Bir Lineer Operatörün Yapısı

Bu bölümde, sonlu boyutlu vektör uzayları üzerindeki lineer operatörlerin yapısı derinlemesine incelenecektir. Bir önceki bölümde geliştirilen Temel İdeal Bölgeleri (TİB) üzerindeki Modüller teorisi, burada $\mathbb{F}[x]$ halkası üzerinden bir modül olarak ele alınan vektör uzaylarına uygulanacaktır. Bu yaklaşım, lineer cebirin en derin sonuçlarından olan Rasyonel Kanonik Form ve Jordan Kanonik Formu'nun varlığını ve tekliğini garanti eden değişmez çarpanlar ve elemanter bölenler kavramlarını doğal bir şekilde ortaya çıkarır.

$V$, bir $\mathbb{F}$ cismi üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve $\tau \in \mathcal{L}(V)$ bir lineer operatör olsun. $V$ üzerindeki standart yapı, skalerlerin $\mathbb{F}$ cisminden gelmesiyle oluşur. Ancak $\tau$ operatörünü kullanarak skalerler halkasını $\mathbb{F}[x]$ polinom halkasına genişletebiliriz.

Bunun için öncelikle $\tau$ operatörünün kuvvetlerinin lineer kombinasyonlarının yine lineer operatörler oluşturduğunu hatırlayalım: Her $\mathbf{v}\in V$ için

$$(a_n \tau^n + a_{n-1} \tau^{n-1} + \dots + a_1 \tau + a_0 I_V)(\mathbf{v})=a_n\cdot \tau^n(\mathbf{v}) + a_{n-1}\cdot \tau^{n-1}(\mathbf{v}) + \dots + a_1\cdot \tau(\mathbf{v}) + a_0\mathbf{v}.$$

Eğer $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ denirse bu operatörü $p(\tau)$ şeklinde gösterebiliriz.

Herhangi bir $p(x) \in \mathbb{F}[x]$ polinomu ve $\mathbf{v} \in V$ vektörü için $p(x)$'in $v$ üzerine etkisi şu şekilde tanımlayalım:

$$p(x) \cdot \mathbf{v} := p(\tau)(\mathbf{v})$$

Burada $p(\tau)$, polinomda $x$ yerine $\tau$ operatörünün yazılmasıyla elde edilen operatördür. Kolayca görülebilir ki bu verilen etki $V$'yi bir $\mathbb{F}[x]$-modülü yapar.

$\mathbb{F}[x]$ bir TİB olduğundan, TİB üzerindeki sonlu üretilmiş modüller için geçerli olan tüm teoremler $V_\tau$ için de geçerlidir. Lineer operatörlerin yapısını ortaya çıkarmak için bu ana fikri kullanacağız.

Bir uzayın operatör altında değişmeyen alt uzayı, o uzayın invaryant alt uzayıdır.

Bir modül elemanının (veya tüm modülün) sıfırlayanı, lineer cebirdeki minimal polinom kavramıyla örtüşür.

TİB üzerindeki modüller teorisinden biliyoruz ki, sonlu üretilmiş her modül, devirli alt modüllerin direkt toplamı olarak yazılabilir. Lineer cebirde bu, uzayın $\tau$-devirli (cyclic) alt uzaylara ayrışması anlamına gelir.

Bu özel bazda operatörün matris temsili çok spesifik bir forma sahiptir.

Şimdi TİB üzerindeki modüller için Değişmez Çarpanlar Ayrışımı Teoremi$R$ bir TİB ve $M$ sonlu üretilmiş bir $R$-modül olsun. Bu takdirde $$ M\cong R/(d_1)\oplus R/(d_2)\oplus \cdots \oplus R/(d_k) $$ olacak biçimde $R$'nin birimleri ile (çarpımsal) tersinir olmayan elemanları haricindeki $d_1,d_2,\dots,d_k \in R$ elemanları vardır öyle ki $d_1 | d_2 | \dots | d_k$ sağlanır.
📖 Detaya Git uygulayarak lineer operatörler için en genel formu elde edelim.

