Ek B - Tensör Çarpımları
Tensör Çarpımları
fonksiyonu için eğer
$$\Phi(x+x',y)=\Phi(x,y)+\Phi(x',y), \qquad \Phi(ax,y)=a\Phi(x,y)$$ $$\Phi(x,y+y')=\Phi(x,y)+\Phi(x,y'), \qquad \Phi(x,ay)=a\Phi(x,y)$$eşitlikleri sağlanıyorsa $\Phi$'ye bir bilineer dönüşüm denir.
ile gösterilir. $R$ halkası değişmeli olduğundan $\mathcal{L}(M,N;L)$ kümesi bir $R$-modül yapısına sahiptir.
tipindeki elemanlar ile üretilen alt modülü olmak üzere $\ct=\cf/\cb$ olsun. Her $(x,y)\in \cf$ için $\ct$'nin $(x,y)+\cb$ elemanını $x\otimes y$ biçiminde gösterelim. $\ct$'nin bu tipteki bir elemanına bir basit tensör, $\ct$ modülüne ise $M$ ile $N$'nin tensör çarpımı denir ve $M\otimes_R N$ (veya $R$'den başka bir halka söz konusu değilse daha basitçe $M\otimes N$) ile gösterilir.
şeklinde tanımlı dönüşüm bilineerdir. Bu dönüşüme, $M\times N$'den $M\otimes N$'ye tanımlı doğal (bilineer) dönüşüm diyeceğiz.
Teorem ve Evrensel Özellik
Aşağıdaki teoremde, bir tensör çarpımını evrensel özellik sağlayan bir bilineer dönüşümün varlığı ile tanımlayabileceğimizi görüyoruz.
Teorem B.1
diyagramını değişmeli yapan tek bir $\varphi_0 : L_0 \to L$ $R$-homomorfizması vardır.
Kanıt
bileşkesi bilineerdir; yani $\lambda_0 \in \mathcal{L}(M,N;L_0)$.
dönüşümünü tanımlayalım. $f$'nin bir $R$-homomorfizması olduğunu görmek zor değildir. Dikkat edilirse $\Phi$ bilineer olduğundan, $B$'nin tüm üreteçleri (ve böylece $B$) $f$'nin çekirdeği içindedir. Örneğin, $x,x'\in M$ ve $y\in N$ için
$$f\big((x+x',y)-(x,y)-(x',y)\big)=\Phi(x+x',y)-\Phi(x,y)-\Phi(x',y)=0$$olur.
Buna göre
$$\varphi : M\otimes_R N \to L, \qquad \varphi\!\left(\sum_i a_i(x_i\otimes y_i)\right)=\sum_i a_i\,\Phi(x_i,y_i)$$tanımlı $R$-homomorfizması vardır. Özel olarak
$$\varphi\lambda=\Phi$$eşitliği sağlanır.
$$\varphi_0 : L_0 \xrightarrow{u} M\otimes_R N \xrightarrow{\varphi} L$$bileşkesini alırsak
elde edilir. $\varphi_0$'ın tek türlü belirli olduğunu görmek için bir $\varphi_0' : L_0 \to L$ $R$-homomorfizmasının
$$\varphi_0'\lambda_0=\Phi$$eşitliğini sağladığını kabul edelim. $l_0\in L_0$ olsun, $u(l_0)=\sum_i a_i(x_i\otimes y_i)$ olsun. O zaman
$$\begin{aligned} \varphi_0'(l_0) &=\varphi_0'\,u^{-1}\!\left(\sum_i a_i(x_i\otimes y_i)\right) \\ &=\sum_i a_i\,\varphi_0'\,u^{-1}(x_i\otimes y_i) \\ &=\sum_i a_i\,\varphi_0'\lambda_0(x_i,y_i) \\ &=\sum_i a_i\,\Phi(x_i,y_i) \\ &=\sum_i a_i\,\varphi\lambda(x_i,y_i)=\varphi_0(l_0). \end{aligned}$$Dolayısıyla $\varphi_0'=\varphi_0$.
