Temel İdeal Bölgeleri Üzerindeki Modüller

Bu bölümde, temel ideal bölgeleri üzerindeki modüller incelenecektir. Temel ideal bölgeleri, üzerindeki modüllerin nispeten daha iyi huylu davrandığı halka sınıfıdır. Özel olarak bu halkalar birer Noether halkasıdır ve bu nedenle üzerindeki sonlu üretilmiş modüller de Noether modülleridir. Öte yandan serbest modüllerin alt modüllerinin de serbest olması özelliği bu halkalar üzerinde geçerlidir. Bu özellik vektör uzaylarının her alt uzayının da bir baza sahip olması özelliğine benzer. Öte yandan, sonlu üretilmiş modüllerin devirli modüllerin dik toplamı olarak yazılabilmesi özelliği de bu halkalar üzerinde geçerlidir. Bu sayede temel ideal bölgeleri üzerindeki sonlu üretilmiş modüllerin sınıflandırılmasında önemli rol oynayan bazı değişmezler ortaya konulacaktır.

Temel İdeal Bölgeleri

$R$ bir tamlık bölgesi olsun. Eğer $R$'nin her idealinin bir tek üreteci varsa $R$'ye temel ideal bölgesi denir. $a,b\in R$ olsun. Eğer $\langle a\rangle =\langle b\rangle$ ise $a$ ile $b$ elemanlarına muadil elemanlar denir.

Kolayca görülebilir ki $a$ ile $b$ muadildir ancak ve ancak $a=u b$ olacak şekilde birimsel (yani tersinir) $u\in R$ elemanı vardır.

Temel İdeal Bölgelerinin Bazı Özellikleri

$R$ bir temel ideal bölgesi (TİB) olsun. Buna göre aşağıdakiler sağlanır:

$R$'nin asal ve indirgenemez elemanları aynıdır.
$R$ bir tek türlü çarpanlama bölgesidir. Yani sıfırdan farklı birimsel olmayan her $a\in R$ için $$a=u p_1^{k_1} p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}$$
biçiminde yazılabilir. Burada $u\in R$ birimsel, $p_i$'ler birbirinden farklı asal (veya indirgenemez) elemanlar ve $k_i$'ler pozitif tam sayılardır ve bu çarpanlama $p_i$'lerin sıralanması ve muadil olma farkı ile tektir.
Her sonlu üretilmiş $R$-modül bir Noether modülüdür.

$R$ bir temel ideal bölgesi ve $a,b\in R$ olsun. Eğer $a$ veya $b$ sıfırdan farklı ise $\langle a\rangle + \langle b\rangle$ idealinin herhangi bir üretecine $a$ ile $b$'nin en büyük ortak böleni denir ve $\operatorname{ebob}(a,b)$ ile gösterilir. Yani $\langle a\rangle + \langle b\rangle = \langle \operatorname{ebob}(a,b)\rangle$ olur.

Ayrıca $\langle a\rangle \cap \langle b\rangle$ idealinin herhangi bir üretecine de $a$ ile $b$'nin en küçük ortak katı denir ve $\operatorname{ekok}(a,b)$ ile gösterilir. Yani $\langle a\rangle \cap \langle b\rangle = \langle \operatorname{ekok}(a,b)\rangle$ olur. Eğer $\operatorname{ebob}(a,b)=1$ ise $a$ ile $b$ elemanlarına aralarında asal elemanlar denir.

En az biri sıfırdan farklı olan $a_1,\ldots,a_n\in R$ elemanları için de $\operatorname{ebob}(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ ve $\operatorname{ekok}(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ benzer şekilde tanımlanır. Eğer $\operatorname{ebob}(a_1,a_2,\ldots,a_n)=1$ ise $a_1,a_2,\ldots,a_n$ elemanlarına aralarında asal elemanlar denir.

Alıştırma

$R$ bir temel ideal bölgesi olsun. Aşağıdakileri gösteriniz:

$a,b,c\in R$ için $\operatorname{ebob}(a,c)=1$ ve $c\mid ab$ ise $c\mid b$ olur.
$a_1,a_2,\ldots,a_n\in R$ elemanları aralarında asal ise $r_1a_1+\cdots+r_na_n=1$ olacak şekilde $r_1,r_2,\ldots,r_n\in R$ elemanları vardır.
$a,b\in R$ için $a\neq 0$ veya $b\neq 0$ ise $\frac{a}{\operatorname{ebob}(a,b)}$ ve $\frac{b}{\operatorname{ebob}(a,b)}$ aralarında asaldır.
$a,b\in R$ için $a$ ve $b$ aralarında asal ise $\operatorname{ekok}(a,b)=ab$ olur.
$a_1,a_2,\ldots,a_n\in R$ elemanları ikişerli aralarında asal olsun. Yani her $i\neq j$ için $\operatorname{ebob}(a_i,a_j)=1$ olsun. Her $1\le i\le n$ için $\widehat{a_i}=\frac{a_1\ldots a_n}{a_i}$ olsun. O zaman her $1\le i\le n$ için $\operatorname{ebob}(a_i,\widehat{a_i})=1$ olur. Ayrıca, $\widehat{a_1},\ldots,\widehat{a_n}$ elemanları da aralarında asal olur, yani $\operatorname{ebob}(\widehat{a_1},\ldots,\widehat{a_n})=1$ dir.

