Ek A: Diyagram Takibi ve Homolojik Cebirin Temel Lemmaları
Bu ek bölümde, modül teorisinde ve değişmeli kategorilerde tam diziler (exact sequences) üzerindeki morfizmaların davranışını incelemek için kullanılan temel diyagram takibi (diagram chasing) teknikleri sistematik bir sırayla özetlenmiştir. Bu sonuçlar, türetilmiş fonktörlerin ve homoloji teorisinin inşasında temel yapı taşlarıdır. Her bir lemma, belirli bir değişmeli diyagram yapısı için tamlık ve teklik koşullarını sağlamak için gerekli olan homomorfizmaları tanımlar ve karakterize eder.
A-1. Kısa Tam Dizilerde İndirgenmiş Dönüşümler ve Teklik
Kısa tam diziler arasındaki morfizmalarda, bazen sadece belirli okların varlığı diğer okların varlığını ve tekliğini zorlar.
Teorem A.1: Sol Uçtaki Dönüşümün Varlığı ve Tekliği
Aşağıdaki değişmeli diyagramda üst ve alt satırlar birer tam dizi olsun:
Eğer sağ kare değişmeli (yani $g' \circ \beta = \gamma \circ g$) ise, sol kareyi değişmeli yapacak şekilde tek bir $\alpha: A \to A'$ homomorfizması vardır.
Kanıt
Varlık: $a \in A$ alalım. Sağ kare değişmeli olduğundan
$g'(\beta(f(a))) = \gamma(g(f(a)))$.Üst satırda $\operatorname{Im}(f)=\ker(g)$ olduğu için $g(f(a))=0$ ve dolayısıyla
$g'(\beta(f(a)))=0$.Demek ki $\beta(f(a)) \in \ker(g')$. Alt satırın tamlığından $\ker(g')=\operatorname{Im}(f')$ olduğundan,
$\beta(f(a))=f'(a')$ olacak bir $a' \in A'$ vardır.Bunu $\alpha(a)=a'$ diye tanımlarız.
Teklik: Aynı işi yapan iki dönüşüm $\alpha_1,\alpha_2$ olsun.
$f'\circ \alpha_1=\beta\circ f$ ve $f'\circ \alpha_2=\beta\circ f$ olduğundan $f'\circ(\alpha_1-\alpha_2)=0$. $0\to A'\xrightarrow{f'}B'$ tam olduğundan $f'$ birebirdir, dolayısıyla $\alpha_1=\alpha_2$.Sol uçtaki durumun tamamen duali (tersine çevrilmiş hali) olarak, bölüm modülleri (eş-çekirdekler) arasındaki indirgenmiş dönüşümlerin davranışını da inceleyebiliriz.
Teorem A.2: Sağ Uçtaki Dönüşümün Varlığı ve Tekliği
Üst ve alt satırların birer tam dizi olduğu aşağıdaki değişmeli diyagramı göz önüne alalım:
Eğer sol kare değişmeli (yani $g \circ \beta = \gamma \circ g$) ise, sağ kareyi de değişmeli yapacak şekilde tek bir $\gamma: C \to C'$ homomorfizması vardır.
