Halka Genişlemeleri

Düzlük kavramı, 1950'li yıllarda Jean-Pierre Serre tarafından ortaya konmuş ve çok kısa bir süre içerisinde hem değişmeli cebirin hem de cebirsel geometrinin en temel ve güçlü araçlarından biri haline gelmiştir. Düzlük kavramı genel olarak modüller için tanımlansa da, özellikle halka genişlemeleri açısından son derece büyük bir öneme sahiptir. Bu nedenle halka genişlemeleri başlığı altında ele alacağımız konuların en başına düz modül kavramının genel bir incelemesini aldık.

Halka genişlemelerinde düzlük kavramı için en çarpıcı ve model niteliğindeki durum, tamamlama (completion) işlemidir. Tamamlanmış yerel halkalar (complete local rings) pek çok çarpıcı cebirsel (ve de topolojik) özelliğe sahiptir. Yerel bir halkanın tamamlamasına geçmek, karmaşık problemleri basitleştirmede son derece etkili klasik bir teknik olagelmiştir.

Diğer yandan halkaların tam (integral) genişleme teorisi Krull tarafından derinlemesine çalışılmış ve Krull bu doğrultuda ünlü "yukarı-çıkış" (going-up) ve "aşağı-iniş" (going-down) teoremlerini keşfetmiştir. Bu bölümde, "aşağı-iniş" teoreminin düz genişlemeler için de geçerli olduğunu gösterecek; düzlük, tamamlama ve tam genişlemeler kavramlarını bir arada inceleyeceğiz.

Düz ve Yitimsiz Düz Modüller

Not 6.1

Bu bölüm boyunca, aksi belirtilmedikçe, $R$ ile değişmeli bir halkayı, $M$ ile bir $R$-modülünü ifade edeceğiz. Eğer $R$ ve/veya $M$ üzerinde ek özellikler kabul edilmesi gerekirse bu özellikler ayrıca belirtilecektir.

$R$-modüller ve bunlar arasındaki modül homomorfizmalarından oluşan bir $$\mathscr{S}: \cdots \longrightarrow N' \xrightarrow{\ \ f\ \ } N \xrightarrow{\ \ g\ \ } N'' \longrightarrow \cdots$$

dizisini ele alalım. (Yani her ardışık $f$ ve $g$ homomorfizması için $g\circ f=0$ olarak kabul edilir.) $\mathscr{S} \otimes_R M$ veya daha sade bir gösterimle $\mathscr{S} \otimes M$ ifadesiyle, bu dizinin tensör çarpımı altında doğurduğu şu diziyi temsil edeceğiz:

$$\mathscr{S} \otimes_R M: \cdots \longrightarrow N' \otimes_R M \longrightarrow N \otimes_R M \longrightarrow N'' \otimes_R M \longrightarrow \cdots$$

Tanım 6.1

Eğer her tam $\mathscr{S}$ dizisi için, $\mathscr{S} \otimes_R M$ dizisi de yine tam oluyorsa, $M$ modülüne $R$ üzerinde düz (flat) modül denir. Bu durumu kısaca $R$-düz olarak da adlandırabiliriz.

$M$ modülünün $R$ üzerinde yitimsiz düz (faithfully flat) olması ise her $\mathscr{S}$ dizisi için şu eşdeğerlik ile tanımlanır:

$$\mathscr{S} \text{ tamdır} \iff \mathscr{S} \otimes_R M \text{ tamdır.}$$

Not 6.2

Herhangi bir tam $\mathscr{S}$ dizisi,

$$0 \longrightarrow N_1 \longrightarrow N_2 \longrightarrow N_3 \longrightarrow 0$$

biçimindeki kısa tam dizilerine parçalanabilirUzun bir diagramı çapraz okların kısa dizilerine bölebiliriz. Buna göre $(D_i;\delta_i)$ uzun dizisi tamdır ancak ve ancak kırmızı ve mavi oklarla gösterilen kısa çapraz diziler tamdır.. Dolayısıyla, düzlük tanımında yalnızca kısa tam dizileri dikkate almamız yeterlidir. Üstelik, tensör çarpımının sağdan-tamlık (right-exactness) özelliği de göz önüne alındığında, incelememizi sadece

$$0 \longrightarrow N_1 \longrightarrow N$$

formundaki tam dizilerle sınırlandırabiliriz. Bu durumda düzlüğü kontrol etmek için yalnızca, tensör çarpım ile doğurulan

$$\mathscr{S} \otimes M: 0 \longrightarrow N_1 \otimes_R M \longrightarrow N \otimes_R M$$

dizisinin tamlığını (yani $N_1 \otimes_R M \longrightarrow N \otimes_R M$ dönüşümünün birebirliğini) doğrulamak yeterli olacaktır. Bu sınırlamanın, doğru yere odaklanmak bakımından epey önemli bir test kolaylığı sağlayacağı aşikardır.

Eğer $f: R \longrightarrow T$ bir halka homomorfizması ve $T$, bu homomorfizmanın doğurduğu $R$-modül olarak düz ise, $f$'ye düz homomorfizma veya $T$'ye bir düz $R$-cebiri denir. Örneğin, $R$'nin bir $S$ çarpımsal kapalı alt kümesine göre kesirler halkası olan $\sr$, düz bir $R$-cebiridir (bkz. Teorem 5.12$R$ değişmeli bir halka ve $$0 \xrightarrow{\qquad} A \xrightarrow{\quad\alpha\quad}B \xrightarrow{\quad\beta\quad} C \xrightarrow{\qquad} 0$$ $R$-modüllerin bir kısa tam dizi olsun. O zaman $$0 \xrightarrow{\qquad} S^{-1}A \xrightarrow{\ \ S^{-1}\alpha\ \ } S^{-1}B \xrightarrow{\ \ S^{-1}\beta\ \ } C \xrightarrow{\qquad} 0$$ $\sr$-modüllerin bir kısa tam dizisidir.
📖 Detaya Git ve Teorem B.9$R$ değişmeli bir halka ve $S$ onun bir çarpımsal kapalı alt kümesi olsun. $M$ bir $R$-modül ise $S^{-1}R$-modüllerin $$S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}$$ izomorfizması vardır öyle ki $f:M\rightarrow N$ bir $R$-homomorfizması ise {img}{/img} diyagramı değişmelidir.
📖 Detaya Git)

Geçişlilik Özellikleri

$T$ bir $R$-cebiri ve $M$ bir $T$-modül olsun. Herhangi bir $R$-homomorfizma dizisi $\mathscr{S}$ için geçerli olan $(\mathscr{S} \otimes_R T) \otimes_T M \cong \mathscr{S} \otimes_R M$ kanonik izomorfizmasının doğrudan bir sonucu olarak aşağıdaki özelliklerin sağlandığı kolayca görülebilir:

$T$, $R$ üzerinde düz ve $M$, $T$ üzerinde düz ise $M$, $R$ üzerinde düzdür.
$T$, $R$ üzerinde yitimsiz düz ve $M$, $T$ üzerinde yitimsiz düz ise, $M$, $R$ üzerinde yitimsiz düzdür.
$M$, $T$ üzerinde yitimsiz düz ve $R$ üzerinde düz ise $T$, $R$ üzerinde düzdür.
$M$, hem $R$ hem de $T$ üzerinde yitimsiz düz ise $T$, $R$ üzerinde yitimsiz düzdür.

Katsayı Halkasının Değişimi

$T$ bir $R$-cebiri ve $M$ bir $R$-modül olsun. Bu durumda herhangi bir $T$-modül dizisi $\mathscr{S}$ için geçerli olan $\mathscr{S} \otimes_T (T \otimes_R M) \cong \mathscr{S} \otimes_R M$ özdeşliğinden aşağıdakilerin sağlandığı kolayca görülebilir:

$M$, $R$ üzerinde düz ise $M \otimes_R T$, $T$ üzerinde düzdür.
$M$, $R$ üzerinde yitimsiz düz ise $M \otimes_R T$, $T$ üzerinde yitimsiz düzdür.

Not 6.3

Eğer $S$, $R$'nin çarpımsal kapalı bir alt kümesi ve $M, N$ modülleri birer $\sr$-modüller ise, bu durumda $M \otimes_{\sr} N = M \otimes_R N$ olur. Bu eşitlik, $N \otimes_R M$ tensör çarpımındaki şu ilişkiden kaynaklanır: Her $x \in M$, $y \in N$, $r \in R$ ve $s \in S$ için

$$\frac{r}{s} \otimes y = \frac{rx}{s} \otimes \frac{sy}{s} = \frac{sx}{s} \otimes \frac{ry}{s} = x \otimes \frac{r}{s}y$$

Teorem 6.1

$R \longrightarrow T$ bir halka homomorfizması ve $M$ bir $T$-modül olsun. $M$'nin $R$ üzerinde düz olması için gerek ve yeter şart, $T$'nin her $P$ asal ideali için $M_P$ yerelleştirmesinin $R_\mathfrak{p}$ üzerinde düz olmasıdır; burada $\mathfrak{p} = P \cap R$ daralmasıdır ( ve aynı gerek ve yeter şart $T$'nin her maksimal $P$ ideali için de verilebilir).