Alıştırma

$F$ bir cisim ise $F[x]$ polinom halkası bir temel ideal bölgesidir, gösteriniz.

Mertebe Kavramı

Bu bölüm boyunca $R$ bir temel ideal bölgesi ve $M$ bir $R$-modülü olarak alınacaktır.

Tanım 3.1: Mertebe

Eğer $A\le M $ ise $A$ alt modülünün mertebesi $o(A)$ ile gösterilir ve $\ann A$ idealinin herhangi bir üreteci olarak tanımlanır. Yani $\alpha\in R$ için $\ann A=R\alpha$ ise $A$ alt modülünün mertebesi $\alpha$'dır.

Bir $\mathbf{m}\in M$ için de $o(\mathbf{m})$ ile gösterilen elemanın mertebesi $o(R\mathbf{m})$ olarak tanımlanır.

Not 3.1

Eğer $A=0$ ise $\ann A=R$ olduğundan $o(A)=1$ olarak tanımlanır.
Eğer $M$ serbest ise her $A\le M$ için $\ann A=0$ olduğundan $o(A)=0$ olur.
$A$ alt modülünün mertebesi muadil olma farkıyla tek türlüdür. Bun göre $o(A)$ mertebesinin tüm muadilleri de $o(A)$ olarak tanımlanır.
Bir $\mathbf{m}\in M$ için $\ann{(R\mathbf{m})}=\ann{\mathbf{m}}$ olduğundan $o(\mathbf{m})$, $R$'nin $\mathbf{m}$'yi sıfırlayan tüm elemanlarının bir ortak böleni olarak tanımlanır.

Önerme 3.1

$A\le B\le M$ ise $o(B)\mid o(A)$ olur.
$\mathbf{m}\in M$ için eğer $\beta \mathbf{m}=0$ ise $o(\mathbf{m})\mid \beta$ olur.
$A,B\le M$ için $M=A + B$ ise $o(M)=\operatorname{ekok}(o(A),o(B))$ olur.

Kanıt

$A\le B$ ise $\ann{B}\le \ann{A}$ olduğundan $\ann{B}=R o(B)$ ve $\ann{A}=R o(A)$ için $o(B)\mid o(A)$ olur.
$\beta\in\ann{\vek m}=R o(\vek m)$ olacağından $\beta$'nın $o(\vek m)$'ye bölünebildiği görülür.
$o(A)=\alpha$, $o(B)=\beta$ olsun. $M=A + B$ ise $\ann{M}=\ann{A}\cap \ann{B}=\langle \ekok(\alpha,\beta)\rangle$ olduğundan $o(M)=\ekok(\alpha,\beta)$ olur.

Teorem 3.2

$\mathbf{m}\in M$, $o(\mathbf{m})=\alpha$ ve $\beta\in R$ olsun. O zaman $$o(\beta \mathbf{m})=\frac{\alpha}{\operatorname{ebob}(\alpha,\beta)}$$

olur. Özel olarak $\alpha$ ve $\beta$ aralarında asal ise $o(\beta \mathbf{m})=\alpha$ olur.

Kanıt

$o(\vek m)=\alpha$ olduğundan $\ann{\vek m}=\langle \alpha\rangle$ olur. $\langle \gamma \rangle= \ann{(\beta \vek m)}$ olsun. $\gamma \beta \vek m=0$ olduğundan $\gamma \beta\in \ann{\vek m}=\langle \alpha\rangle$ olur. Yani $\alpha\mid \gamma \beta$ olur.

Buradan $\frac{\alpha}{\ebob(\alpha,\beta)}\mid \gamma\frac{\beta}{\ebob(\alpha,\beta)}$ olduğu görülür.

$\frac{\beta}{\ebob(\alpha,\beta)}$ ile $\frac{\alpha}{\ebob(\alpha,\beta)}$ aralarında asal olduğundan $\frac{\alpha}{\ebob(\alpha,\beta)}\mid \gamma$ olur.

Öte yandan

$$\frac{\alpha}{\ebob(\alpha,\beta)}(\beta \vek m) = \frac{\beta}{\ebob(\alpha,\beta)}(\alpha \vek m) =0$$

olduğundan $\gamma \mid \frac{\alpha}{\ebob(\alpha,\beta)}$ olur. Böylece $\gamma$ ile $\frac{\alpha}{\ebob(\alpha,\beta)}$ muadil olur ve istenen sonuç elde edilir. Teoremin son kısmı ise $\ebob(\alpha,\beta)=1$ durumunun özel bir sonucudur.