Kanıt
Varlık: $c \in C$ alalım. Üst satırdaki $g$ dönüşümü örten olduğundan ($B \xrightarrow{g} C \to 0$ tam dizisi), $g(b) = c$ olacak şekilde en az bir $b \in B$ vardır. $\gamma$ dönüşümünü $\gamma(c) = g'(\beta(b))$ olarak tanımlamak istiyoruz. Ancak bu tanımın $b$'nin seçimine bağlı olup olmadığını (iyi tanımlı olup olmadığını) kontrol etmeliyiz. Varsayalım ki $g(b_1) = c$ ve $g(b_2) = c$ olan iki farklı $b_1, b_2 \in B$ elemanımız olsun. Bu durumda $g(b_1 - b_2) = 0$'dır, yani $(b_1 - b_2) \in \ker(g)$. Üst satırın tamlığından $\ker(g) = \text{Im}(f)$ olduğundan, $f(a) = b_1 - b_2$ olacak şekilde bir $a \in A$ vardır. Şimdi sol karenin değişmeliliğini ($\beta \circ f = f' \circ \alpha$) kullanalım:
$$\beta(b_1 - b_2) = \beta(f(a)) = f'(\alpha(a))$$Her iki tarafa $g'$ uygulayalım:
$$g'(\beta(b_1 - b_2)) = g'(f'(\alpha(a)))$$Alt satır tam dizi olduğundan ardışık homomorfizmaların bileşkesi sıfırdır ($g' \circ f' = 0$). Bu yüzden sağ taraf sıfır olur:
$$g'(\beta(b_1)) - g'(\beta(b_2)) = 0 \implies g'(\beta(b_1)) = g'(\beta(b_2))$$Görüldüğü gibi, seçtiğimiz $b$'den bağımsız olarak aynı sonucu elde ediyoruz. Dolayısıyla $\gamma(c) = g'(\beta(b))$ tanımı iyi tanımlıdır ve homomorfizma şartlarını sağlar. Sağ karenin değişmeli olduğu da bu tanımdan açıkça görülür.
- Teklik (Uniqueness): Bu şartları sağlayan iki dönüşüm $\gamma_1$ ve $\gamma_2$ olsun. Yani hem $\gamma_1 \circ g = g' \circ \beta$ hem de $\gamma_2 \circ g = g' \circ \beta$ geçerli olsun.
Taraf tarafa çıkarırsak:$$(\gamma_1 - \gamma_2) \circ g = 0$$
Üst satırdaki tam dizi sebebiyle $g$ bir epimorfizmadır (örtendir). Örten bir fonksiyon ile sağdan bileşke yapıldığında sonuç sıfır çıkıyorsa (sağdan sadeleştirme özelliği), fonksiyonun kendisi sıfır olmalıdır. Bu nedenle $\gamma_1 - \gamma_2 = 0 \implies \gamma_1 = \gamma_2$ bulunur. Dönüşüm kesinlikle tektir.
A-2. Yılan Lemması (Snake Lemma)
Teorem A.3: Yılan Lemması
Aşağıdaki değişmeli diyagramda satırlar kısa tam dizi olsun:
O hâlde şu uzun dizi tamdır:
\begin{equation} 0 \xrightarrow{} \ker(\alpha) \xrightarrow{} \ker(\beta) \xrightarrow{} \ker(\gamma) \xrightarrow{\partial} \operatorname{coker}(\alpha) \xrightarrow{} \operatorname{coker}(\beta) \xrightarrow{} \operatorname{coker}(\gamma) \xrightarrow{} 0 \label{long-exact-sq} \end{equation}Kanıt
İspatın kalbi, bağlayıcı homomorfizma $\partial: \ker(\gamma) \to \operatorname{coker}(\alpha)$ tanımıdır.
- $c \in \ker(\gamma)$ alınır.
- $g$ örten olduğu için $g(b)=c$ olacak $b \in B$ vardır.
- Değişmelilikten $g'(\beta(b))=\gamma(g(b))=0$.
- O halde $\beta(b)\in\ker(g')=\operatorname{Im}(f')$.
- Dolayısıyla $f'(a')=\beta(b)$ olacak bir $a'\in A'$ vardır.
- $b$ seçimi tek olmadığından $a'$ seçimi de $\operatorname{Im}(\alpha)$ kadar belirsizdir.
- Bu nedenle sınıf alırız: $\partial(c)=a'+\operatorname{Im}(\alpha)$.
Diğer düğümlerde tamlık standart diyagram takibiyle gösterilir.
A-3. Uç Dönüşümlerin Karakterizasyonu (Dörtlü Lemma Uygulaması)
Teorem A.4
Yılan Lemması \(\eqref{long-exact-sq}\) uzun dizisinden şu sonuçlar çıkar:
- Eğer $\beta$ birebir ise $\alpha$ birebirdir.