Kanıt

$M$'nin $R$-düz olduğunu varsayalım. $R \longrightarrow T$ dönüşümü, $R_\mathfrak{p} \longrightarrow B_T$ dönüşümünü doğurur ve $M_P$ bir $T_P$-modülü, dolayısıyla da bir $R_\mathfrak{p}$-modülüdür. $\mathscr{S}$ dizisi $R_\mathfrak{p}$-modüllerinin bir tam dizisi olsun; teoremden önce verilen not uyarınca: $$\mathscr{S} \otimes_{R_\mathfrak{p}} M_P = \mathscr{S} \otimes_R M_P = (\mathscr{S} \otimes_R M) \otimes_T T_P$$

yazabiliriz. Sağ taraf bir tam dizi olduğundan, $M_P$'nin $R_\mathfrak{p}$-düz olduğu görülür.

Karşıt olarak, $T$'nin her maksimal $P$ ideali için $M_P$'nin $R_\mathfrak{p}$-düz olduğunu kabul edelim. $0 \longrightarrow N' \longrightarrow N$ dizisi $R$-modüllerinin bir tam dizisi olsun ve $N' \otimes_R M \longrightarrow N \otimes_R M$ şeklindeki $T$-homomorfizmasının çekirdeği $K$ olsun. Böylece

$$0 \longrightarrow K \longrightarrow N' \otimes_R M \longrightarrow N \otimes_R M$$

dizisi $T$-modüllerinin bir tam dizisi olur. Herhangi bir $P \in \text{m-Spec } B$ (maksimal spektrum, yani maksimal ideallerin kümesi) için bu dizinin yerelleştirilmiş hali olan

$$0 \longrightarrow K_P \longrightarrow N' \otimes_R M_P \longrightarrow N \otimes_R M_P$$

dizisi de tamdır. $N' \otimes_R M_P = N' \otimes_R (R_\mathfrak{p} \otimes_{R_\mathfrak{p}} M_P) = N'_\mathfrak{p} \otimes_{R_\mathfrak{p}} M_P$ ve benzer şekilde $N \otimes_R M_P = N_\mathfrak{p} \otimes_{R_\mathfrak{p}} M_P$ olduğundan ve hipotez gereği $M_P$ modülü $R_\mathfrak{p}$-düz olduğundan, yerelleştirilmiş dizideki birebirlikten ötürü $K_P = 0$ elde edilir.

Her maksimal ideal $P$ için yerel sıfırlık sağlandığından, Ödev 5.4📖 Detaya Git uyarınca global olarak da $K = 0$ sonucuna ulaşılır. Bu da ispatı tamamlar.

Teorem 6.2

$R$ bir halka ve $M$ bir $R$-modül olsun. Bu durumda aşağıdaki koşullar birbirine denktir:

$M$, $R$ üzerinde yitimsiz düzdür.
$M$, $R$-düzdür ve sıfırdan farklı her $R$-modül $N$ için $N \otimes_R M \neq 0$ sağlanır.
$M$, $R$-düzdür ve $R$'nın her $\mathfrak{m}$ maksimal ideali için $\mathfrak{m}M \neq M$ koşulu sağlanır.xs

Kanıt

$(1) \Rightarrow (2)$: $\mathscr{S}$ dizisi $0 \longrightarrow N \longrightarrow 0$ olsun. Eğer $N \otimes M = 0$ ise, $\mathscr{S} \otimes M$ dizisi de tam olur. $M$ yitimsiz düz olduğundan tanım gereği $\mathscr{S}$ dizisinin kendisi de tam olmak zorundadır, bu da bize doğrudan $N = 0$ olduğunu gösterir.
$(2) \Rightarrow (3)$: Bu durum $M/\mathfrak{m}M \cong (R/\mathfrak{m}) \otimes_R M$ izomorfizmasından açıkça görülmektedir (çünkü $R/\mathfrak{m}$ sıfırdan farklı bir modüldür ve tensör çarpımı sıfır olamaz).
$(3) \Rightarrow (2)$: $N \neq 0$ ve $0 \neq x \in N$ olsun. Bu durumda $Rx \cong R/\text{ann}(x)$ yazabiliriz. $\text{ann}(x)$ sıfırlayan idealini kapsayan bir maksimal $\mathfrak{m}$ ideali seçersek, $M \neq \mathfrak{m}M \supseteq \text{ann}(x) \cdot M$ ilişkisinden ötürü $Rx \otimes M \neq 0$ elde ederiz. Düzlük varsayımı altında, $Rx \otimes M \longrightarrow N \otimes M$ dönüşümü birebir olduğundan, $N \otimes M \neq 0$ sonucu elde edilir.
$(2) \Rightarrow (1)$: $R$-modüllerin şu dizisini ele alalım: $$\mathscr{S}: N' \xrightarrow{\quad f \quad} N \xrightarrow{\quad g \quad} N''$$
Eğer tensörlenmiş dizi
$$\mathscr{S} \otimes M: N' \otimes M \xrightarrow{\ f_M\ } N \otimes M \xrightarrow{\ g_M\ } N'' \otimes M$$
tam ise, bu durumda $g_M \circ f_M = (g \circ f)_M = 0$ olur. Düzlük özelliğinden ötürü $\text{Im}(g \circ f) \otimes M = \text{Im}(g_M \circ f_M) = 0$ yazabiliriz. Koşul (2) varsayımı altında tensör çarpımı sıfır olan modülün kendisi de sıfır olacağından, $\text{Im}(g \circ f) = 0$, yani $g \circ f = 0$ bulunur. Buradan $\text{Ker } g \supseteq \text{Im } f$ kapsama ilişkisi elde edilir. Şimdi $H = \text{Ker } g / \text{Im } f$ homoloji modülünü tanımlarsak, düzlük sayesinde:
$$H \otimes M = \text{Ker}(g_M) / \text{Im}(f_M) = 0$$
olur. (2) varsayımı tekrar kullanılarak $H = 0$ bulunur. Bu da bize $\text{Ker } g = \text{Im } f$ eşitliğini, yani $\mathscr{S}$ dizisi tamdır.

Lifler ve Spektrum Dönüşümleri

Bir $f: R \longrightarrow T$ halka homomorfizması, spektrumlar arasında

$${^a}f: \text{Spec } T \longrightarrow \text{Spec } R$$

şeklinde (Zariski topolojisine göre) bir sürekli dönüşüm doğurur. Bu dönüşüm altında bir $\mathfrak{p} \in \text{Spec } R$ noktasının ters görüntüsü (lifi):

$${^a}f^{-1}(\mathfrak{p}) = \{P \in \text{Spec } T \mid P \cap R = \mathfrak{p}\}$$

olarak tanımlanır ve bu küme $\text{Spec}(T \otimes_R \kappa(\mathfrak{p}))$ uzayına homeomorftur (burada $\kappa(\mathfrak{p}) = R_\mathfrak{p} / \mathfrak{p}R_\mathfrak{p}$ kalıntı (rezidü) cismini temsil eder).

Gerçekten de, $C = T \otimes_R \kappa(\mathfrak{p})$ ve $S = R \setminus \mathfrak{p}$ alıp $g: T \longrightarrow C$ dönüşümünü $g(b) = b \otimes 1$ ile tanımlarsak, $\kappa(\mathfrak{p}) = (R/\mathfrak{p}) \otimes \sr$ olmasından ötürü:

$$C = T \otimes_R (R/\mathfrak{p}) \otimes \sr = (T/\mathfrak{p}T)_S = f(S)^{-1}(T/\mathfrak{p}T)$$

elde ederiz. Böylece ${^a}g: \text{Spec } C \longrightarrow \text{Spec } T$ dönüşümünün görüntüsü:

$$\{P \in \text{Spec } T \mid P \supset \mathfrak{p}T \text{ ve } P \cap f(S) = \varnothing\} = \{P \in \text{Spec } T \mid P \cap R = \mathfrak{p}\}$$

olur ki bu da aslında ${^a}f^{-1}(\mathfrak{p})$ kümesidir. Ayrıca ${^a}g$ dönüşümü, $\text{Spec } C$ ile ${^a}f^{-1}(\mathfrak{p})$ arasında bir homeomorfizma doğurur.

Bu geometrik ve cebirsel ilişkiden ötürü $\text{Spec } C = \text{Spec}(T \otimes_R \kappa(\mathfrak{p}))$ uzayına $f$'nin $\mathfrak{p}$ üzerindeki lifi adı verilir. Ters dönüşüm olan ${^a}f^{-1}(\mathfrak{p}) \longrightarrow \text{Spec } C$ ise her $P \in {^a}f^{-1}(\mathfrak{p})$ elemanını $PC = P S^{-1}T / \mathfrak{p} S^{-1}T$ idealine götürür.

$P^* \in \text{Spec } C$ için $P = P^* \cap T$ tanımlayalım. Bu durumda $$P^* = PC \quad \text{ve} \quad C_{P^*} = (S^{-1}T / \mathfrak{p}S^{-1}T)_{PC} = T_P / \mathfrak{p}T_P = T_P \otimes_R \kappa(\mathfrak{p})$$

eşitlikleri elde edilir.

Teorem 6.3

$f: R \longrightarrow T$ bir halka homomorfizması ve $M$ bir $T$-modül olsun. $$\operatorname{Supp}(M):\{P\in\spec{T}:M_P\neq 0\}$$

olsun. Buna göre aşağıdakiler sağlanır:

$M$, $R$ üzerinde yitimsiz düz ise ${^a}f(\text{Supp}(M)) = \text{Spec } R$ olur.
Eğer $M$ sonlu üretilmiş bir $T$-modül ise:
$M$, $R$ üzerinde düzdür ve ${^a}f(\text{Supp}(M)) \supseteq \text{m-Spec } R$ ancak ve ancak $M$, $R$ üzerinde yitimsiz düzdür.