Devirli Modüller

Teorem 3.3

$R$ bir TİB olsun. Buna göre her devirli $R$-modülün alt modülü de devirlidir.

Kanıt

$M=R\vek m$ bir devirli $R$-modül ve $A\le M$ olsun. Kolayca görülebilir ki $I=\{r\in R: r\vek m\in A\}$ kümesi $R$'nin bir idealidir. $R$ TİB olduğundan $I=\langle \alpha\rangle$ biçiminde yazılabilir. Buna göre

$I\vek m\subseteq A$ olduğu tanımdan açıktır$I\mathbf{m}\subseteq A$ olduğu tanımdan açıktır. Diğer taraftan, $A\subseteq R\mathbf{m}$ olduğundan $A$'nın her elemanı $r\mathbf{m}$ biçimindedir ve buradaki $r$, $I$'nın elemanı olmak zorundadır. Dolayısıyla $A=I\mathbf{m}$ olur.. Diğer taraftan, $A\subseteq R\vek m$ olduğundan $A$'nın her elemanı $r\vek m$ biçimindedir ve buradaki $r$, $I$'nın elemanı olmak zorundadır. Dolayısıyla $A=I\vek m$ olur.

$$A = I\vek m = \langle \alpha \rangle \vek m = R\alpha \vek m = \langle a\vek m\rangle$$

olur. Böylece $A$ devirlidir.

Teorem 3.4

$R$ bir TİB ve $M$ bir devirli modül olsun. Aşağıdakiler sağlanır:

$A_1,\ldots,A_k$, $M$'nin alt modülleri olsun. Eğer $A_1,\ldots,A_k$ modüllerinin mertebeleri ikişerli aralarında asal ise $\{A_1,\ldots,A_k\}$ ailesi bağımsızdır; yani $A_1+\cdots +A_k = A_1\oplus \cdots \oplus A_k$ biçiminde yazılabilir.
$\mathbf{m}_1,\ldots,\mathbf{m}_k\in M$ elemanlarının mertebeleri ikişerli aralarında asal ise $$o(\mathbf{m}_1+\cdots +\mathbf{m}_k)=o(\mathbf{m}_1)\cdots o(\mathbf{m}_k)$$
ve
$$\langle \mathbf{m}_1\rangle \oplus \cdots \oplus \langle \mathbf{m}_k\rangle = \langle \mathbf{m}_1+\cdots +\mathbf{m}_k\rangle$$
olur.
$\mathbf{m}\in M$ ve ikişerli aralarında asal olan $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k\in R$ elemanları için $o(\mathbf{m})=\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_k$ ise $\mathbf{m}=\mathbf{m}_1+\cdots +\mathbf{m}_k$ ve her $i$ için $o(\mathbf{m}_i)=\alpha_i$ olacak şekilde $\mathbf{m}_1,\mathbf{m}_2,\ldots,\mathbf{m}_k\in M$ elemanları vardır. Bu durumda $\langle \mathbf{m}\rangle = \langle \mathbf{m}_1\rangle \oplus \cdots \oplus \langle \mathbf{m}_k\rangle$ olur.

Kanıt

$a_i=o(A_i)$ olsun. $\vek x\in A_1\cap (A_2+\cdots +A_k)$ ise $\vek x\in A_1$ olduğundan $a_1 \vek x=0$ olur. Öte yandan $\vek x\in A_2+\cdots +A_k$ olduğundan $a_2 a_3 \cdots a_k \vek x=0$ olur. $a_1$ ile $a_2 a_3 \cdots a_k$ aralarında asal olduğundan $u a_1+v (a_2\cdots a_k) =1$ olacak şekilde $u,v\in R$ bulunur. Buna göre $\vek x=u a_1 \vek x+v (a_2\cdots a_k) \vek x = 0$ olur. Böylece $A_1\cap (A_2+\cdots +A_k)=0$ olur. Benzer şekilde $A_2\cap (A_1+A_3+\cdots +A_k)=0$ vb. elde edilebilir. Böylece $\{A_1,\ldots,A_k\}$ ailesi bağımsızdır.