Tersine, $L_0$ ve $\lambda_0\in\mathcal{L}(M,N;L_0)$ teoremdeki koşulları sağlasın. $L_0\cong M\otimes_R N$ olduğunu göstereceğiz.
Kabulden
diyagramını değişmeli yapan tek türlü belirli bir
$$\varphi_0\in\operatorname{Hom}_R(L_0,M\otimes_R N)$$vardır.
Ayrıca yukarıda, kanıtın ilk bölümünde yapılanlardan, $\psi\lambda=\lambda_0$ olacak şekilde bir $\psi\in\operatorname{Hom}_R(M\otimes_R N,L_0)$ vardır. Buna göre her $x\otimes y\in M\otimes_R N$ basit tensörü için
$$\varphi_0\psi(x\otimes y)=\varphi_0\psi\lambda(x,y)=\varphi_0\lambda_0(x,y)=\lambda(x,y)=x\otimes y$$olur. $M\otimes_R N$, basit tensörler ile üretildiğinden
$$\varphi_0\psi=1_{M\otimes_R N}$$bulunur. Özel olarak, $\varphi_0$ örtendir.
Diğer taraftan $\psi\varphi_0\lambda_0=\psi\lambda=\lambda_0$ olacağından
diyagramı değişmelidir.
Fakat aynı zamanda
diyagramı da değişmeli olduğundan, kabulümüzden gelen tek türlü olma özelliği ile $\psi\varphi_0=1_{L_0}$ olması gerektiği elde edilir. Böylece $\varphi_0:L_0\to M\otimes_R N$ bir izomorfizmadır; dolayısıyla
$$L_0\cong M\otimes_R N.$$Tensör Çarpımının Temel Özellikleri
Evrensel özellik sayesinde tensör çarpımların bir çok özelliği kolayca gösterilebilir.
Önerme B.2
Kanıt
Önermenin ikinci kısmı için $\alpha$ ve $\beta$ birer epimorfizma olsun. Buna göre $C\otimes D$'nin her $c\otimes d$ basit tensörü için $c\otimes d=\alpha(a)\otimes\beta(b)\in\im{(\alpha\otimes\beta)}$ olacak şekilde $a\in A$ ve $b\in B$ vardır. Dolayısıyla $C\otimes D=\im{(\alpha\otimes\beta)}$ olur. Şimdi $A\otimes B$'nin $$\{a\otimes b:\alpha(a)=0\text{ veya }\beta(b)=0\}$$ alt kümesi ile üretilen alt modülünü $\ct$ ile gösterelim. $\ker(\alpha\otimes \beta)=\ct$ olduğunu göstereceğiz. $\ct\subseteq\ker(\alpha\otimes \beta)$ olduğu açıktır. Buna göre $\rho:(A\otimes B)/\ct\longrightarrow C\otimes D$, $(a\otimes b) + \ct\longmapsto \alpha(a)\otimes \beta(b)$ dönüşümü iyi tanımlıdır ve bir $R$-homomorifzmasıdır. Diğer taraftan $C\times D\rightarrow (A\otimes B)/\ct$, $(\alpha(a),\beta(b))\mapsto (a\otimes b)+\ct$ dönüşümünün iyi tanmlı ve bilineer olduğunu görmmek zor değildir. Buna göre $\ell:C\otimes D\longrightarrow (A\otimes B)/\ct$, $\alpha(a)\otimes \beta(b)\longmapsto (a\otimes b)+\ct$ dönüşümü iyi tanımlıdır ve bir $R$-homomorfizmasıdır. Kolayca görülebilir ki $\ell\rho=1$ dir. Buna göre $\rho$ birebir olacağından $\ker(\alpha\otimes\beta)/\ct\subseteq \ker\rho =0$ ve böylece $\ct=\ker(\alpha\otimes\beta)$ olur.
olur.