- Eğer $\beta$ örten ise $\gamma$ örtendir.
- Eğer $\beta$ birebir ve $\alpha$ örten ise $\gamma$ birebirdir.
- Eğer $\beta$ örten ve $\gamma$ birebir ise $\alpha$ örtendir.
Kanıt
Her madde uzun tam dizide uygun çekirdek/eşçekirdek terimlerinin sıfır olmasından doğrudan elde edilir.
A-4. Beşli Lemma ve Kısa Beşli Lemma
Teorem A.5: Beşli Lemma
Satırları tam dizi olan aşağıdaki değişmeli diyagramı ele alalım:
Aşağıdaki sonuçlar geçerlidir:
- $\beta,\delta$ birebir ve $\alpha$ örten ise $\gamma$ birebirdir.
- $\beta,\delta$ örten ve $\epsilon$ birebir ise $\gamma$ örtendir.
- $\alpha,\beta,\delta,\epsilon$ izomorfizma ise $\gamma$ de izomorfizmadır.
Kanıt
1 icin kısa diyagram takibi:
$\gamma(c)=0$ alınır. Değişmelilikten $\delta(f_3(c))=0$; $\delta$ birebir olduğu için $f_3(c)=0$.Tamlıktan $c=f_2(b)$ yazılır. Tekrar değişmelilikle $g_2(\beta(b))=0$ ve alt satır tamlığından
$\beta(b)=g_1(a')$ olur. $\alpha$ örten olduğundan $a'=\alpha(a)$ seçilir.Sol kareden $\beta(f_1(a))=\beta(b)$;
$\beta$ birebir olduğu için $f_1(a)=b$.Sonuçta $c=f_2(f_1(a))=0$. Demek ki $\ker(\gamma)=0$, yani $\gamma$ birebirdir.
2 dual argümanla elde edilir; 3 ise 1 ve 2 nin doğrudan sonucudur.
Sonuç A.6: Kısa Beşli Lemma
Eğer $A=A'=0$ ve $E=E'=0$ ise:
- $\beta$ ve $\delta$ monomorfizma ise $\gamma$ monomorfizmadır.
- $\beta$ ve $\delta$ epimorfizma ise $\gamma$ epimorfizmadır.
- $\beta$ ve $\delta$ izomorfizma ise $\gamma$ izomorfizmadır.
A-5. Dokuzlu Lemma ($3 \times 3$ Lemma)
Teorem A.7: Dokuzlu Lemma
Aşağıdaki $3\times 3$ değişmeli diyagramda tüm sütunlar kısa tam dizi olsun:
$$\begin{array}{ccccccccc} & & 0 & & 0 & & 0 & & \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \xrightarrow{} & A_1 & \xrightarrow{} & B_1 & \xrightarrow{} & C_1 & \xrightarrow{} & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \xrightarrow{} & A_2 & \xrightarrow{} & B_2 & \xrightarrow{} & C_2 & \xrightarrow{} & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \xrightarrow{} & A_3 & \xrightarrow{} & B_3 & \xrightarrow{} & C_3 & \xrightarrow{} & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ & & 0 & & 0 & & 0 & & \end{array}$$Şu durumlar geçerlidir:
- Alt ve orta satır tam ise üst satır da tamdır.
- Üst ve orta satır tam ise alt satır da tamdır.
- Üst ve alt satır tam, ayrıca satırlarda ard arda okların bileşkesi sıfır ise orta satır da tamdır.
Kanıt
İspat fikri Yılan Lemması'nın farklı alt diyagramlara ardarda uygulanmasıdır. Sütun tamlığı, çekirdek/eşçekirdek bağlantılarını sağlayarak satır tamlığını zorlar.
Not A.1
Bu ekteki lemmalar, homoloji fonktörleriyle çalışırken kullanılan standart diyagram takibi repertuvarının çekirdeğini oluşturur.