$o(\vek m_i)=\alpha_i$ olsun. Önce $\langle \vek m_1 + \cdots + \vek m_k \rangle = \langle \vek m_1 \rangle + \cdots + \langle \vek m_k \rangle$ olduğunu gösterelim. $\langle \vek m_1 + \cdots + \vek m_k \rangle \subseteq \langle \vek m_1 \rangle + \cdots + \langle \vek m_k \rangle$ olduğu açıktır. $\alpha=\alpha_1\ldots\alpha_k$ ve her $1\le i\le k$ için $\beta_i=\alpha/\alpha_i$ olsun. Her $1\le i\le k$ için $\beta_i\cdot(\vek m_1+\cdots +\vek m_k)=\beta_1\vek m_1+\cdots +\beta_1\vek m_k=\beta_i\cdot\vek m_i$ olur. Diğer taraftan, $\beta_i$ ile $\alpha_i$ aralarında asal olduğundan $1=u \beta_i + v \alpha_i$ olacak şekilde $u,v\in R$ bulunur. Buna göre $\vek m_i=u\beta_i\cdot \vek m_i + v\alpha_i\cdot \vek m_i = u\beta_i \cdot \vek m_i=\beta_i\cdot(\vek m_1+\cdots +\vek m_k)\in \langle\vek m_1+\cdots+\vek m_k\rangle$ olur. Böylece $\langle \vek m_1 \rangle + \cdots + \langle \vek m_k \rangle \subseteq \langle \vek m_1 + \cdots + \vek m_k \rangle$ olur ve istenen eşitlik elde edilir.

Şimdi $o(\vek m_1 + \cdots + \vek m_k)$'yi bulalım.

$$\begin{eqnarray} o(\vek m_1 + \cdots + \vek m_k) & = & o(\langle \vek m_1 + \cdots + \vek m_k \rangle) \nonumber \\ & = & \ann{(\langle \vek m_1 \rangle + \cdots + \langle \vek m_k \rangle)} \nonumber \\ & = & \ann{\langle \vek m_1 \rangle} \cap \cdots \cap \ann{\langle \vek m_k \rangle} \nonumber \\ & = & \langle \alpha_1 \rangle \cap \cdots \cap \langle \alpha_k \rangle \nonumber \\ & = & \langle \ekok(\alpha_1,\ldots,\alpha_k) \rangle \nonumber \\ & = & \langle \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_k \rangle \quad\text{($\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ aralarında asal olduğundan)}\nonumber \end{eqnarray}$$

ve böylece $o(\vek m_1 + \cdots + \vek m_k)=\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_k$ bulunur. Ayrıca (i)'den dolayı

$$\langle \vek m_1 \rangle \oplus \cdots \oplus \langle \vek m_k \rangle = \langle \vek m_1 + \cdots + \vek m_k \rangle$$

olur.

$o(\vek m)=\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_k$ olduğundan $\ann{\vek m}=\langle \alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_k \rangle$ olur. Her $1\le i\le k$ için $\beta_i=\alpha_1\cdots \alpha_{i-1}\alpha_{i+1}\cdots \alpha_k$ olsun. Kolayca görülebilir ki her $1\le i\le k$ için $\ebob(\alpha_i,\beta_i)=1$ olur. Buna göre $\beta_i \vek m$ elemanının mertebesi $$o(\beta_i \vek m)=\frac{\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_k}{\ebob(\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_k,\beta_i)}=\frac{\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_k}{\beta_i}=\alpha_i$$ olur. $\beta_1,\ldots,\beta_k$ elemanları ikişerli aralarında asal olduğundan $\beta_1 u_1 + \cdots + \beta_k u_k = 1$ olacak şekilde $u_1,\ldots,u_k\in R$ bulunur. Buna göre $$\vek m = 1\cdot \vek m = (\beta_1 u_1 + \cdots + \beta_k u_k)\cdot\vek m = u_1(\beta_1\cdot \vek m) + \cdots + u_k(\beta_k\cdot \vek m)$$ olur. Böylece $\vek m_i =u_i \beta_i\cdot \vek m$ olarak alınırsa $\beta_i$ ve $u_i$ aralarında asal olduğundan $$o(\vek m_i)=o(u_i \beta_i\cdot \vek m)=o(\beta_i\cdot \vek m)=\alpha_i$$
ve $\vek m = \vek m_1 + \cdots + \vek m_k$ olur. Ayrıca kabulden dolayı
$$\langle \vek m \rangle = \langle \vek m_1 \rangle \oplus \cdots \oplus \langle \vek m_k \rangle$$
olur.

TİB Üzerindeki Serbest Modüller

Bu bölümde $R$ bir TİB olmak üzere, $R$ üzerindeki sonlu üretilmiş serbest modüller incelenecektir. Bu bağlamda, bir sonlu üretilmiş serbest $R$-modülün her alt modülünün de serbest olduğu gösterilecektir. Bu sonuç genel olarak sonlu üretilmiş olmayan serbest $R$-modüller için de geçerli olduğu halde ispatı, iyi sıralama ilkesine denk olan seçme aksiyomunun kabulünü gerektirir. Hem daha karmaşık olması hem de bu notların kapsamını aşması nedeniyle bu ispat burada verilmemektedir. Genel teoremi vermeden önce bazı hazırlayıcı lemmaları ispatlayalım.