Teorem B.3
dizisi de tamdır.
Kanıt
alt kümesi tarafından üretilen alt modülü olduğundan $\im{(\alpha\otimes 1_M)}\subseteq\ker{(\beta\otimes 1_M)}$ elde edilir. Ayrıca $(\beta\otimes 1_M)\circ(\alpha\otimes 1_M)=(\beta\circ\alpha)\otimes 1_M = 0 \otimes 1_M = 0$ olacağından $\im{(\alpha\otimes 1_M)}\subseteq\ker{(\beta\otimes 1_M)}$ elde edilir. Böylece $\im{(\alpha\otimes 1_M)}=\ker{(\beta\otimes 1_M)}$ olur.
Teorem B.4
- $\operatorname{Hom}_R(M\otimes_R N,\,L)\cong\mathcal{L}(M,N;\,L)$
- $M\otimes_R N\cong N\otimes_R M$
- $(M\otimes_R M')\otimes_R M''\cong M\otimes_R(M'\otimes_R M'')$
Kanıt
(i)
$$\Gamma : \mathcal{L}(M,N;L) \longrightarrow \text{Hom}_R(M \otimes_R N, L)$$ $$\phi \longmapsto \varphi$$öyle ki $\varphi\Lambda = \phi$ eşlemesini düşünelim. Burada $\Lambda : M \times N \longrightarrow M \otimes_R N$ doğal dönüşüm olmak üzere her $\phi : M \times N \longrightarrow L$ bilineer dönüşümü için
diyagramını değişmeli yapan tek türlü belirli $\varphi$ dönüşümünü karşılık getiriyoruz. $\Gamma$ eşlemesi iyi tanımlı ve $R$-modül homomorfizmasıdır. Öte yandan $\Gamma$ örten ve $\varphi=0$ ise $\phi=\varphi\Lambda=0$ olacağından $\Gamma$ birebirdir. Böylece $\Gamma$ izomorfizmadır.
(ii) $\Phi_1 : M \times N \longrightarrow N \otimes M$, $\Phi_1(x,y) = y \otimes x$ ve
$\Phi_2 : N \times M \longrightarrow M \otimes N$, $\Phi_2(y,x) = x \otimes y$ birer bilineer dönüşüm olduğundan $$\varphi_1 : M \otimes N \longrightarrow N \otimes M, \quad \varphi_1(x \otimes y) = y \otimes x$$ve
$$\varphi_2 : N \otimes M \longrightarrow M \otimes N, \quad \varphi_2(y \otimes x) = x \otimes y$$homomorfizmaları vardır. Dikkat edilirse $\varphi_1$ ve $\varphi_2$ birbirinin tersidir; böylece $M \otimes N \cong N \otimes M$ dir.
(iii) İspatı evrensel özelliği adım adım kullanarak, elemanların temsilcilerinden bağımsız (iyi tanımlı) homomorfizmalar inşa ederek yapacağız.