Değişmez çarpanlar ($d_i$) yerine, bunları asal çarpanlarının kuvvetlerine ayırarak da modülü parçalayabiliriz. Bu parçalamaya modülün elemanter bölenler üzerinden ayrışımı denir. Aşağıdaki teoremi, Asıl Ayrışım Teoremi$R$ bir TİB ve $M$ sonlu üretilmiş bir torsionlu $R$-modül olsun. O zaman $M$, asıl devirli alt modüllerin direkt toplamı olarak yazılabilir: $$ M \cong \left( R/\langle p_1^{e_{11}} \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle p_1^{e_{1\ell_1}} \rangle \right) \oplus \cdots \oplus \left( R/\langle p_m^{e_{m1}} \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle p_m^{e_{m\ell_m}} \rangle \right) $$ Burada $p_1, \ldots, p_m$ birbirinden farklı asal elemanlardır ve $e_{i1} \ge \cdots \ge e_{i\ell_i}$ pozitif tam sayılardır.
📖 Detaya Git kullanarak kolayca elde edebiliriz.

Yukarıdaki teoremde geçen $({p_i}^{e_{ij}})$ listesine $\tau$ operatörünün $V$ üzerindeki elemanter bölenleri denir.

$V$ sonlu boyutlu bir $\ff$-uzayı ve $\tau$, $V$ üzerinde bir lineer operatör olsun. $W$, $V$'nin bir $\tau$-invaryant alt uzayı$V$ bir vektör uzayı ve $\tau$, $V$ üzerindeki bir lineer operatör olsun. $W \subseteq V$ için eğer $\tau(W) \subseteq W$ ise $W$'ya $V$'nin bir $\tau$-invaryant alt uzayı denir.
📖 Detaya Git olsun; yani $W$, $V$'nin bir $\ff[x]$-alt modülüdür. Kabul edelim ki $W$ bir devirli alt modül ve $\tau$ operatörünün $W$ üzerindeki minimal polinomu $\lambda\in\ff$ olmak üzere $(x-\lambda)^k$ olsun. $W$ alt modül olarak devirli olduğundan öyle bir $\vek v\in W$ vardır ki $\{\vek v, \tau\vek v, \dots, \tau^{k-1}\vek v\}$ $W$'nun bir $\ff$-bazıdır. Buna göre $$\cb'=\{\vek v,(\tau-\lambda)\vek v,\dots,(\tau-\lambda)^{k-1}\vek v\}$$

kümesi de $W$'nun bir $\ff$-bazıdır (araştırınız). $[\tau]_{\cb'}$ temsilci matrisini bulmak için $\tau((\tau-\lambda)^i\vek v)$ görüntülerini $\cb'$ bazına göre yazmalıyız:

$$\tau \vek v = (\tau-\lambda)\vek v +\lambda\vek v$$

olur. Kabul edelim ki $1 < i < k-2$ için

$$\tau(\tau-\lambda)^i\vek v = (\tau-\lambda)^{i+1}\vek v + \lambda(\tau-\lambda)^{i}\vek v$$

olsun. O zaman

\begin{align*} \tau(\tau-\lambda)^{i+1}\vek v & = (\tau - \lambda)^{i+1}\tau \vek v \\ & = (\tau - \lambda)^{i+1}(\tau - \lambda)\vek v + \lambda(\tau - \lambda)^i\vek v \\ & = (\tau - \lambda)^{i+2}\vek v + \lambda(\tau - \lambda)^{i+1}\vek v \\ \end{align*}

bulunur. Dolayısıyla tümevarım ile her $1 < i < k-1$ için

$$\tau(\tau-\lambda)^i\vek v = (\tau-\lambda)^{i+1}\vek v + \lambda(\tau-\lambda)^i\vek v$$

olur. Öte yandan $\lambda(\tau-\lambda)^{k-1}\vek v = (\tau-\lambda)^{k-1}\tau\vek v = (\tau-\lambda)^{k-1}\vek v + \lambda(\tau-\lambda)^{k-1}\vek v = \lambda(\tau-\lambda)^{k-1}\vek v$ olduğundan aşağıdaki matrisi elde ederiz:

$$[\tau]_{\cb'} = \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda \end{bmatrix}_{k \times k}$$