve }x_{i}\in S\right\} .$$
Eğer $n=1$ ise, $I=\left(x_{1}\right)$'e $x_{1}$ tarafından üretilen bir esas ideal (principal ideal) denir. Bu durumda, herhangi bir $x\in R$ elemanı için $\left(x\right)=\{rx:r\in R\}$ olur. $R$'deki $\left(x\right)$ esas idealini sıklıkla $Rx$ ile gösteririz. Her halkada $0$ ve $R$ birer esas idealdir, çünkü $0=\left(0\right)=\left(\emptyset\right)$ ve $R=\left(1\right)$'dir. Her ideali esas ideal olan bir halkaya esas ideal halkası denir. Eğer bir tamlık bölgesi aynı zamanda bir esas ideal halkası ise, buna esas ideal bölgesi (kısaca EİB) denir. Örneğin, $\mathbb{Z}$ ve $\mathbb{Z}[i]$ birer esas ideal bölgesi örneğidir. Ayrıca, $F$ bir cisim ise, $F[X]$ polinom halkası bir EİB'dir (ancak aynı durum $F$ bir cisim değilse genel olarak doğru değildir; örneğin, $F=\mathbb{Z}$ ise).
Teorem 2.8
Her Öklit bölgesi bir EİB'dir. Aslında, aşağıdaki gerektirmeler doğrudur:
$$\text{Öklit bölgesi}\Longrightarrow\text{EİB}\Longrightarrow\text{TÇAB}$$Ancak, bu gerektirmelerin hiçbirinin tersi doğru değildir.
📝 Ödev 2.7 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 05.03.2026 23:59
- $F$ cismi üzerindeki $X$ ve $Y$ değişkenleri için $F[X,Y]$ polinom halkasının $(X,Y)$ idealinin esas ideal olmadığını göstererek bir esas ideal bölgesi olmadığını (ve dolayısıyla bir Öklit bölgesi de olamayacağını) kanıtlayınız. (Bu alıştırma, EİB olmayan bir TÇAB örneği sağlar.)
- $R$ değişmeli bir halka olsun. $R$'nin bir cisim olması için gerek ve yeter koşulun sadece iki ideale, yani $0$ ve $R$'ye sahip olması olduğunu gösteriniz.
Sonlu bir küme tarafından üretilemeyen bir ideali olan değişmeli bir halka bulunuz.
- $R$ değişmeli bir halka ve $X_{1},\ldots,X_{n}$ değişkenler olsun. $a_{1},\ldots,a_{n}\in R$ ve
$$f:R[X_{1},\ldots,X_{n}]\to R$$
$(a_{1},\ldots,a_{n})$ noktasındaki değer homomorfizması olsun. $f$'in çekirdeğinin $R[X_{1},\ldots,X_{n}]$'in $X_{1}-a_{1},\ldots,X_{n}-a_{n}$ elemanları tarafından üretilen ideal olduğunu, yani
$$\ker f=\left(X_{1}-a_{1},\ldots,X_{n}-a_{n}\right)$$
olduğunu gösteriniz.
İdealler Üzerinde İşlemler
Bu bölümde, değişmeli halkaları incelemek için çok önemli olan bazı temel ideal aritmetiklerini veriyoruz. İdealler, geometrik fikirleri sayılar teorisi alanına bağlayan güçlü bir bağlantı sağlar. Nitekim idealler ilk olarak Dedekind'in 1871'deki ünlü çalışmasında, o zamanlar çoğunlukla Fermat'ın son teoremi ile ilgili olan sayıların incelenmesinin bir devamı olarak ele alınmıştır. Tıpkı sayılarda olduğu gibi, eskilerden yeni idealler üretmek için etkili yollar olarak teoride yaygın olarak kullanılan idealler üzerinde bazı işlemler vardır. Toplama ve çarpma ile başlıyoruz.