İlk olarak $L$'den keyfi ama sabit bir $l \in L$ elemanı alalım. Bu sabit $l$ için şu dönüşümü tanımlayalım:
$$f_l: M \times N \to M \otimes_R (N \otimes_R L)$$ $$f_l(m, n) = m \otimes (n \otimes l)$$ $f_l$ dönüşümünün $R$-bilineer olduğu, tensör çarpımının temel özellikleri kullanılarak kolayca gösterilebilir. $f_l$ bilineer olduğundan, $M \otimes_R N$ modülünün evrensel özelliğinden dolayı, her $m \otimes n$ üretecini $m \otimes (n \otimes l)$ elemanına götüren **tek (unique)** bir $R$-modül homomorfizması vardır: $$\tilde{f}_l: M \otimes_R N \to M \otimes_R (N \otimes_R L)$$ $$\tilde{f}_l(m \otimes n) = m \otimes (n \otimes l)$$Şimdi, bu inşa ettiğimiz homomorfizmaları kullanarak yeni bir dönüşüm tanımlayalım:
$$g: (M \otimes_R N) \times L \to M \otimes_R (N \otimes_R L)$$ $$g(x, l) = \tilde{f}_l(x)$$Bu $g$ dönüşümü bilineerdir, çünkü $l$ sabitken $x$'e göre lineerlik, $\tilde{f}_l$'nin bir modül homomorfizması olmasından doğrudan gelir ve $x$ sabitken $l$'ye göre lineerlik için, dönüşümlerin üreteçler üzerindeki etkisine bakılırsa, $x = m \otimes n$ için:
$$g(m \otimes n, l_1 + l_2) = m \otimes (n \otimes (l_1 + l_2)) = m \otimes (n \otimes l_1 + n \otimes l_2) = m \otimes (n \otimes l_1) + m \otimes (n \otimes l_2) = g(m \otimes n, l_1) + g(m \otimes n, l_2)$$eşitlikleri sağlanır. Skaler çarpımı için de benzer şekilde $g(m \otimes n, r \cdot l) = r \cdot g(m \otimes n, l)$ sağlanır.
$g$ dönüşümü bilineer olduğuna göre, bu kez $(M \otimes_R N) \otimes_R L$ tensör çarpımının evrensel özelliğini kullanarak tek türlü belirli bir $$\Phi: (M \otimes_R N) \otimes_R L \to M \otimes_R (N \otimes_R L)$$ $$\Phi((m \otimes n) \otimes l) = m \otimes (n \otimes l)$$homomorfizması elde edilir.
Benzer bir düşünceyle, sabit bir $m \in M$ seçip $h_m: N \times L \to (M \otimes_R N) \otimes_R L$ bilineer dönüşümünü $h_m(n, l) = (m \otimes n) \otimes l$ şeklinde tanımlayıp Evrensel özellikler silsilesini aynı şekilde işleterek şu homomorfizmayı elde edebiliriz:
$$\Psi: M \otimes_R (N \otimes_R L) \to (M \otimes_R N) \otimes_R L$$ $$\Psi(m \otimes (n \otimes l)) = (m \otimes n) \otimes l$$Şİmdi yukarıda inşa ettiğimiz $\Phi$ ve $\Psi$ homomorfizmalarının bileşkelerine basit tensörler üzerinde bakalım:
$$(\Psi \circ \Phi)((m \otimes n) \otimes l) = \Psi(m \otimes (n \otimes l)) = (m \otimes n) \otimes l$$ $$(\Phi \circ \Psi)(m \otimes (n \otimes l)) = \Phi((m \otimes n) \otimes l) = m \otimes (n \otimes l)$$Basittensörler tensör çarpımlarını ürettiği için, bu bileşkeler tüm modül üzerinde birim dönüşüme eşit olur; yani $\Phi$ ve $\Psi$ birbirinin tersidir.
Sonuç olarak $(M \otimes_R N) \otimes_R L \cong M \otimes_R (N \otimes_R L)$ izomorfiması elde edilir.
Önerme B.5
izomorfizması vardır.
Kanıt
Her $\mu \in \Lambda$ için
$$i_\mu : M_\mu \to \bigoplus_{\lambda \in \Lambda} M_\lambda$$ve
$$p_\mu : \bigoplus_{\lambda \in \Lambda} M_\lambda \to M_\mu$$sırasıyla gömme ve izdüşüm homomorfizmaları olsun. Buna göre her $\mu \in \Lambda$ için
$$i_\mu \otimes 1_N : M_\mu \otimes_R N \to \left(\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} M_\lambda\right) \otimes_R N$$ve
$$p_\mu \otimes 1_N : \left(\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} M_\lambda\right) \otimes_R N \to M_\mu \otimes_R N$$homomorfizmaları tanımlıdır.