Lemma 3.5

$R$ bir TİB ve $M$ bir serbest $R$-modül ve $\{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\}$, $M$'nin bir bazı olsun. $\mathbf{m}\in M$ ve $\mathbf{m}=\sum_{i=1}^n r_i\cdot \mathbf{e}_i$ yazımı için $\langle r_1,\ldots,r_n \rangle$ ideali $M$'nin bazının seçiminden bağımsızdır ve yalnızca $\mathbf{m}$'ye bağlıdır. (Bu ideale $\mathbf{m}$'nin kapsam ideali denir ve $\operatorname{cont}(\mathbf{m})$ ile gösterilir.)

Kanıt

$M$'nin bir $\{\vek e'_1,\ldots,\vek e'_n\}$ bazı için $\vek m=r'_1\cdot\vek e'_1+\cdots + r'_n\cdot\vek e'_n$ biçiminde yazılsın. $\vek e_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot \vek e'_j$ olsun. Buna göre $$\vek m = \sum_{i=1}^n r'_i \cdot\vek e'_i = \sum_{i=1}^n r'_i\cdot \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot\vek e'_j = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^n r'_i a_{ij} \right) \cdot\vek e'_j$$

olur. Böylece her $1\le j\le n$ için $r_j = \sum_{i=1}^n r'_i a_{ij}$ olur. Bu durumda $r_j$'lerin her biri $r'_1,\ldots,r'_n$ tarafından üretilen idealin elemanı olur. Benzer şekilde her $1\le j\le n$ için $r'_j = \sum_{i=1}^n r_i b_{ij}$ olacak şekilde $b_{ij}\in R$ elemanları bulunabilir. Bu durumda $r'_j$'lerin her biri de $r_1,\ldots,r_n$ tarafından üretilen idealin elemanı olur. Yani

$$\langle r_1,\ldots,r_n \rangle = \langle r'_1,\ldots,r'_n \rangle$$

olur.

Lemma 3.6

$R$ bir TİB, $M$ bir serbest $R$-modül ve $\mathbf{m}\in M$ olsun. $c_\mathbf{m}\in R$, $\mathbf{m}$'nin kapsam idealinin bir üreteci olsun; yani $\operatorname{cont}(\mathbf{m})=Rc_\mathbf{m}$ olsun. O zaman $\mathbf{m} = c_\mathbf{m}\cdot \mathbf{e}'_1$ olacak şekilde $M$'nin bir $\{\mathbf{e}'_1,\ldots,\mathbf{e}'_n\}$ tabanı vardır.

Kanıt

$\{\vek e_1,\ldots,\vek e_n\}$, $M$'nin bir tabanı olsun. $n$ üzerine tümevarım uygulayacağız. Eğer $n=1$ ise $\vek m = r_1 \vek e_1$ olacak şekilde bir $r_1\in R$ vardır. Bu durumda $\cong{\vek m}=Rr_1=Rc_\vek{m}$

olduğundan $r_1$ ile $c_\vek{m}$ muadil olur. Yani $r_1=u c_\vek{m}$ olacak şekilde birimsel $u\in R$ vardır. Buna göre $\vek m = r_1\cdot \vek e_1 = u c_\vek{m}\cdot \vek e_1 = c_\vek{m} (u \cdot\vek e_1)$ olur. $\{\vek e'_1=u\cdot\vek e_1\}$ tabanı için istenen sonuç elde edilir.

Şimdi $n>1$ için varsayalım ki önerme doğru olsun. $\vek m = \sum_{i=1}^{n} r_i\cdot\vek{e}_i$ yazalım. Buna göre $\cont{\vek{m}}=Rc_\vek{m} = Rr_1+\cdots + Rr_n$ olur. Dikkat edilirse, $c_\vek{m}=0$ ancak ve ancak $\vek{m}=0$ dır. Dolayısıyla $c_\vek{m}\neq 0$ kabul edebiliriz. $w=\sum_{i=2}^{n}r_i\cdot\vek{e}_i$ olsun. O zaman $\vek m = w + r_1\cdot\vek{e}_1$ olur. $\{\vek{e}_i\}_{i=2}^{n}$, $M'=\langle \vek{e}_2,\ldots,\vek{e}_n\rangle$ serbest modülünün bir tabanıdır. Tümevarım varsayımını $M'$ için uygularsak, $\vek w$'nun kapsam idealinin bir üreteci olan $c_\vek{w}\in R$ için $\vek w = c_\vek{w}\cdot \vek{e}''_2$ olacak şekilde $M'$'nün bir $\{\vek{e}''_2,\ldots,\vek{e}''_{n}\}$ tabanı vardır. Dolayısıyla, $Rc_\vek{w}=Rr_2+\cdots + Rr_n$ olur. Buna göre

$$Rc_\vek{m}=\sum_{i=1}^{n}=Rr_1+\sum_{i=2}^{n}Rr_i=Rr_1+Rc_\vek{w}$$

olduğundan, $c_\vek{m}=ur_1+vc_\vek{w}$, $r_1=ac_\vek{m}$ ve $c_\vek{w}=bc_\vek{m}$ olacak şekilde $u,v,a,b\in R$ elemanları vardır. Buna göre $c_\vek{m}=uac_\vek{m}+vbc_\vek{m}=(ua+vb)c_\vek{m}$ ve $c_\vek{m}$ sıfırdan farklı olduğundan $ua+vb=1$ olur.