Toplama ve Çarpma
Herhangi bir sayıdaki idealin kesişiminin yine bir ideal verdiğini görmek kolaydır. Ancak; ideallerin birleşimi mutlaka bir ideal oluşturmaz. Aslında, $I$ ve $J$ ideallerinin $I\cup J$ birleşimi, ancak ve ancak $I$ ve $J$'den biri diğerini içeriyorsa yine bir idealdir. İdeallerin bir birleşimi genellikle bir ideal olmasa da, böyle bir birleşimi içeren bir ideali, yani birleşim tarafından üretilen ideali düşünebiliriz ve buna birleşime katılan ideallerin toplamı deriz. Daha kesin olarak, $\Lambda$ boş olmayan bir indeks kümesi ve $\{I_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ $R$ halkasının ideallerinin bir ailesi ise, $I_{\lambda}$ ideallerinin toplamı, $\sum_{\lambda\in\Lambda}I_{\lambda}$ ile gösterilir ve $R$'nin $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}I_{\lambda}$ alt kümesi tarafından üretilen ideali olarak tanımlanır. $\Lambda=\emptyset$ olması durumunda, $\sum_{\lambda\in\Lambda}I_{\lambda}=0$ olduğunu varsayarız. Tanım gereği, $\Lambda\neq\emptyset$ olduğunda, bir $x\in R$ elemanının $\sum_{\lambda\in\Lambda}I_{\lambda}$ toplamında yer alması için gerek ve yeter koşul, $x=\sum_{i=1}^{n}a_{\lambda_{i}}$ olacak şekilde $n\in\mathbb{N}$, $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\Lambda$ ve $a_{\lambda_{i}}\in I_{\lambda_{i}}$ ($i=1,\ldots,n$) bulunmasıdır. Özellikle, değişmeli bir $R$ halkasındaki $a_{1},\ldots,a_{n}$ elemanları için, $\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)=\left(a_{1}\right)+\cdots+\left(a_{n}\right)$ olur.
İdealleri toplayabildiğimiz gibi, (sonlu sayıdakilerini) çarpabiliriz de. $I_{1},\ldots,I_{n}$, $R$'nin idealleri olsun. O zaman $R$'nin
$$\{a_{1}\ldots a_{n}:\text{her }i=1,\ldots,n\text{ için }a_{i}\in I_{i}\}$$alt kümesi tarafından üretilen ideale, $I_{1},\ldots,I_{n}$ ideallerinin çarpımı denir ve $I_{1}\ldots I_{n}$ veya $\prod_{i=1}^{n}I_{i}$ ile gösterilir. Buradan, bir $x\in R$ elemanının $\prod_{i=1}^{n}I_{i}$ çarpımında yer alması için gerek ve yeter koşulun, bazı $r_{(i_{1},\ldots,i_{n})}\in R$ ve $a_{i_{j}}\in I_{j}$ ($i=1,\ldots,n$) için $x=\sum r_{(i_{1},\ldots,i_{n})}a_{i_{1}}\ldots a_{i_{n}}$ (sonlu toplam) şeklinde yazılabiliyor olmasıdır. Özel olarak, $I_1=\ldots=I_n=I$ ise, çarpım idealini $I^n$ kuvveti olarak tanımlarız. Geleneksel olarak, herhangi bir $I$ ideali için $I^{0}=R$ yazarız. $R$'nin $I$ ve $J$ idealleri için her zaman $IJ=JI\subseteq I\cap J$ olduğuna dikkat ediniz.
Üç işlem (kesişim, toplama ve çarpma) de değişmeli ve birleşmelidir. Ayrıca, ideallerin çarpımı toplama üzerine dağılır, yani $I$, $J$ ve $K$ idealleri için $I(J+K)=IJ+IK$'dir. Ayrıca eğer $I\subseteq J$ ise, o zaman $I\cap\left(J+K\right)=\left(I\cap J\right)+\left(I\cap K\right)$ olur. Bu son eşitliğe modüler kural denir.
Önerme 2.9
- $\left(J/I\right)\cap\left(K/I\right)=\left(J\cap K\right)/I$,
- $(J/I)+(K/I)=(J+K)/I$,
- $\left(J/I\right)\left(K/I\right)=\left(JK+I\right)/I$; özellikle, tüm $n\geq0$ için $\left(J/I\right)^{n}=\left(J^{n}+I\right)/I$, ve
- $a_{1},\ldots,a_{n}\in R$ elemanları için, $\sum_{i=1}^{n}(R/I)(a_{i}+I)=\left[\left(\sum_{i=1}^{n}Ra_{i}\right)+I\right]/I$.