Dolayısıyla
$$\bigoplus_{\lambda \in \Lambda}(i_\lambda \otimes 1_N) : \bigoplus_{\lambda \in \Lambda}(M_\lambda \otimes_R N) \to \left(\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} M_\lambda\right) \otimes_R N$$ve
$$\prod_{\lambda \in \Lambda}(p_\lambda \otimes 1_N) : \left(\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} M_\lambda\right) \otimes_R N \to \prod_{\lambda \in \Lambda}(M_\lambda \otimes_R N)$$homomorfizmaları vardır. Dikkat edilirse
$$\left(\prod_{\lambda \in \Lambda}(p_\lambda \otimes 1_N)\right)((m_\lambda) \otimes n) = (m_\lambda \otimes n) \in \bigoplus_{\lambda \in \Lambda}(M_\lambda \otimes_R N)$$olacağından, $\prod_{\lambda \in \Lambda}(p_\lambda \otimes 1_N)$ homomorfizmasının görüntüsü $\bigoplus_{\lambda \in \Lambda}(M_\lambda \otimes_R N)$ dik toplamı içindedir.
Ayrıca, kolayca görülebilir ki
$$\left(\prod_{\lambda \in \Lambda}(p_\lambda \otimes 1_N)\right) \circ \left(\bigoplus_{\lambda \in \Lambda}(i_\lambda \otimes 1_N)\right)$$ve
$$\left(\bigoplus_{\lambda \in \Lambda}(i_\lambda \otimes 1_N)\right) \circ \left(\prod_{\lambda \in \Lambda}(p_\lambda \otimes 1_N)\right)$$bileşkeleri birim dönüşümdür. Böylece istenen izomorfizma elde edilir.
Teorem B.6
kısa tam dizileri için
$$T = (i \otimes 1_N)(K \otimes_R N) + (1_M \otimes j)(M \otimes_R L)$$olmak üzere $R$-modüllerin bir
$$M' \otimes_R N' \cong (M \otimes_R N)/T$$izomorfizması vardır.
Kanıt
alt kümesi ile üretilen alt modülüdür. Buradan $T \subseteq \ker(f \otimes g)$ olduğu açıktır.
Bu durumda değişmeli olacak şekilde
$$\alpha : (M \otimes_R N)/T \longrightarrow M' \otimes_R N'$$homomorfizması vardır.
Ayrıca,
$$M' \times N' \longrightarrow (M \otimes_R N)/T, \qquad (x',y') \longmapsto (x \otimes y)+T$$şeklinde, $f(x)=x'$ ve $g(y)=y'$ olacak biçimde tanımlanan dönüşümün iyi tanımlı olduğu görülür.
Böylece bilineerlikten
$$\beta : M' \otimes N' \longrightarrow (M \otimes N)/T, \qquad x'\otimes y' \longmapsto (x\otimes y)+T$$homomorfizması tanımlıdır.
Kolayca görülebilir ki $\beta$, $\alpha$'nın tersidir. Böylece
$$T = \ker(f \otimes g)$$elde edilir. Ayrıca
$$M' \times N' \longrightarrow (M \otimes_R N)/T, \qquad (x',y') \longmapsto (x \otimes y)+T$$şeklinde, $f(x)=x'$ ve $g(y)=y'$ olacak biçimde tanımlanan dönüşümün iyi tanımlı olduğu görülür.
Böylece bilineerlikten
$$\beta : M' \otimes N' \longrightarrow (M \otimes N)/T, \qquad x'\otimes y' \longmapsto (x\otimes y)+T$$homomorfizması tanımlıdır. Kolayca görülebilir ki $\beta$, $\alpha'$nın tersidir. Sonuç olarak
$$T = \ker(f \otimes g)$$elde edilir.