Kanıt

(1) Herhangi bir $\mathfrak{p} \in \text{Spec } R$ alalım. $M$'nin yitimsiz düz olmasından ötürü $M \otimes_R \kappa(\mathfrak{p}) \neq 0$ sağlanır. Eğer $C = B \otimes_R \kappa(\mathfrak{p})$ ve $M' = M \otimes_R \kappa(\mathfrak{p}) = M \otimes_B C$ tanımlarsak, bir $C$-modül olarak $M' \neq 0$ olur. Dolayısıyla $M'_{P^*} \neq 0$ olacak şekilde bir $P^* \in \text{Spec } C$ asal ideali mevcuttur. Şimdi $P = P^* \cap B$ olsun; bu takdirde:$$M'_{P*} = M \otimes_B C_{P*} = M \otimes_B (B_P \otimes_{B_P} C_{P*}) = M_P \otimes_{B_P} C_{P*}$$
yazabiliriz. Buradan $M_P \neq 0$, yani $P \in \text{Supp}(M)$ sonucu çıkar. Ancak öte yandan $P^* \in \text{Spec}(B \otimes_R \kappa(\mathfrak{p}))$ olduğundan, yukarıda gösterdiğimiz üzere $P \cap R = \mathfrak{p}$ olur. Dolayısıyla $\mathfrak{p} \in {^a}f(\text{Supp}(M))$ elde edilir ve ilk kısım ispatlanmış olur.

(2) Yitimsiz düzlüğü göstermek için $R$'nin her $\mathfrak{m}$ maksimal ideali için $M/\mathfrak{m}M \neq 0$ olduğunu göstermek yeterlidir. Varsayım gereği $P \cap R = \mathfrak{m}$ ve $M_P \neq 0$ olacak şekilde $T$'nin bir $P$ asal ideali vardır. Nakayama Lemması (Teorem 2.8$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modül ve $I$, $R$'nin bir ideali olsun. Eğer $M=IM$ ise, o zaman $aM=0$ ve $1-a\in I$ olacak şekilde bir $a\in R$ vardır. Eğer ek olarak $I\subseteq\operatorname{Jac}(R)$ ise, o zaman $M=0$'dır.
📖 Detaya Git) uyarınca, $M_P$ modülü $T_P$ üzerinde sonlu üretilmiş olduğundan $M_P / P M_P \neq 0$ sağlanır. Buna göre $M_P / \mathfrak{m} M_P = (M/\mathfrak{m}M)_P \neq 0$ olur ki bu da $M/\mathfrak{m}M \neq 0$ olduğunu gösterir.

Not 6.4

$(R, \mathfrak{m})$ ve $(T, \mathfrak{n})$ yerel halkalar ve $f: R \longrightarrow T$ bir halka homomorfizması olsun. Eğer $f(\mathfrak{m}) \subset \mathfrak{n}$ sağlanıyorsa, $f$'ye bir yerel homomorfizma (local homomorphism) denir. Bu durumda, Teorem 6.2$R$ bir halka ve $M$ bir $R$-modül olsun. Bu durumda aşağıdaki koşullar birbirine denktir:

• $M$, $R$ üzerinde yitimsiz düzdür.

• $M$, $R$-düzdür ve sıfırdan farklı her $R$-modül $N$ için $N \otimes_R M \neq 0$ sağlanır.

• $M$, $R$-düzdür ve $R$'nın her $\mathfrak{m}$ maksimal ideali için $\mathfrak{m}M \neq M$ koşulu sağlanır.xs
📖 Detaya Git veya Teorem 6.3 (ii) uyarınca, $f$'nin düz olması ile yitimsiz düz olmasının birbirine denk olduğu görülür.
Şimdi $S$'yi $R$'nın çarpımsal kapalı bir alt kümesi olarak alalım. $\text{Spec}(S^{-1}R) \longrightarrow \text{Spec } R$ dönüşümünün örten olması için gerek ve yeter şartın $S$'nin sadece birimsel (units) elemanlardan oluşması, yani $R = \sr$ olması olduğu kolayca gösterilebilir. Dolayısıyla, yukarıdaki teoremin bir sonucu olarak, eğer $R \neq \sr$ ise, bu durumda kesirler halkası $\sr$, $R$ üzerinde düzdür fakat yitimsiz düz değildir.

Teorem 6.4

$M$ düz bir $R$-modül ve $N_1, N_2$ bir $R$-modülü $N$'nin iki alt modülü olsun. Bu takdirde $N \otimes M$ modülü içinde
$$(N_1 \cap N_2) \otimes_R M = (N_1 \otimes_R M) \cap (N_2 \otimes_R M)$$
eşitliği sağlanır.
$R \longrightarrow T$ düz bir halka homomorfizması ve $I_1, I_2$ $R$ halkasının iki ideali olsun. O halde $T$ halkası içinde
$$(I_1 \cap I_2)T = I_1 T \cap I_2 T$$
eşitliği sağlanır.
Eğer yukarıdaki (2) koşulunda $I_2$ sonlu üretilmiş ise
$$(I_1 : I_2)T = I_1 T : I_2 T$$
eşitliği sağlanır.

Kanıt

(1) $\varphi : N \longrightarrow N/N_1 \oplus N/N_2$ dönüşümünü $\varphi(x) = (x + N_1, x + N_2)$ kuralıyla tanımlayalım. Bu durumda, çekirdeğin kesişim olmasından ötürü:$$0 \longrightarrow N_1 \cap N_2 \longrightarrow N \longrightarrow N/N_1 \oplus N/N_2$$
dizisi tamdır. $M$ düz olduğundan tensörlendiğinde tamlık korunur ve dolayısıyla:
$$0 \longrightarrow (N_1 \cap N_2) \otimes_R M \longrightarrow N \otimes_R M \longrightarrow (N \otimes_R M)/(N_1 \otimes_R M) \oplus (N \otimes_R M)/(N_2 \otimes_R M)$$
dizisi de tam olur. Bu da iddia edilen kesişim özelliğini verir.

(2) Bu şık, (1) şıkkının $N = R$ ve $M = B$ alınmış özel bir halidir. Burada, $R$'nın herhangi bir $I$ ideali için $I \otimes_R T$ alt kümesinin, $R \otimes_R T = T$ içindeki görüntüsünün $IT$ alt kümesi ile birebir örtüştüğü (çakıştığı) gerçeği kullanılmıştır.
(3) Eğer $I_2 = Ra_1 + \cdots + Ra_n$ sonlu üretilmiş bir ideal ise, ideal bölümünün kesişim özelliği gereği $(I_1 : I_2) = \bigcap_i (I_1 : a_i)$ yazılabilir. Buradan yola çıkarak, (2) şıkkını kullanmak suretiyle problemi $I_2$'nin tek bir eleman tarafından üretildiği (yani esas ideal olduğu) duruma indirgeyebiliriz. Her $a \in R$ için aşağıdaki tam dizi mevcuttur:
$$0 \longrightarrow (I_1 : Ra) \longrightarrow R \xrightarrow{\quad \bar{a} \quad} R/I_1$$
Bu tam diziyi düz $T$ modülü ile tensör çarptığımızda (tensörlemek tamlığı koruduğu için) doğrudan iddia edilen sonuca ulaşırız.

Not: $\bar{a}$ homomorfizması, $R\xrightarrow{\quad a \quad}$, $a$ ile çarpma homomorfizması ile $R\longrightarrow R/I_1$ doğal izdüşüm homomorfizmasının bileşkesini temsil etmektedir.

Örnek 6.16

$k$ bir cisim olsun. $T = k[x]$ tek değişkenli polinom halkasını ve bunun bir alt halkası olan $R = k[x^2, x^3]$ alt halkasını ele alalım.

Burada $x^2 R \cap x^3 R$ kesişim idealini inceleyelim. $R$ alt halkasında $x^2 R$ ideali derecesi en az $2$ olan elemanları (tek dereceli $x$ hariç: $x^2, x^4, x^5, x^6, \dots$), $x^3 R$ ideali ise derecesi en az $3$ olan elemanları ($x^3, x^5, x^6, x^7, \dots$) içerir. Dolayısıyla, bunların kesişimi olan $x^2 R \cap x^3 R$ kümesi, $x$ değişkeninin en az $5$ dereceli terimlerinden oluşan polinomlar kümesidir.

Bu kesişim idealini $T$ halkasına genişlettiğimizde:

$$(x^2 R \cap x^3 R)T = x^5 T$$

elde ederiz. Ancak diğer taraftan doğrudan $T$ halkası üzerinde kesişim aldığımızda:

$$x^2 T \cap x^3 T = x^3 T$$

buluruz.

Görüldüğü üzere $(x^2 R \cap x^3 R)T = x^5 T \neq x^3 T = x^2 T \cap x^3 T$ olduğundan, kesişimler tensör çarpımı/ideal genişlemesi altında korunmamıştır. Teorem 6.4 (ii) uyarınca kesişimlerin korunması düzlük için bir gereklilik olduğundan, $T$ halkası $R$ üzerinde düz değildir.

Teorem 6.5

$f : R \longrightarrow T$ bir yitimsiz düz (faithfully flat) halka homomorfizması olsun.

Herhangi bir $R$-modül $M$ için, $m \mapsto m \otimes 1$ ile tanımlanan $M \longrightarrow M \otimes_R T$ kanonik dönüşümü birebirdir. Özel olarak, $f : R \longrightarrow T$ halka homomorfizmasının kendisi de birebirdir.
$R$'nin her $I$ ideali için $IT \cap R = I$ eşitliği sağlanır.