Radikaller
alt kümesi $R$'nin bir idealidir ve $\sqrt{I}$ ile gösterilen bu ideale $I$'nın ($R$ içindeki) radikali denir. Özel olarak, $I=0$ ise, $\sqrt{0}$ radikaline $R$'nin nilradikali denir. Tanım gereği, $R$'nin tüm $I$ idealleri için $I\subseteq\sqrt{I}$ olduğu açıktır.
Önerme 2.10
- $I\subseteq J$ ise, $\sqrt{I}\subseteq\sqrt{J}$;
- $\sqrt{I+J}=\sqrt{\left(\sqrt{I}+\sqrt{J}\right)}$;
- $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$.
İdeal Bölümleri (Kolon İdealleri)
$I$ ve $J$ bir $R$ halkasının idealleri ise, bunların ideal bölümü$$\left(I:J\right)=\left\{ x\in R:xJ\subseteq I\right\}$$
şeklinde tanımlanır. Kolayca görülebilir ki $(I:J)$, $R$'nin bir idealidir.
📝 Ödev 2.8 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 05.03.2026 23:59
- $\left(\left(I:J\right):K\right)=\left(I:JK\right)=\left(\left(I:K\right):J\right)$;
- $\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}I_{\lambda}:J\right)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(I_{\lambda}:J\right);$
- $\left(J:\sum_{\lambda\in\Lambda}I_{\lambda}\right)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(J:I_{\lambda}\right)$.
Genişleme ve Daralma
Önerme 2.11
- $(I_{1}+I_{2})^{e}=I_{1}^{e}+I_{2}^{e}$;
- $(I_{1}I_{2})^{e}=I_{1}^{e}I_{2}^{e};$
- $(J_{1}\cap J_{2})^{c}=J_{1}^{c}\cap J_{2}^{c}$;
- $\left(\sqrt{J}\right)^{c}=\sqrt{J^{c}}$;
- $I\subseteq I^{ec};$
- $J^{ce}\subseteq J$;
- $I^{e}=I^{ece}$;
- $J^{c}=J^{cec}$.
📝 Ödev 2.9 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 08.03.2026 23:59
- Her $n\in\mathbb{N}$ ve $r_{0},r_{1},\ldots,r_{n}\in R$ için$$\eta\left(\sum_{i=0}^{n}r_{i}X^{i}\right)=\sum_{i=0}^{n}\bar{r_{i}}X^{i}$$
olacak şekilde örten bir
$$\eta:R[X]\to(R/I)[X]$$halka homomorfizması vardır;
- $I^{e}=\ker\eta$, yani $$I^{e}=IR[X]=\left\{ \sum_{i=0}^{n}r_{i}X^{i}\in R[X]:n\in\mathbb{N}\text{ve her }1\leq i\leq n\text{ için }r_{i}\in I\right\} ;$$
- $I^{ec}=I$;
- $R[X]/I^{e}=R[X]/IR[X]\cong(R/I)[X]$;
- $I_{1},\ldots,I_{n}$, $R$'nin idealleri ise, $$(I_{1}\cap\ldots\cap I_{n})^{e}=I_{1}^{e}\cap\ldots\cap I_{n}^{e}.$$
Maksimal İdeal, Yarı-Yerel Halka ve Jacobson Radikali
Tanım 2.10
Değişmeli $R$ halkasının bir $M$ ideali için eğer
- $M\subset R,$ yani $M$, $R$'nin bir öz ideali ve
- $R$'nin $M$'yi kesin olarak içeren hiçbir öz ideali yok, yani $R$'nin bir $I$ ideali için $M\subseteq I\subseteq R$ olması, $M=I$ veya $I=R$ olmasını gerektirir
ise $M$'ye $R$'nin bir maksimal ideali denir.
Önerme 2.12
- $R$'nin bir cisim olması için gerek ve yeter koşul $(0)$'ın $R$'nin bir maksimal ideali olmasıdır.
- $R$'nin bir $M$ ideali için, $R/M$ bölüm halkasının cisim olması için gerek ve yeter koşul $M$'nin $R$'nin bir maksimal ideali olmasıdır.
Sonuç 2.13
Örnek 2.29
ideali bir maksimal idealdir.
Örnek 2.30
kümesi, $\mathcal{C}[0,1]$'in bir maksimal idealidir. Ayrıca, $\mathcal{C}[0,1]$'in her maksimal ideali bu formdadır.