$\vek{e}'_1=a\cdot\vek{e}_1+b\cdot\vek{e}''_2$, $\vek{e}'_2=v\cdot\vek{e}_1-u\cdot\vek{e}''_2$ ve her $i\ge 3$ için $\vek{e}'_i=\vek{e}''_i$ olarak tanımlayalım. Buna göre $R\vek{e}'_1+R\vek{e}'_2\subseteq R\vek{e}_1+R\vek{e}''_2$ olur. Öte yandan, $ua+vb=1$ olduğundan $\vek{e}_1 = u\cdot\vek{e}'_1 + b\cdot\vek{e}'_2\in R\vek{e}'_1 + R\vek{e}'_2$ ve $\vek{e}''_2 = v\cdot\vek{e}'_1 - a\cdot\vek{e}'_2\in R\vek{e}'_1 + R\vek{e}'_2$ olur. Dolayısıyla $R\vek{e}_1 + R\vek{e}''_2 = R\vek{e}'_1 + R\vek{e}'_2$ olur. Buna göre $$M = R\vek{e}_1 + R\vek{e}''_2 + \cdots + R\vek{e}''_{n} = R\vek{e}'_1 + R\vek{e}'_2 + \cdots + R\vek{e}'_{n}$$

olur. Son olarak, $\{\vek{e}'_1,\ldots,\vek{e}'_n\}$ kümesinin lineer bağımsız olduğunu da gösterelim. Eğer $s_1,\ldots,s_n\in R$ için $s_1\cdot \vek{e}'_1 + \cdots + s_n\cdot \vek{e}'_n =0$ ise $s_1(a\cdot \vek{e}_1 + b\cdot \vek{e}''_2) + s_2(v\cdot \vek{e}_1 - u\cdot \vek{e}''_2) + \cdots + s_n\cdot \vek{e}''_n =0$ olur. Buna göre $(s_1 a + s_2 v)\cdot \vek{e}_1 + (s_1 b - s_2 u)\cdot \vek{e}''_2 + \cdots + s_n\cdot \vek{e}''_n =0$ olur. $\{\vek{e}_1,\vek{e}''_2,\ldots,\vek{e}''_n\}$ lineer bağımsız olduğundan $s_1 a + s_2 v=0$, $s_1 b - s_2 u=0$ ve $s_3=0,\ldots,s_n=0$ olur. Buradan $s_1=s_1(ua+vb)=0$ ve dolayısıyla $s_2=0$ olur. Böylece $\{\vek{e}'_1,\ldots,\vek{e}'_n\}$ lineer bağımsızdır. Son olarak $\vek m = r_1\cdot \vek{e}_1 + \vek w = ac_\vek{m}\cdot \vek{e}_1 + c_\vek{w}\cdot \vek{e}''_2 = c_\vek{m}(a\cdot \vek{e}_1 + b\cdot \vek{e}''_2) = c_\vek{m}\cdot \vek{e}'_1$ olur. Böylece kanıt tamamlanır.

Not 3.2

$R$ bir TİB, $M$ bir serbest $R$-modül ve $\operatorname{rank} M < \infty$ olsun. $A\le M$ bir alt modül olsun. $R$ bir Noether halkası olduğundan $\{\operatorname{cont}(\mathbf{y})\mid \mathbf{y}\in A\}$ kümesinin bir maksimal elemanı vardır. Bir $\mathbf{a}\in A$ için $\operatorname{cont}(\mathbf{a})$ maksimal ise $\operatorname{cont}(\mathbf{a})$ idealine bir maksimal kapsam ideali diyeceğiz.

Lemma 3.7

$R$ bir TİB, $M$ bir serbest $R$-modül ve $\operatorname{rank} M < \infty$ olsun. $A\le M$ ve bir $\mathbf{a}\in A$ için $\operatorname{cont}(\mathbf{a})=Rc_\mathbf{a}$ bir maksimal kapsam ideali olsun. O zaman her $\mathbf{y}\in A$ için $\operatorname{cont}(\mathbf{a})\supseteq \operatorname{cont}(\mathbf{y})$ olur.

Yukarıdaki lemmaların yardımıyla şimdi ana teoremi ispatlayabiliriz.