Kanıt

(i) $0 \neq m \in M$ olsun. Bu durumda $Rm$ alt modülü sıfırdan farklı bir $R$-modüldür. $T$ yitimsiz $R$-düz olduğundan, Teorem 6.2$R$ bir halka ve $M$ bir $R$-modül olsun. Bu durumda aşağıdaki koşullar birbirine denktir:

• $M$, $R$ üzerinde yitimsiz düzdür.

• $M$, $R$-düzdür ve sıfırdan farklı her $R$-modül $N$ için $N \otimes_R M \neq 0$ sağlanır.

• $M$, $R$-düzdür ve $R$'nın her $\mathfrak{m}$ maksimal ideali için $\mathfrak{m}M \neq M$ koşulu sağlanır.xs
📖 Detaya Git uyarınca sıfırdan farklı her modülün tensör çarpımı da sıfırdan farklı olmalıdır. Dolayısıyla:
$$(Rm) \otimes_R T \neq 0$$
olur. Bu tensör çarpımı, $M \otimes_R B$ modülünün $(m \otimes 1)T$ biçimindeki bir $T$-alt modülü ile özdeşleştirilebilir. $(Rm) \otimes_R T \neq 0$ olduğundan bu alt modül sıfır olamaz, bu da $m \otimes 1 \neq 0$ olduğunu gösterir. Sıfırdan farklı her $m$ elemanının görüntüsü sıfırdan farklı olduğuna göre, dönüşüm birebirdir. $M = R$ alınırsa $f : R \longrightarrow T$ homomorfizmasının birebirliği de doğrudan elde edilir.
(ii) (i) şıkkındak birebirlik özelliğini $M = R/I$ modülüne uygulayalım. $(R/I) \otimes_R T \cong T/IT$ izomorfizmasını kullandığımızda, doğal dönüşümümüz:
$$R/I \longrightarrow T/IT$$ $$a + I \mapsto f(a) + IT$$
şeklini alır. Bu dönüşümün birebir olması, görüntüsü sıfır olan (yani $f(a) \in IT$ koşulunu sağlayan) her elemanın başlangıçta da sıfır (yani $a \in I$) olmasını gerektirir. Bu durum tam olarak $IT \cap R \subseteq I$ kapsamasına eşdeğerdir. $I \subseteq IT \cap R$ kapsamasının her zaman doğru olduğu göz önüne alınırsa, $IT \cap R = I$ eşitliği elde edilir.

Tamamlama

$R$ bir halka ve $M$ bir $R$-modül olsun. $\Lambda$ yönlendirilmiş bir küme (bkz. Tanım C.1$(I,\le)$ kısmî sıralı bir küme olsun. Eğer her $i,j\in I$ için $i\le k$ ve $j\le k$ olacak şekilde bir $k\in I$ varsa bu $I$ kümesine bir yönlendirilmiş küme denir.
📖 Detaya Git) olmak üzere, $\mathcal{F} = \{M_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ ailesi $M$'nin $\Lambda$ ile indislenmiş ve $\lambda < \mu \Rightarrow M_\lambda \supseteq M_\mu$ koşulunu sağlayan bir alt modüller ailesi olsun. Bu durumda, $\mathcal{F}$ ailesini sıfır elemanının bir komşuluklar sistemi olarak kabul etmek, $M$ modülünü toplama işlemi altında bir topolojik grup haline getirir.

Bu inşa, kategori-teorik açıdan bir filtre tabanı (filter basis) seçimine karşılık gelir: yönlendirilmişlik, iki komşuluğun kesişiminin yine yeterince küçük bir komşuluk tarafından temsil edilmesini garanti eder; $\lambda < \mu \Rightarrow M_\lambda \supset M_\mu$ şartı ise komşulukların giderek inceldiğini ifade eder. Böylece $0$ civarındaki bilgiyi tüm $x \in M$ noktalarına $x+M_\lambda$ kosetleriyle taşıyabiliriz; bu da toplama ve ters alma işlemlerinin sürekliliğini garanti eder.

Bu topolojide, herhangi bir $x \in M$ elemanının komşuluklar sistemi $\{x + M_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ biçiminde tanımlanır. $M$ içinde toplama ve çıkarma işlemleri sürekli olduğu gibi, her $r \in R$ için $x \mapsto rx$ skalerle çarpım dönüşümü de süreklidir. $M = R$ olması durumunda her $M_\lambda$ birer ideal olup, çarpma işlemi de süreklidir:

$$(r + M_\lambda)(r' + M_\lambda) \subseteq rr' + M_\lambda.$$

Bu tür bir topolojiye $M$ üzerinde doğrusal topoloji (linear topology) denir. Bu topolojinin ayrılmış (yani Hausdorff) olması için gerek ve yeter şart $\bigcap_\lambda M_\lambda = 0$ olmasıdır. Her $M_\lambda \subseteq M$ alt modülü açık bir kümedir. Dolayısıyla her $x + M_\lambda$ koseti de yine açıktır. Diğer yandan $M_\lambda$'nın tümleyeni olan $M \setminus M_\lambda$ kümesi kosetlerin bir birleşimi olduğundan o da açıktır. Dolayısıyla $M_\lambda$, hem açık hem kapalı (clopen) bir alt kümedir. Buradan hareketle, $M/M_\lambda$ bölüm modülü, bölüm topolojisi ile ayrık (discrete) topoloji verir.

$M/\bigcap_\lambda M_\lambda$ modülü, $M$ ile ilişkili ayrılmış modül (separated module) olarak adlandırılır. Ayrıca, $\lambda < \mu$ için $\varphi_{\lambda\mu}: M/M_\mu \longrightarrow M/M_\lambda$ şeklinde doğal bir homomorfizma mevcut olduğundan, $R$-modüllerin $\{M/M_\lambda; \varphi_{\lambda\mu}\}$ ters sistemini (bkz. Tanım C.2$(I, \le)$ yönlendirilmiş bir küme ve $R$ bir halka olsun. $R$ halkası üzerindeki modüllerin $\{M_i\}_{i \in I}$ ailesi ile bunlar arasındaki ${f_{ij}}$ homomorfizmaların bir sistemi için eğer

• her $i,j\in I$ için $i \le j$ ise $f_{ij}: M_j \to M_i$ formunda bir $R$-modül homomorfizması (bu dönüşümlere geçiş veya bağ dönüşümleri denir),

• her $i \in I$ için $f_{ii} = 1_{M_i}$ (birim dönüşüm) ve

• Her $i \le j \le k$ için $f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk}$ (bileşke kuralı)

koşulları sağlanıyorsa, bu yapıya $R$-modüllerin bir ters sistemi denir. Böyle bir ters sistemi $\{M_i;f_{ij}\}_{i,j \in I}$ ile göstereceğiz.
📖 Detaya Git) inşa edebiliriz.

Tanım 6.2

$R$ bir halka ve $M$ bir $R$-modül olsun. $\Lambda$ yönlendirilmiş bir küme olmak üzere, $\mathcal{F} = \{M_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ ailesi $M$'nin $\Lambda$ ile indislenmiş ve $\lambda < \mu \Rightarrow M_\lambda \supseteq M_\mu$ koşulunu sağlayan bir alt modüller ailesi olsun. $R$-modüllerin $\{M/M_\lambda; \varphi_{\lambda\mu}\}$ ters sisteminin ters limiti olan $\varprojlim M/M_\lambda$ limitine $M$'nin tamamlaması (completion) denir ve $\widehat{M}$ ile gösterilir.

Her bir $M/M_\lambda$ modülüne ayrık topolojiyi, bunların direkt çarpımı olan $\prod_\lambda M/M_\lambda$ uzayına çarpım topolojisini ve $\widehat{M}$ tamamlamasına da $\prod_\lambda M/M_\lambda$ içindeki alt uzay topolojisini verirsek, $\widehat{M}$ de bir topolojik uzay olur ve $\psi: M \longrightarrow \widehat{M}$ doğal $R$-homomorfizması sürekli olup, $\psi(M)$ görüntüsü $\widehat{M}$ içinde yoğundur.

Tanım 6.3

Eğer $\psi: M \longrightarrow \widehat{M}$ doğal dönüşümü bir izomorfizma ise $M$ modülüne tam (complete) denir.

Eğer $\mathcal{F}' = \{M'_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}$ yönlendirilmiş bir $\Gamma$ kümesiyle indekslenmiş başka bir alt modüller ailesi ise, $\mathcal{F}$ ve $\mathcal{F}'$ ailelerinin $M$ üzerinde aynı topolojiyi üretmesi için gerek ve yeter şart, her $M_\lambda$ için $M'_\gamma \subset M_\lambda$ olacak şekilde bir $\gamma \in \Gamma$ bulunması ve her $M'_\gamma$ için $M_\mu \subset M'_\gamma$ olacak şekilde bir $\mu \in \Lambda$ bulunmasıdır. Bu durumda $\varprojlim M/M_\lambda \cong \varprojlim M/M'_\gamma$ şeklinde topolojik modüllerin bir izomorfizmasının varlığını görmek zor değildir. Dolayısıyla, $\widehat{M}$ tamamlaması (tıpkı $M$'nin tam olup olmadığı sorusu gibi) yalnızca $M$'nin topolojisine bağlıdır.

$M = R$ olduğunda $\{M/M_\lambda; \varphi_{\lambda\mu}\}$ sistemi halkaların bir ters sistemi haline gelir. Bu durumda $\widehat{M} = \widehat{R}$ tamamlanmış bir halkadır ve $\psi: R \longrightarrow \widehat{R}$ bir halka homomorfizmasıdır. Ayrıca $M_\lambda^* \subseteq \widehat{R}$ yalnızca bir $R$-alt modülü değil, aynı zamanda $\widehat{R}$'nın bir idealidir; çünkü $p_\lambda: \widehat{R} \longrightarrow R/M_\lambda$ dönüşümü bir halka homomorfizmasıdır.