Zorn Lemması'nın bir sonucu olarak, aşikar olmayan her değişmeli halka en az bir maksimal ideale sahiptir. Bu, özellikle, değişmeli bir $R$ halkasının her öz idealinin $R$'nin en az bir maksimal ideali içinde kapsandığını da gösterir. Buradan, değişmeli bir halkanın bir elemanının tersinir olması için gerek ve yeter koşulun, o elemanın tüm maksimal ideallerin dışında kalması olduğu sonucu çıkar.
Tanım 2.11
Tam olarak bir tane maksimal ideale sahip olan değişmeli bir $R$ halkasına yerel halka (local ring) denir. Bu durumda, eğer $M$, $R$'nin tek maksimal ideali ise, $R/M$ cismine $R$'nin artık cismi (residue field) denir.
Teorem 2.14
Tanım 2.12
Teorem 2.15
📝 Ödev 2.10 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 08.03.2026 23:59
Tanım 2.13
Bir $R$ halkasının $I$ ve $J$ gibi iki ideali için, eğer $I+J=R$ ise bu ideallere eş-maksimal (comaximal) denir.
📝 Ödev 2.11 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 08.03.2026 23:59
Çin Kalan Teoremi
$R$ değişmeli bir halka ve $I_{1},\ldots,I_{n}$, $R$'nin ikişerli eş-maksimal olan idealleri olsun. Aşağıdaki ifadelerin doğru olduğunu gösteriniz:
- $I_{1}\ldots I_{n}=I_{1}\cap\ldots\cap I_{n}$,
her $j$ için, $I_{j}$ ve $\bigcap_{i\neq j}I_{i}$ eş-maksimaldir, ve
- $\phi:r\mapsto(r+I_{1},\ldots,r+I_{n})$ ile tanımlanan $\phi:R\to\prod_{i=1}^{n}R/I_{i}$ dönüşümü, çekirdeği $\bigcap_{i=1}^{n}I_{i}$'ye eşit olan örten bir halka homomorfizmasıdır.
Önerme 2.16
- $\sqrt{I}\neq R$ olması için gerek ve yeter koşul $I\neq R$ olmasıdır.
- $\sqrt{I}$ ve $\sqrt{J}$ eş-maksimal idealler ise, $I$ ve $J$ de öyledir.
Asal İdealler
Tanım 2.14
- $P\subset R$, yani $P$, $R$'nin bir öz idealidir.
Her $a,b\in R$ için, eğer $ab\in P$ ise $a\in P$ veya $b\in P$'dir.
Değişmeli bir $R$ halkasındaki sıfır idealinin bir asal ideal olabilmesi için gerek ve yeter koşul $R$'nin bir tamlık bölgesi olmasıdır. Daha genel olarak, değişmeli bir $R$ halkasının bir öz $P$ idealinin asal ideal olması için gerek ve yeter koşul $R/P$'nin bir tamlık bölgesi olmasıdır. Özel olarak, değişmeli bir halkanın her maksimal idealinin aynı zamanda bir asal ideal olduğu görülür. Bir EİB'de (Esas İdeal Bölgesi), sıfırdan farklı asal ideallerin tam olarak indirgenemez elemanlar tarafından üretilen esas idealler olduğu iyi bilinmektedir. Dolayısıyla bir EİB'nin sıfırdan farklı asal idealleri aynı zamanda maksimaldir. Örneğin, $\mathbb{Z}$'de, sıfırdan farklı tüm asal idealler $p$ bir asal sayı olmak üzere $p\mathbb{Z}$ formundadır ve ayrıca $K$ bir cisim olmak üzere $K[X]$ polinom halkasında, sıfırdan farklı asal idealler indirgenemez polinomlar tarafından üretilen esas ideallerdir.
Tanım 2.15
Not 2.2
Değişmeli bir $R$ halkası için $\operatorname{Spec}(R)$'nin her zaman boştan farklı olduğuna dikkat edelim, çünkü $R$ aynı zamanda bir asal ideal olan en az bir maksimal ideale sahiptir.
📝 Ödev 2.12 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 08.03.2026 23:59
Tanım 2.16
Değişmeli bir $R$ halkasının bir $S$ alt kümesi aşağıdaki koşulları sağlıyorsa $S$'ye çarpımsal kapalı denir:
- $1\in S$,
her $s_{1},s_{2}\in S$ için, $s_{1}s_{2}\in S$.