Teorem 3.8

$R$ bir TİB, $M$ bir serbest $R$-modül ve $\operatorname{rank} M < \infty$ olsun. $A\le M$ olsun. O zaman $M$'nin öyle bir $\{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\}$ bazı ve $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in R$ vardır ki $$R\alpha_1\supseteq R\alpha_2\supseteq\cdots\supseteq R\alpha_n$$

ve $A=R\alpha_1\cdot\mathbf{e}_1+\cdots+R\alpha_n\cdot\mathbf{e}_n$ olur.

Kanıt

$n$ üzerine tümevarım uygulayacağız. Eğer $n=1$ ise $M=R\vek{e}_1$ olur. $A\le M$ olduğundan $\vek{a}\in M$ için $A=R\vek a$ ve $\vek a=\alpha_1\cdot \vek{e}_1$ olur. Böylece $A=R\alpha_1\cdot \vek{e}_1$ olur.

Şimdi $n>1$ ve teorem $n$'den küçük rankı olan her serbest modül için doğru olsun. $R$ bir Noether halkası olduğundan, $\{\cont{\vek x} \mid \vek x \in A, \vek x \neq 0\}$ kümesinin bir maksimal elemanı vardır.

$A=\{0\}$ durumunda teorem aşikardır, dolayısıyla $A\neq \{0\}$ olduğunu varsayabiliriz. Bir $\vek a \in A$ seçelim öyle ki $\cont{\vek a} = R\alpha_1$ maksimal olsun. Önceki lemmadan dolayı, $M$'nin öyle bir $\{\vek y_1, \ldots, \vek y_n\}$ bazı vardır ki $\vek a = \alpha_1 \vek y_1$ olur. $M' = R\vek y_2 \oplus \cdots \oplus R\vek y_n$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $M = R\vek y_1 \oplus M'$ olur ve $M'$, $n-1$ ranklı serbest bir modüldür.

$A' = A \cap M'$ olsun. İddia ediyoruz ki $A = R\vek a \oplus A'$ dir. $R\vek a \cap A' = \{0\}$ olduğu açıktır (çünkü $R\vek a \subseteq R\vek y_1$ ve $M' \cap R\vek y_1 = \{0\}$). Şimdi $\vek x \in A$ olsun. $\{\vek y_1, \ldots, \vek y_n\}$ bazına göre $\vek x = r_1 \vek y_1 + \vek x'$ yazılabilir (burada $\vek x' \in M'$). Maksimal kapsam ideali lemmasından dolayı, $\cont{\vek x} \subseteq \cont{\vek a} = R\alpha_1$ olur. $\vek x$'in koordinatlarından oluşan ideal $\cont{\vek x}$ olduğundan $r_1 \in \cont{\vek x} \subseteq R\alpha_1$ dir. O halde $r_1 = k \alpha_1$ olacak şekilde bir $k \in R$ vardır.

Şimdi $\vek z = \vek x - k \vek a$ elemanını düşünelim.

$$\vek z = (r_1 \vek y_1 + \vek x') - k(\alpha_1 \vek y_1) = (r_1 - k\alpha_1)\vek y_1 + \vek x' = \vek x'$$

olur. $\vek x \in A$ ve $\vek a \in A$ olduğundan $\vek z \in A$ olur. Ayrıca $\vek z = \vek x' \in M'$ olduğundan $\vek z \in A' = A \cap M'$ olur. Böylece $\vek x = k \vek a + \vek z$ yazılabilir, yani $A = R\vek a + A'$ dir.

Şimdi tümevarım varsayımını $M'$ ve onun alt modülü $A'$ için uygulayalım. $M'$'nün öyle bir $\{\vek e_2, \ldots, \vek e_n\}$ bazı ve $\alpha_2, \ldots, \alpha_n \in R$ elemanları vardır ki

$$R\alpha_2 \supseteq R\alpha_3 \supseteq \cdots \supseteq R\alpha_n$$

ve $A' = R\alpha_2 \cdot\vek e_2 \oplus \cdots \oplus R\alpha_n \cdot\vek e_n$ sağlanır. Burada $\vek e_1 = \vek y_1$ olarak tanımlayalım. $\{\vek e_1, \vek e_2, \ldots, \vek e_n\}$, $M$ için bir baz oluşturur. Ayrıca $A = R\alpha_1 \cdot\vek e_1 \oplus A' = R\alpha_1 \cdot\vek e_1 \oplus R\alpha_2 \cdot\vek e_2 \oplus \cdots \oplus R\alpha_n \cdot\vek e_n$ olur.