Not 6.5

$N\le M$ alt modülü için, $N$'nin $M$ içindeki $\overline{N}$ kapanışı da $M$'nin bir alt modülüdür ve şu formülle verilir: $$\overline{N} = \bigcap_\lambda (N + M_\lambda).$$

Gerçekten de, açık kümelerin yapısından ötürü

$$x \in \overline{N} \iff \text{her } \lambda \text{ için } (x + M_\lambda) \cap N \neq \varnothing$$ $$\iff \text{her } \lambda \text{ için } x \in N + M_\lambda$$

olduğu görülür.

$M_\lambda$'nın $M/N$ bölüm modülündeki görüntüsünü $M'_\lambda$ ile gösterirsek, $M/N$ üzerindeki bölüm topolojisi, $\{M'_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ ailesi tarafından tanımlanan doğrusal topolojinin ta kendisidir. Nitekim, $G \subseteq M$ bir alt küme ve onun doğal izdüşüm altındaki görüntüsü $G' \subset M/N$ ise aşağıdaki silsile verilebilir: $$G' \text{ bölüm topolojisinde açıktır} \iff G, M \text{ içinde açıktır}$$ $$\iff \text{her } x \in G \text{ için } x + M_\lambda \subset G \text{ olacak şekilde bir } M_\lambda \text{ vardır}$$ $$\iff \text{her } x' \in G' \text{ için } x' + M'_\lambda \subset G' \text{ olacak şekilde bir } M'_\lambda \text{ vardır.}$$

Buradan, $M/N$ bölüm modülünün ayrılmış (separated) olması için gerek ve yeter şartın $\bigcap_\lambda M'_\lambda = 0$ yani $\bigcap_\lambda (N + M_\lambda) = N$ olduğu görülür; bu da $N$'nin $M$ içinde kapalı olmasına denk gelir. Dahası, $N$ üzerindeki alt uzay topolojisi, $\{N \cap M_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ ailesi tarafından tanımlanan doğrusal topolojiyle tıpatıp aynıdır. $M/N = M'$ olarak tanımlayalım. Bu durumda:

$$0 \longrightarrow N/(N \cap M_\lambda) \longrightarrow M/M_\lambda \longrightarrow M'/M'_\lambda = M/(N + M_\lambda) \longrightarrow 0$$

dizisi tam bir dizidir. Bu dizinin ters limitini aldığımızda:

$$0 \longrightarrow \widehat{N} \longrightarrow \widehat{M} \longrightarrow \widehat{M/N}$$

dizisinin de tam olduğunu görürüz. Eğer $\widehat{N}$ modülünü $\widehat{M}$'nın bir alt modülü olarak düşünürsek, bir $\Omega = (\omega_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \in \widehat{M}$ elemanının $\widehat{N}$'ye ait olması için gerek ve yeter şart her bir $\omega_\lambda$ bileşeninin $N$'nin bir elemanı ile temsil edilebilmesidir; diğer bir deyişle her $\lambda$ için $\Omega \in \psi(N) + M_\lambda^*$ olmasıdır. Dolayısıyla $\widehat{N}$, $\psi(N)$ alt modülünün $\widehat{M}$ içindeki kapanışından başka bir şey değildir.

Genel durumda $\widehat{M} \longrightarrow \widehat{M/N}$ dönüşümünün örten olup olmadığı genelde açık değildir, fakat $\Lambda = \{1, 2, \dots\}$ (yani sayılabilir indis kümesi) olduğunda örtelik daima sağlanır. Gerçekten de bu durumda:

$$\widehat{M/N} = \varprojlim_n M/(N + M_n)$$

yazabiliriz. $\omega'_n \in M/(N + M_n)$ olmak üzere verilen bir $\Omega' = (\omega'_1, \omega'_2, \dots) \in \widehat{M/N}$ elemanını ele alalım. $x_1 \in M$ elemanı $\omega'_1$'in, $y_2 \in M$ ise $\omega'_2$'nin birer ters görüntüsü olsun. Bu durumda $y_2 - x_1 \in N + M_1$ sağlanır, dolayısıyla:

$$y_2 - x_1 = t + m_1 \quad (t \in N \text{ ve } m_1 \in M_1)$$

şeklinde yazabiliriz. Eğer $x_2 = y_2 - t$ olarak tanımlarsak, $x_2 \in M$ elemanı da $\omega'_2$'nin bir ters görüntüsü olur ve $x_2 - x_1 \in M_1$ koşulunu sağlar. Benzer şekilde, ardışık olarak $\omega'_n$ elemanlarının $x_n \in M$ ters görüntülerini, her $n = 1, 2, \dots$ için $x_{n+1} - x_n \in M_n$ olacak şekilde seçebiliriz. Eğer $x_n$'in $M/M_n$ içindeki görüntüsünü $\omega_n \in M/M_n$ ile gösterirsek, inşa gereği $\Omega = (\omega_1, \omega_2, \dots)$ elemanı $\varprojlim M/M_n = \widehat{M}$ tamamlamasının bir elemanı olur ve $\widehat{M/N}$ içindeki $\Omega'$ elemanına eşlenir. Bu da bize aşağıdaki önemli teoremi kanıtlar:

Teorem 6.6

$R$ değişmeli bir halka, $M$ doğrusal topolojiye sahip bir $R$-modül ve $N \le M$ bir alt modül olsun. $N$ üzerine alt uzay topolojisini, $M/N$ üzerine ise bölüm topolojisini koyalım. Bu durumda her iki topoloji de birer doğrusal topolojidir ve aşağıdaki özellikler sağlanır:

$0 \longrightarrow \widehat{N} \longrightarrow \widehat{M} \longrightarrow \widehat{M/N}$ bir tam dizidir ve burada $\widehat{N}$ alt modülü, $\psi: M \longrightarrow \widehat{M}$ doğal dönüşümü altında $\psi(N)$'nin $\widehat{M}$ içindeki kapanışıdır.
Eğer ek olarak $M$'nin üzerindeki topoloji azalan bir $M_1 \supset M_2 \supset \cdots$ alt modüller zinciri tarafından tanımlanıyorsa,
$$0 \longrightarrow \widehat{N} \longrightarrow \widehat{M} \longrightarrow \widehat{M/N} \longrightarrow 0$$
dizisi tamdır. Diğer bir deyişle, $\widehat{M/N} \simeq \widehat{M}/\widehat{N}$ izomorfizması mevcuttur.

Şimdi $M$ ve $N$ doğrusal topolojilere sahip iki $R$-modül ve $f: M \longrightarrow N$ sürekli ve bir $R$-homomorfizması olsun. Eğer $M$ ve $N$ modüllerinin topolojileri sırasıyla $\{M_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ ve $\{N_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}$ aileleri ile veriliyorsa, $f$'nin sürekliliği gereği her $\gamma \in \Gamma$ için $M_\lambda \subset f^{-1}(N_\gamma)$ olacak şekilde bir $\lambda \in \Lambda$ mevcuttur. $\varphi_\gamma: \widehat{M} \longrightarrow N/N_\gamma$ dönüşümünü, ilk bileşeni kanonik izdüşüm, ikincisi ise $f$ tarafından indirgenen dönüşüm olmak üzere

$$\widehat{M} \longrightarrow \widehat{M}/M_\lambda^* \longrightarrow N/N_\gamma$$

bileşkesi olarak tanımlayalım. Bu $\varphi_\gamma$ dönüşümünün, $M_\lambda \subset f^{-1}(N_\gamma)$ kapsamasını sağlayan $\lambda$ seçiminden tamamen bağımsız olduğu kolayca görülür. Ayrıca $\gamma < \gamma'$ için $\psi_{\gamma \gamma'}: N/N_{\gamma'} \longrightarrow N/N_\gamma$ kanonik geçiş dönüşümü olmak üzere, $\varphi_\gamma = \psi_{\gamma \gamma'} \circ \varphi_{\gamma'}$ eşitliği de sağlanır. Buradan hareketle, $(\varphi_\gamma)_{\gamma \in \Gamma}$ ailesi vasıtasıyla tanımlanan sürekli ve doğrusal bir $\widehat{f}: \widehat{M} \longrightarrow \widehat{N}$ dönüşümü elde edilir ve aşağıdaki diyagram değişmelidir (dikey oklar doğal dönüşümlerdir):

Üstelik, $\widehat{f}$ dönüşümü bu değişmeli diyagram ve süreklilik şartı altında tek türlü belirlidir. Benzer şekilde, eğer $R$ ve $T$ doğrusal topolojilere sahip halkalar ve $f: R \longrightarrow T$ sürekli bir halka homomorfizması ise, $f$ dönüşümü sürekli bir $\widehat{f}: \widehat{R} \longrightarrow \widehat{T}$ halka homomorfizmasını doğurur.

$I$-adik Topoloji ve Tamamlamalar

Doğrusal topolojiler arasında, idealler tarafından tanımlananları çok özel ve kritik bir öneme sahiptir. $I$, $R$ halkasının bir ideali ve $M$ bir $R$-modül olsun. $M$ üzerinde $\{I^n M\}_{n=1,2,\dots}$ ailesi tarafından tanımlanan doğrusal topolojiye $I$-adik topoloji (I-adic topology) denir. Eğer $R$ halkası üzerine de $I$-adik topolojiyi koyarsak, $R$ ve $M$ modüllerinin $\widehat{R}$ ve $\widehat{M}$ tamamlamaları $I$-adik tamamlamalar olarak adlandırılır.