Eğer $P$, değişmeli bir $R$ halkasının bir asal ideali ise, $R\setminus P$'nin $R$'nin çarpımsal kapalı bir alt kümesi olduğuna dikkat ediniz. Ayrıca, herhangi bir sıfırdan farklı $r\in R$ elemanı için $\{r^{n}:n\geq0\}$, $R$'nin çarpımsal kapalı bir alt kümesidir. Zorn Lemması ile, çarpımsal kapalı kümeler fikrini asal idealler fikrine bağlayan şu çok önemli sonucu verebiliriz.
Teorem 2.17
kümesinin (kapsamaya göre) bir maksimal elemanı vardır ve $\Psi$'nin bu tür herhangi bir maksimal elemanı $R$'nin bir asal idealidir.
Tanım 2.17
Sonuç 2.18
Özel olarak, $R$'nin nilradikali $\sqrt{0}$
$$\bigcap_{P\in\operatorname{Spec}(R)}P$$idealine eşittir.
Yukarıdaki sonuçtan, $R/\sqrt{0}$ bölüm halkasının nilradikalinin sıfır olduğu sonucuna varabiliriz. Böyle bir halkaya (yani nilradikali sıfır olan bir halkaya) indirgenmiş (reduced) denir.
📝 Ödev 2.13 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 15.03.2026 23:59
- $I\in\operatorname{Spec}(R)$ olması için gerek ve yeter koşul $I^{e}\in\operatorname{Spec}(R[X])$ olmasıdır.
- $\sqrt{I^{e}}=\left(\sqrt{I}\right)^{e}$.
📝 Ödev 2.14 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 15.03.2026 23:59
zincirinin kesin artan bir asal idealler zinciri olduğunu gösteriniz.
Zorn Lemması'nı (değişmeli bir halkanın bir $I$ ideali için) $\operatorname{Var}(I)$ kısmi sıralı kümesi üzerinde ters kapsama bağıntısı (reverse inclusion) ile uygulayarak, aşağıdaki önemli sonucu elde ederiz.
Teorem 2.19
Değişmeli $R$ halkasının bir $I$ ideali için, $R$'nin tüm minimal asal ideallerinin kümesini $\operatorname{Min}(I)$ ile gösteririz. O zaman $\operatorname{Min}(I)\subseteq\operatorname{Var}(I)$ olur.
Teorem 2.20
Sonuç 2.21
Lemma 2.22
Bir $1\leq j\leq n$ için $P\supseteq I_{j}$;
- $P\supseteq\bigcap_{i=1}^{n}I_{i}$;
- $P\supseteq\prod_{i=1}^{n}I_{i}.$
Sonuç 2.23
📝 Ödev 2.15 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 15.03.2026 23:59
📝 Ödev 2.16 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 15.03.2026 23:59
Teorem 2.24: Asal İdeallerden Kaçınma Teoremi (Prime Avoidance Theorem)
olsun. O zaman, bir $1\leq j\leq n$ için $S\subseteq P_{j}$ olur.
'Asal ideallerden kaçınma' isminin nedeni, yukarıdaki teoremin aşağıdaki yeniden formüle edilişinden sonra daha da netleşir:
Yukarıdaki teoremin gösterimiyle, eğer her $1\leq i\leq n$ için $S\nsubseteq P_{i}$ ise, o zaman
$$s\in S\setminus\bigcup_{i=1}^{n}P_{i}$$olacak şekilde bir $s$ vardır, böylece $s$, çoğu asal olan $P_{1},\ldots,P_{n}$ ideallerinin hepsinden 'kaçınır'.
Teorem 2.25
ise, o zaman
$$a+b\notin\bigcup_{i=1}^{n}P_{i}$$olacak şekilde bir $b\in I$ vardır.
📝 Ödev 2.17 (MTK735-2026) | ⏰ Son Teslim: 15.03.2026 23:59
- $f\in\operatorname{Jac}(R[[X]])$ olması için gerek ve yeter koşul $f_{0}\in\operatorname{Jac}(R)$ olmasıdır.
- $M$, $R[[X]]$'in bir maksimal ideali olsun. $M$, $M^{c}\cup\{X\}$ tarafından üretilir ve $M^{c}$, $R$'nin bir maksimal idealidir.
- $R$'nin her asal ideali, $R[[X]]$'in bir asal idealinin daralmasıdır.