Ek C: Modüllerin Ters Limiti yeni

Soyut cebirde ve homolojik cebirde, **ters limit** (veya *projektif limit*), bir modül veya halka ailesini belirli yönlendirilmiş geçiş dönüşümleriyle birbirine bağlayan "ters sistemlerin" limitini ifade eder. Özellikle topolojik modüllerde ve tamamlamalarda ($I$-adik tamamlama gibi) temel bir araçtır.

Tanım C.1

$(I,\le)$ kısmî sıralı bir küme olsun. Eğer her $i,j\in I$ için $i\le k$ ve $j\le k$ olacak şekilde bir $k\in I$ varsa bu $I$ kümesine bir yönlendirilmiş küme denir.

Buna göre yönlendirilmiş kümeler, herhangi iki elemanının ortak bir üst sınıra sahip olabildiği kısmî sıralı kümelerdir.

Tanım C.2

$(I, \le)$ yönlendirilmiş bir küme ve $R$ bir halka olsun. $R$ halkası üzerindeki modüllerin $\{M_i\}_{i \in I}$ ailesi ile bunlar arasındaki ${f_{ij}}$ homomorfizmaların bir sistemi için eğer

  • her $i,j\in I$ için $i \le j$ ise $f_{ij}: M_j \to M_i$ formunda bir $R$-modül homomorfizması (bu dönüşümlere geçiş veya bağ dönüşümleri denir),

  • her $i \in I$ için $f_{ii} = 1_{M_i}$ (birim dönüşüm) ve

  • Her $i \le j \le k$ için $f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk}$ (bileşke kuralı)

koşulları sağlanıyorsa, bu yapıya $R$-modüllerin bir ters sistemi denir. Böyle bir ters sistemi $\{M_i;f_{ij}\}_{i,j \in I}$ ile göstereceğiz.

Ters sistemler, modüllerin birbirine bağlandığı bir ağ oluşturur ve bu ağın "en iyi uyumlu" birleşimi olarak ters limit adı verilen yapı aşağıdaki tanımda olduğu gibi verilir.

Tanım C.3: Ters Limit

$(I, \le)$ yönlendirilmiş bir küme ve $R$ bir halka olsun. $R$-modüllerin bir ters sistemi $\{M_i;f_{ij}\}_{i,j \in I}$ için, bu sistemin ters limiti (veya projektif limiti) $R$-modülü $\varprojlim M_i$ ile ve şu şekilde ifade edilir: $$\varprojlim M_i = \{(m_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} M_i : f_{ij}(m_j) = m_i \text{ her } i \le j\}$$

Yani, $\varprojlim M_i$ ters sistemdeki modüllerin kartezyen çarpımının bir alt kümesidir ve bu alt küme, geçiş dönüşümlerine göre uyumlu olan elemanlardan oluşur. Ters limit, her $i \in I$ için doğal projeksiyon homomorfizması $\pi_i: \varprojlim M_i \to M_i$ ile birlikte gelir ve bu homomorfizmalara doğal projeksiyonlar denir.