$\widehat{M}$'nın doğal bir biçimde bir $\widehat{R}$-modül yapısına sahip olduğunu görmek kolaydır: $\alpha = (a_1, a_2, \dots) \in \widehat{R}$ ($a_n \in A/I^n$) ve $\xi = (x_1, x_2, \dots) \in \widehat{M}$ ($x_n \in M/I^n M$) olmak üzere, modül çarpım işlemini doğrudan bileşenler bazında şöyle tanımlayabiliriz: $$\alpha \xi = (a_1 x_1, a_2 x_2, \dots) \in \widehat{M}.$$

Gözlem

$\psi:M\longrightarrow \widehat{M}$, her $x\in M$ için $\psi(x)=(x+I^nM)_{n=1}^\infty$ doğal dönüşümünü hatırlayalım. $M$, $I$-adik topolojiye göre tamamlanmış ise $\psi$ bir izomorfizma olacağından her $\vek x=(x_1,x_2,\ldots)\in \widehat{M}$ için $\psi(x)=\vek x$ olacak şekilde bir tek $x\in M$ elemanı vardır. Başka bir deyişle, $M$'nin $I$-adik topolojiye göre tamamlanmış olması demek, $M$'nin elemanlarının bir $\{x_1,x_2,\ldots\}$ dizisi verildiğinde eğer her $n$ için $x_{n+1}-x_n\in I^nM$ sağlanıyorsa o zaman her $n$ için $x_n-x\in I^nM$ olacak şekilde bir ve yalnız bir tek $x\in M$ elemanının mevcut olması demektir. Bu gözlem yakınsama kavramını tanımlamak için bize aşağıdaki gibi yol göstermiştir.

Tanım 6.4

$\{x_n\}_{n=1}^\infty$, $M$'nin elemanlarının bir dizisi ve $x\in M$ olsun. Eğer her $k\ge0$ tamsayısı için $$n>N \Rightarrow x-x_n\in I^kM$$

olacak şekilde ($k$ tamsayısına bağlı) bir $N$ tamsayısı bulunabiliyorsa $\{x_n\}$ dizisi $x$'e yakınsıyor denir ve $x_n\rightarrow x$ şeklinde gösterilir.

Aşağıdaki önermeyi ispatlamak zor değildir.

Önerme 6.7

$R$ halkasının bir $I$ ideali ve $M$'nin $\{x_n\}$ ve $\{y_n\}$ dizileri için $x_n\rightarrow x$ ve $y_n\rightarrow y$ olsun. Aşağıdakiler sağlanır:

$M$ üzerindeki $I$-adik topolojiye Hausdorfftur ancak ve ancak
$$\bigcap_{k=0}^\infty I^kM=0$$
eşitliği sağlanır.
$M$ üzerindeki $I$-adik topoloji Hausdorff ise limitler tektir.
$(x_n\pm y_n)\rightarrow x \pm y$, $rx_n\rightarrow rx$.
$f:M\rightarrow M'$, $I$-adik topolojik uzaylar arasında (doğrusal olması gerekmeyen) bir sürekli dönüşüm olsun. Eğer $x_n\rightarrow x$ ise $f(x_n)\rightarrow f(x)$ dir.

$M$ içinde bir Cauchy dizisi kavramını klasik analizdekine benzer şekilde aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz:

Tanım 6.5

$M$'nin elemanlarının bir $\{x_n\}$ dizisi Cauchy dizisidir ancak ve ancak her pozitif $k$ tamsayısı için, $n > n_0$ olduğunda $x_{n+1} - x_n \in I^k M$ koşulunu sağlayacak biçimde bir $n_0$ indisi vardır.

Teorem 6.8

$M$ bir tamamlanmış $R$-modüldür ancak ve ancak $M$'deki her Cauchy dizisinin bir limiti vardır ve bu limit tektir.

Kanıt

Önce $M$ bir tamamlanmış $R$-modül olsun. $\{x_n\}_{n=1}^\infty$, $M$'de bir Cauchy dizisi olsun. Tanım gereği her $i$ doğal sayısı için

\begin{equation} $n\ge n_i \Rightarrow x_{n+1}-x_n\in I^iM$ \end{equation}

önermesini doğru yapan bir $n_i$ doğal sayısı mevcuttur. Dikkat edilirse $n_1<n_2<n_3<\ldots$ seçebiliriz. Buna göre her $i$ için $n_i\ge i$ özelliğini de bu kabulden getirebiliriz.

Her $i$ doğal sayısı için $y_i=x_{n_i}$ olsun. Buna göre her $i$ doğal sayısı için $y_{i+1}-y_i\in I^iM$ olur. $M$ bir tamamlanmış modül olduğundan, $y_i\rightarrow y$ olacak şekilde tek türlü belirli bir $y\in M$ vardır.

İddia: $x_n\rightarrow y$.

Bu iddiayı doğrulamak için bir $r$ doğal sayısı alalım. $y_i\rightarrow y$ olduğundan bir $N$ doğal sayısı vardır öyle ki her $i\ge N$ için

\begin{equation} y_i-y\in I^rM \end{equation}

sağlanır. $y_i=x_{n_i}$ olduğunu hatırlayalım. $M=\operatorname{maks}\{N,n_r\}$ olsun. $n_M\ge M\ge n_r$ olduğundan (1) gereğince $x_{n_M+1}-x_{n_M}\in I^rM$ olur. Diğer taraftan, $n_M\ge M\ge N$ olduğundan (2) gereğince $x_{n_M}-y\in I^rM$ olur. Böylece

$$x_{n_M+1}-y=(x_{n_M+1}-x_{n_M})+(x_{n_M}-y)\in I^rM$$

bulunur. Benzer şekilde $x_{n_M+2}-x_{n_M+1}\in I^rM$ ve $x_{n_M+1}-y\in I^rM$ olacağından $x_{n_M+1}-y\in I^rM$ elde edilir. Bu şekilde devam edilirse her $m\ge n_M$ için

$$x_m-y\in I^r$$

olduğu görülür. Böylece iddia edildiği gibi $x_n\rightarrow y$ bulunur. Tamamlanmış bir modülde tüm limitler tek türlü olduğundan $y$ de tek türlü belirlidir.

Diğer yönün kanıtı daha kolay olduğundan okuyucuya bırakılmıştır.

$R$ değişmeli bir halka ve $I$, $R$'nin bir ideali olsun. $a \in I$ olsun.$$a_n = 1 - a + a^2 - a^3 + \dots + (-1)^{n-1} a^{n-1} = \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i a^i$$ olsun. Buna göre $a_{n+1} - a_n = (-1)^n a^n \in I^n$ ve dolayısıyla $(a_n + I^n)_{n=1}^\infty \in \widehat{R}$ olur. Eğer ek olarak $R$, $I$-adik olarak tam ise her $n>0$ için $b - a_n \in I^n$ olacak şekilde tek bir $b \in R$ vardır. Diğer taraftan, $a_{n+1} = 1 - a a_n$ (her $n>0$ için) ve böylece $$(1-ab) - a_n = 1 - a a_n + a a_n - ab - a_n = (a_{n+1} - a_n) + a(a_n - b) \in I^n \quad (\forall n)$$ olur. $b \in R$ tek olduğundan, $1 - ab = 1$, yani $(1+a)b = 1$ elde edilir. Böyle bir durumda,$$1 - a + a^2 - a^3 + \dots = \sum_{i=0}^\infty (-1)^n a^i$$ serisi $R$ içinde $b \in R$'ye yakınsar deriz. Bu durumda, ayrıca, $1+a$, $R$'nin bir birimsel elemanıdır. Böylece $I \subseteq J(R)$ olur. Bu ise aşağıdaki teoremin ilk kısmını verir bize.

Teorem 6.9

$R$ değişmeli bir halka, $I$, $R$'nin bir ideali ve $M$ bir $R$-modül olsun.

$R$, $I$-adik olarak tamamalanmış ise $I \subseteq J(R)$'dir.
$M$, $I$-adik olarak tamamalanmış ve $a \in I$ ise $1+a$ ile çarpma homomorfizması $M$'nin bir otomorfizmasıdır.

Kanıt

(ii) $M \cong \widehat{M}$ olacağından, $M$ aynı zamanda bir $\widehat{R}$-modül yapısına sahiptir. Dikkat edilirse $1+a \in R$ elemanının $\widehat{R}$ içindeki görüntüsü birimseldir. $M$ üzerinde $1+a$ ile çarpma ile $1+a$'nın $\widehat{R}$ içindeki görüntüsü ile çarpma aynı şey olduğundan, ispat tamamlanmış olur.

Teorem 6.10: Hensel Lemması

$(R, \mathfrak{m})$ bir yerel halka ve $k = R/\mathfrak{m}$ kalıntı (rezidü) cismi olsun. $R$'nin $\mathfrak{m}$-adik olarak tamamlanmış olduğunu kabul edelim. $F(x) \in R[x]$ bir monik polinom ve $\overline{F}[x] \in k[x]$, $F$'nin katsayılarının $\mathfrak{m}$-modülüne göre indirgenmesi ile elde edilen polinom olsun. Eğer $gh = \overline{F}$ olacak şekilde aralarında asal monik $g, h \in k[x]$ polinomları varsa, $F=GH$, $\overline{G}=g$ ve $\overline{H}=h$ olacak şekilde $G, H \in R[x]$ polinomları vardır.