Teorem B.7
Eğer
$$M_1 \xrightarrow{f} M_2 \xrightarrow{g} M_3 \to 0$$ $R$-homomorfizmalarının bir tam dizisi ise her $R$-modülü $N$ için $$M_1 \otimes_R N \xrightarrow{f \otimes 1} M_2 \otimes_R N \xrightarrow{g \otimes 1} M_3 \otimes_R N \to 0$$dizisi de tamdır.
Kanıt
alt kümesi ile üretilen alt modülüne eşittir. Bu nedenle
$$\ker(g \otimes 1) = \ker g \otimes N = \operatorname{Im} f \otimes N = \operatorname{Im}(f \otimes 1)$$bulunur. Böylece kanıt tamamlanır.
Not B.1
Yukarıdaki teorem, tensör çarpımının sağ-tam olduğu biçiminde ifade edilir.
Örnek B.10
Not B.2
Tensör çarpımı sol-tam olmamasına rağmen parçalanan diziler üzerinde hem sol hem de sağ-tam (yani kısaca tam) olur.
Kabul edelim ki
$$0\longrightarrow M'\xrightarrow{\ \ \ f\ \ \ } M\longrightarrow M''\longrightarrow 0$$kısa tam dizisi bir parçalanan dizi olsun. Buna göre $gf=1_{M'}$ olacak şekilde bir $g:M\rightarrow M'$ homomorfizması vardır. O zaman her $R$-modül $N$ için
$$(g\otimes 1_N)\circ(f\otimes 1_N)=gf\otimes 1_N=1_{M'}\otimes 1_N$$olacağından
$$0\longrightarrow M'\otimes_R N\xrightarrow{\ f\otimes 1_N \ } M\otimes_R N\longrightarrow M''\otimes_R N\longrightarrow 0$$dizisi bir kısa tam dizidir ve bu kısa tam dizi bir parçalanan kısa tam dizidir.
Teorem B.8
izomorfizması vardır.
Özel olarak her $R$-modül $M$ için $R\otimes_R M\cong M$'dir.
Kanıt
Özel olarak $I=0$ alınırsa $R\otimes_R N\cong N$ izomorfizması elde edilir.
Not B.3
eşitliği sağlanıyorsa o zaman $M\otimes_R N$ tensör çarpımı da hem $R$ hem de $T$-modül yapısına sahiptir ve her $m\in M$, $n\in N$, $r\in R$ ve $t\in T$ için
$$r(tm\otimes n)=t(rm\otimes n)=t(m\otimes rn)=tm\otimes rn = r(tm)\otimes n$$eşitlikleri sağlanır.
Teorem B.9
izomorfizması vardır öyle ki $f:M\rightarrow N$ bir $R$-homomorfizması ise
diyagramı değişmelidir.
Kanıt
şeklinde $\psi$ dönüşümünü tanımlayalım.
$S^{-1}R$'de $m/s=m'/s'$ olsun. O zaman $s''s'm=s''sm'$ olacak şekilde bir $s''\in S$ vardır. O zaman $$m\otimes \frac{1}{s} = m\otimes\frac{s''s'}{s''s's} = s''s'm\otimes \frac{1}{s''s's} = s''sm'\otimes\frac{1}{s''s's} = m'\otimes\frac{s''s}{s''s's} = m'\otimes \frac{1}{s'}$$olacağından $\psi$ iyi tanımlıdır. Ayrıca $\psi$'nin bir $S^{-1}R$-modül homomorfizması olduğunu görmek zor değildir. Diğer taraftan,
şeklindeki dönüşüm iyi tanımlıdır ve ek olarak bilineerdir. Dolayısıyla, $\varphi:M\otimes_R S^{-1}R\rightarrow S^{-1}M$ bir $R$-homomorfizması doğurur. Bu homomorfizmanın aynı zamanda bir $S^{-1}R$-modül homomorfizması olduğunu görmek kolaydır. Ayrıca $\psi$ ve $\varphi$ birbirinin tersidir. Böylece istenen izomorfizma elde edilir. Teoremin kalan kısmı da kolayca elde edilir.