Kanıt

$k[x] \cong R[x]/\mathfrak{m}[x]$ olduğunu biliyoruz. Buna göre, kabulden, $F \equiv G_1 H_1 \pmod{\mathfrak{m}[x]}$ ve $g=\overline{G_1}$, $h=\overline{H_1}$ olacak şekilde $G_1, H_1 \in R[x]$ polinomları vardır. Tümevarım ile, $F \equiv G_n H_n \pmod{\mathfrak{m}^n[x]}$ ve $g=\overline{G_n}$, $h=\overline{H_n}$ olacak şekilde monik $G_n, H_n$ polinomlarının bulunabildiğini varsayalım. $F - G_n H_n = \sum a_i P_i(x)$ olacak şekilde $a_i \in \mathfrak{m}^n$ ve derecesi $F$'nin derecesinden küçük $P_i(x)$ polinomları vardır. $(g,h)=1$ olduğundan $\overline{P_i} = g v_i + h w_i$ olacak şekilde $v_i$ ve $w_i \in k[x]$ bulabiliriz. $w_i$'yi, $h$ ile bölümünden elde edilen kalanla değiştirip gerekli düzenlemeler yapılırsa $\deg v_i < \deg h$ olduğunu kabul edebiliriz. Buna göre $$\deg h w_i = \deg (\overline{P_i} - g v_i) < \deg F$$

olur. Dolayısıyla, $\deg w_i < \deg g$ olur. $\overline{V_i} = v_i$, $\overline{W_i} = w_i$, $\deg V_i = \deg v_i$, $\deg W_i = \deg w_i$ olacak şekilde $V_i, W_i \in R[x]$ polinomları seçip,

$$G_{n+1} = G_n + \sum a_i W_i$$ $$H_{n+1} = H_n + \sum a_i V_i$$

polinomlarını oluşturalım. O zaman

$$F - G_{n+1} H_{n+1} = F - G_n H_n - G_n \sum a_i V_i - H_n \sum a_i W_i - \left(\sum a_i W_i\right)\left(\sum a_i V_i\right)$$ $$= \sum a_i P_i - \sum a_i (G_n V_i + H_n W_i) - \left(\sum a_i W_i\right)\left(\sum a_i V_i\right)$$

olur ki$$G_n V_i + H_n W_i \equiv g v_i + h w_i \pmod{\mathfrak{m}[x]}$$

$$\equiv \overline{P_i} \pmod{\mathfrak{m}[x]}$$

olduğundan, her $i$ için

$$a_i (G_n V_i + H_n W_i) \equiv a_i P_i \pmod{\mathfrak{m}^{n+1}[x]}$$

ve böylece

$$F \equiv G_{n+1} H_{n+1} \pmod{\mathfrak{m}^{n+1}[x]}$$

elde edilir. Dolayısıyla, tümevarım ile, $\{G_n\}_{n=1}^\infty$ ve $\{H_n\}_{n=1}^\infty$ dizileri inşa edebiliriz öyle ki her $n$ için

$$F \equiv G_n H_n \pmod{\mathfrak{m}^n[x]}.$$

Tüm $G_n$'ler (ve $H_n$'ler) aynı dereceye sahip ve $R$, $\mathfrak{m}$-adik olarak tam olduğundan $G_n \to G$ ve $H_n \to H$ olacak şekilde $G, H \in R[x]$ vardır. (Katsayılar bazında yakınsama ile polinomlar için limit bulabiliriz çünkü her $n$ için $G_{n+1} - G_n \in \mathfrak{m}^n[x]$ ve $H_{n+1} - H_n \in \mathfrak{m}^n[x]$.) $R$ $\mathfrak{m}$-adik olarak tam olduğundan, ayrıca,

$$\bigcap_{n=0}^\infty \mathfrak{m}^n = 0$$

ve böylece $R[x]$ içinde

$$\bigcap_{n=0}^\infty \mathfrak{m}^n[x] = 0$$

olur. Diğer taraftan, her $n>0$ tamsayısı için yeterince büyük tüm $k$ sayılar

$$F - GH = (F - G_k H_k) + (G_k H_k - GH)$$ $$= (F - G_k H_k) + (G_k H_k - G H_k + G H_k - GH)$$ $$= (F - G_k H_k) + [(G_k - G)H_k + G(H_k - H)] \in \mathfrak{m}^n[x]$$

özelliğini sağlayacağından $F = GH$ olur. Ayrıca $\overline{G} = \overline{G_1} = g, \overline{H} = \overline{H_1} = h$

p-adik ($p$-sel) Tam Sayılar Halkası

Bu bölümde, $\zz$ tamsayılar halkasının bir maksimal idealinin kuvvetleri ile tanımlı lineer topolojiye göre tamlaştırmasının, biçimsel kuvvet serileri şeklinde elemanlardan oluşan bir halkaya nasıl dönüştürülebileceğini gösterecek ve Hensel Lemmasının bu yapı üzerindeki faydalı kullanımlarını vereceğiz.

$p$ bir asal sayı olmak üzere her $i<j$ doğal sayı çifti için $$\phi_{ij}:\zz/p^j\zz\longrightarrow \zz/p^i\zz$$

doğal izdüşüm homomorfizması ile

$$\left\{\zz/p^i\zz;\phi_{ij}\right\}$$

ters sistemi tanımlanabilir. Bu ters sistemin ters limiti

$$\varprojlim\zz/p^i\zz,$$ $\zz$'nin $p\zz$-adik tamamlanışından başkası değildir. Bu tamamlanmış halkaya, daha basitçe, $\zz$'nin $p$-adik tamamlanışı da diyebiliriz. $\zz$'nin $p$-adik tamamlanışı, bu kavramı bütünlüklü bir çerçevede temel alan literatürde genellikle $\zz_p$ şeklinde gösterilir, ancak bu ders kapsamında $\zz_p$ gösteriminin, $p$ modülüne göre kalan sınıflarının halkası ile karıştırılabileceği düşüncesinden hareketle biz burada $p$-adik tam sayı halkasını $\cz_p$ şeklinde göstereceğiz. Alternatif bir kullanım da, söz konusu halkanın $\zz$ tam sayılar halkasının tamamlanışı olarak inşa edildiğini daha iyi vurgulayan $\widehat{\zz^{(p)}}$ olabilir.

Her $i=0,1,2,\ldots$ doğal sayısı için $0\le a_i<p$ olmak üzere

$$a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots =\sum_{i=0}^\infty a_ip^i$$

biçimsel toplamını (serisini) tanımlayalım. Bu seri sadece biçimsel bir yazım olup, varlığı analizdeki gibi herhangi bir yakınsaklık koşulunu sağlamasına bağlı değildir. En azından şimdilik, sadece, biz var olmasını istediğimiz için var olan bir yazım olarak ortaya atılmış olsunlar. Bunun gibi iki biçimsel seriyi aşağıdaki gibi toplayıp çarpabileceğimiz için bunların kümesi ile bir cebirsel yapı kurabiliriz. Bu yapı bir tamlık bölgesidir.

İki biçimsel p-serisi

$$\alpha=\sum_{i=0}^\infty a_ip^i\quad\text{ve}\quad\beta=\sum_{i=0}^\infty b_ip^i$$

olarak alınsın. Burada $0\le a_i,b_i< p$ kabulünün, biçimsel $p$-serisi ifadesinin içinde gizli olduğunu varsayıyoruz. İlk olarak

$$\alpha=\beta \quad\iff\quad \text{her }i=0,1,2,\ldots\text{ için }a_i=b_i$$

olarak kabul ettiğimizi not edelim. Bu sayede her biçimsel kuvvet serisinin katsayıları ile tek türlü var olduğunu ifade etmiş oluyoruz.

Toplama ve çarpma işlemlerini bilinen kuvvet serilerinde olduğu gibi tanımlıyoruz ancak küçük bir fark ile: bu işlemler sonunda ortaya çıkan $\sum_i c_ip^i$ serisinde $0\le c_i<p$ koşulunu sağlamayan bileşenler olabileği için, bu bileşenleri $p$ modülüne göre indirgeyip, indirgemede çıkan bölümü hemen sağındaki bileşene taşıyoruz. Bunu, onluk sistemde toplama veya çarpma yaparken elde olanı soldaki basamağa taşıma ile aynı görebiliriz. Örneğin, $p=5$ ve

$$\alpha=2+5+3\cdot 5^2 + 2\cdot 5^3 + 4\cdot 5^4 + 5^5 + \cdots$$ $$\beta = 1 + 3\cdot 5 + 4\cdot 5^2 + 3\cdot 5^3 + 2\cdot 5^4 + 2\cdot 5^5 + \cdots$$

ise $\alpha + \beta$'yı hesaplamak için önce iki yapıyı bileşensel olarak toplayıp, adım adım taşımalar yaparız:

$$3 + 4\cdot 5 + 7\cdot 5^2 + 5\cdot 5^3 + 6\cdot 5^4 + 3\cdot 5^5 + \cdots$$ $$\downarrow$$ $$3 + 4\cdot 5 + {\color{red}2\cdot 5^2 + 6\cdot 5^3} + 6\cdot 5^4 + 3\cdot 5^5 + \cdots$$ $$\downarrow$$ $$3 + 4\cdot 4 + 2\cdot 5^2 + {\color{red} 1\cdot 5^3 + 7\cdot 5^4} + 3\cdot 5^5 + \cdots$$ $$\downarrow$$ $$3 + 4\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + 1\cdot 5^3 + {\color{red} 2\cdot 5^4 + 4\cdot 5^5} + \cdots$$

Buna göre $\alpha+\beta$ tüm gerekli taşımalar tamamlandıktan sonra ortaya çıkan $p$-serisi olarak tanımlanır. Böylece kapalılık tesis edilmiş olur. Çarpma işleminde de benzer düşünce vardır: önce bilinen Cauchy çarpması yapılır, sonra basamak basamak taşımalar. Bu işlemlerin iyi tanımlı oldukları ve halka aksiyomlarını sağladıkları, sıradan (fakat uzun ve maliyetli) işlemlerle doğrulanabilir. Buna göre eğer tüm biçimsel $p$-serilerinin kümesini $\ss_p$ ile gösterirsek, $\ss_p$ yukarıdaki gibi tarif edilen toplama ve çarpma işlemleri ile birlikte değişmeli ve birimli bir halkadır.

Not 6.6

$\ss_p$ halkası ile $\ff_p[[x]]$ kuvvet serilerinin halkası arasınde önemli benzerlikler bulunur, fakat $\ff_p[[x]]$ içinde yapılan toplama ve çarpma işlemlerinde taşıma yoktur; işlemler tamamen katsayı bazlı yapılır.

$\cz_p$ içindeki elemanlar, uyumlu diziler (coherent sequences) şeklinde de tabir edilen ve her $n\ge 0$ tam sayısı için $$x_{n+1}\equiv x_n\pmod{p}$$

olacak şekildeki $x_n\in \zz/p^n\zz$ elemanlarının

$$\vek x=(x_0,x_1,x_2,\ldots)$$

şeklindeki dizileri olduğunu biliyoruz. $a_0$, $x_0$'ın $\zz$'deki $0$ ile $p-1$ arasındaki ters görünütüsü olsun.

Teorem 6.11

$R$ değişmeli bir Noether halkası, $I$ onun bir ideali ve $M$ bir $R$-modül (sonlu üretilmiş) olsun. Buna göre $M \otimes_R \hat{R} \cong \hat{M}$ olur.

Kanıt

$I$-adik tamlama bir tam funktor olduğundan $R^m \to R^n \to M \to 0$ şeklindeki bir tam dizi için satırları tam olan aşağıdaki gibi değişmeli bir diyagram vardır: $$\begin{array}{ccccccc} \widehat{R^m} & \longrightarrow & \widehat{R^n} & \longrightarrow & \widehat{M} & \longrightarrow & 0 \\\uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\R^m \otimes \widehat{R} & \longrightarrow & R^n \otimes \widehat{R} & \longrightarrow & M \otimes \widehat{R} & \longrightarrow & 0 \end{array}$$

Buradaki düşey oklar doğal dönüşümlerdir. Tamlaşmalar dik toplamlarla değişmeli olduğundan soldaki iki düşey ok birer izomorfizmadır:

$$R^m \otimes \hat{R} \to \widehat{R^m} \cong (\hat{R})^m$$ $$y \otimes (r_i)_i \mapsto (r_i y)_i \mapsto ((r_i y_j)_i)_{j=1}^m = ((r_i)_i y_j)_{j=1}^m$$

Dolayısıyla sağdaki düşey ok da izomorfizmadır.

Teorem 6.12

$R$ değişmeli bir Noether halka, $I$ onun bir ideali ve $\widehat{R}$, $R$'nin $I$-adik tamlaması ise $\widehat{R}$, $R$ üzerinde düzdür.

Kanıt

$\widehat{R}$'nin $R$-düz olduğunu görmek için $R$'nin her $J$ ideali için $J \otimes_R \widehat{R} \to \widehat{R}$ doğal dönüşümünün birebir olduğunu görmek yeterlidir. Fakat $J \otimes \widehat{R} \cong \widehat{J}$ ve $\widehat{J} \to \widehat{R}$ birebir olduğundan istenen elde edilir.

Teorem 6.13: Krull

$R$ değişmeli bir Noether halka, $I$ onun bir ideali ve $M$ sonlu üretilmiş $R$-modül olsun. $N = \bigcap_{n>0} I^n M$ yazalım. O zaman $1-a \in I$ ve $aN=0$ olacak şekilde bir $a \in R$ vardır.

Kanıt

Artin-Rees Lemmasından (Teorem 6.14$R$ bir değişmeli Noether halkası, $M$ sonlu üretilmiş bir $R$-modül, $N \le M$ ve $I$, $R$'nin bir ideali olsun. O zaman her $n > k$ için $$I^n M \cap N = I^{n-k}(I^k M \cap N)$$ olacak şekilde bir $k$ doğal sayısı vardır.
📖 Detaya Git), yeterince büyük $n$ tamsayıları için $I^n M \cap N \subseteq IN$ kapsaması vardır. $N$'nin tanımından, $N = IN$ olur. Nakayama Lemması (Teorem 2.8$M$, değişmeli $R$ halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modül ve $I$, $R$'nin bir ideali olsun. Eğer $M=IM$ ise, o zaman $aM=0$ ve $1-a\in I$ olacak şekilde bir $a\in R$ vardır. Eğer ek olarak $I\subseteq\operatorname{Jac}(R)$ ise, o zaman $M=0$'dır.
📖 Detaya Git) gereğince istenilen elde edilir.

Artin-Rees Lemması

Teorem 6.14: Artin-Rees Lemması

$R$ bir değişmeli Noether halkası, $M$ sonlu üretilmiş bir $R$-modül, $N \le M$ ve $I$, $R$'nin bir ideali olsun. O zaman her $n > k$ için $$I^n M \cap N = I^{n-k}(I^k M \cap N)$$

olacak şekilde bir $k$ doğal sayısı vardır.

Kanıt

$I^n M \cap N \supseteq I^{n-k}(I^k M \cap N)$ olduğu açıktır. $I$, $a_1, \dots, a_r$ elemanları ile üretilsin. ($R$ Noether olduğundan $I$ sonlu üretilmiştir.) Ayrıca kabul edelim ki $M$, $m_1, \dots, m_s$ elemanları ile üretilmiş olsun.$I^n M$ alt modülünün her elemanı, $f_i(X) = f_i(X_1, \dots, X_r) \in R[X_1, \dots, X_r]$ $n$-yinci dereceden homojen polinomları için $a = (a_1, \dots, a_r)$ o.ü $$\sum_{i=1}^s f_i(a) m_i$$

formundadır. $R_1 = R[X_1, \dots, X_r]$ olsun. Her $n>0$ tamsayısı için

$$J_n = \left\{ (f_1, \dots, f_s) \in R_1^s \mid f_i \text{'ler } n \text{-yinci dereceden homojen ve } \sum_{i=1}^s f_i(a) m_i \in N \right\}$$

kümelerini tanımlayalım. $C$, $R_1^s$'nin $\bigcup_{n>0} J_n$ kümesi ile üretilen $R_1$-alt modülü olsun. $R_1$ bir Noether halkası olduğundan, $C$ bir sonlu üretilmiş $R_1$-modüldür ve dolayısıyla $C = \sum_{j=1}^t R_1 u_j$ olacak şekilde $u_j \in C$ elemanları vardır. Her $j=1, \dots, t$ için $u_j$, $\bigcup J_n$ kümesinin elemanlarının birer lineer kombinasyonu olarak yazılabileceğinden, $C$, $\bigcup J_n$ kümesinin sonlu tane elemanı ile üretilebilir. $C = R_1 u_1 + \dots + R_1 u_t$ öyle ki $u_j = (u_{j1}, \dots, u_{js}) \in J_{d_j}$ ($j=1, \dots, t$) olsun. $k = \max\{d_1, \dots, d_t\}$ alalım. $\alpha \in I^n M \cap N$ ise $\alpha = \sum f_i(a) m_i$ o.ş. $(f_1, f_2, \dots, f_s) \in J_n$ vardır. Buna göre $(f_1, \dots, f_s) = \sum p_j(X) u_j$ o.ş. $p_j(X) \in R_1$ vardır. Eşitliğin sol tarafı $n$-yinci dereceden homojen polinomların oluşturduğu bir $s$-tüplü olduğundan sağ tarafındaki $n$'den farklı dereceli terimler birbirini sadeleştirecektir ve bu nedenle her $j$ için $p_j(X)$, $(n-d_j)$-yinci dereceden homojen bir polinom olarak kabul edilebilir. O zaman,$$\alpha = \sum_i f_i(a) m_i = \sum_j p_j(a) \sum_i u_{ji}(a) m_i$$ve$$\sum u_{ji}(a) m_i \in I^{d_j} M \cap N$$ve buradan $n>k$ ise$$p_j(a) \in I^{n-d_j} = I^{n-k} \cdot I^{k-d_j}$$olacağından

$$\alpha \in I^{n-k}(I^k M \cap N)$$

elde edilir. Dolayısıyla her $n>k$ için

$$I^n M \cap N = I^{n-k}(I^k M \cap N)$$

eşitliği sağlanır.

Teorem 6.15

Yukarıdaki teorimin (Artin-Rees Lemması) gösterimleri ile, $N$ üzerindeki $I$-adik topoloji ile $M$ üzerindeki $I$-adik topolojiden indirgenen alt uzay topolojisi çakışıktır.

Kanıt

Artin-Rees Lemmasından her $n>k$ için

$$I^n N \subseteq I^n M \cap N \subseteq I^{n-k}(I^k M \cap N) \subseteq I^{n-k} N$$

olacak şekilde bir $k$ doğal sayısı vardır. Dolayısıyla $N$ üzerindeki alt uzay topolojisi olan $\{I^n M \cap N\}_{n=1}^\infty$ ile tanımlanan lineer topoloji ile $N$ üzerindeki $\{I^n N\}_{n=1}^\infty$ ile tanımlanan lineer topoloji aynıdır.