Son olarak $R\alpha_1 \supseteq R\alpha_2$ olduğunu göstermeliyiz. $\vek h = \alpha_2 \cdot\vek e_2$ elemanını düşünelim. $\vek h \in A'$ olduğundan $\vek h \in A$ dır. Maksimal kapsam ideali lemmasından dolayı $\cont{\vek h} \subseteq \cont{\vek a} = R\alpha_1$ olmalıdır. $\vek h$'nin $\{\vek e_1, \ldots, \vek e_n\}$ bazına göre koordinatları $(0, \alpha_2, 0, \ldots, 0)$ dır. Dolayısıyla $\cont{\vek h} = R\alpha_2$ olur. Böylece $R\alpha_2 \subseteq R\alpha_1$ elde edilir. Tümevarım ilkesi gereği teorem ispatlanmış olur.

Değişmez Çarpanlar Ayrışımı

Önceki bölümde verilen Teorem 3.8$R$ bir TİB, $M$ bir serbest $R$-modül ve $\operatorname{rank} M < \infty$ olsun. $A\le M$ olsun. O zaman $M$'nin öyle bir $\{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\}$ bazı ve $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in R$ vardır ki $ R\alpha_1\supseteq R\alpha_2\supseteq\cdots\supseteq R\alpha_n $ ve $A=R\alpha_1\cdot\mathbf{e}_1+\cdots+R\alpha_n\cdot\mathbf{e}_n$ olur.
📖 Detaya Git'in önemli bir sonucu olarak, TİB üzerindeki sonlu üretilmiş modüllerin yapı teoremini verebiliriz.

Teorem 3.9: Değişmez Çarpanlar Ayrışımı Teoremi

$R$ bir TİB ve $M$ sonlu üretilmiş bir $R$-modül olsun. Bu takdirde $$M\cong R/(d_1)\oplus R/(d_2)\oplus \cdots \oplus R/(d_k)$$

olacak biçimde $R$'nin birimleri ile (çarpımsal) tersinir olmayan elemanları haricindeki $d_1,d_2,\dots,d_k \in R$ elemanları vardır öyle ki $d_1 | d_2 | \dots | d_k$ sağlanır.

Kanıt

$M$ sonlu üretilmiş olduğundan, $M \cong F/K$ olacak şekilde sonlu ranklı bir serbest $R$-modül $F$ ve $F$'nin bir $K$ alt modülü vardır. Önceki teoremden dolayı, $F$'nin bir $\{\vek e_1, \ldots, \vek e_n\}$ bazı ve $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in R$ elemanları seçilebilir öyle ki $K = R\alpha_1 \vek e_1 \oplus \cdots \oplus R\alpha_n \vek e_n$ olur ve $R\alpha_1 \supseteq \cdots \supseteq R\alpha_n$ sağlanır. Burada bazı $\alpha_i$'ler birimsel olabilir (bu durumda $R/\langle \alpha_i \rangle = 0$) veya $0$ olabilir (bu durumda $R/\langle 0 \rangle \cong R$). Buna göre $$M \cong \frac{R\vek e_1 \oplus \cdots \oplus R\vek e_n}{R\alpha_1 \vek e_1 \oplus \cdots \oplus R\alpha_n \vek e_n} \cong \frac{R\vek e_1}{R\alpha_1 \vek e_1} \oplus \cdots \oplus \frac{R\vek e_n}{R\alpha_n \vek e_n} \cong R/\langle \alpha_1 \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle \alpha_n \rangle$$

elde edilir. Birimsel olan $\alpha_i$'ler atılıp, sıfır olanlar $R$ faktörü olarak (serbest kısım) başa yazılırsa istenen form elde edilir.

Yukarıdaki teoremde olduğu gibi birbirini bölen bloklar oluşturmak, bir modülün yapısal analizi için daha faydalı olabilmektedir. Bu forma Değişmez Çarpanlar Formu, buradaki $d_1, \ldots, d_k$ elemanlarına da $M$ modülünün değişmez çarpanları denir. Ayrıca $R$'nin $\langle d_1\ldots d_k \rangle$ idealine de $M$ modülünün karakteristik ideali denir.

Asıl (Primary) Devirli Ayrışım

Bir önceki bölümde, sonlu üretilmiş her $R$-modülün bir serbest kısım ve bir torsionlu kısmın toplamı olduğunu görmüştük. Şimdi torsionlu kısmın iç yapısına odaklanacağız.

Tanım 3.2

$R$ bir TİB ve $p \in R$ bir asal eleman olsun. Bir $M$ modülünün her elemanının mertebesi $p$'nin bir kuvveti ise, $M$'ye $p$-asıl modül (veya $p$-primary modül) denir.

Genel bir torsionlu modül, farklı $p$ asallarına karşılık gelen $p$-asıl modüllerin toplamı olarak yazılabilir. Buna Asıl Ayrışım Teoremi denir. "> Bunu kanıtlamadan önce literatürde Çin Kalan Teoremi olarak bilinen teoremi hatırlayalım:

Teorem 3.10: Çin Kalan Teoremi (Chinese Remainder Theorem)

$R$ bir TİB ve $a_1, \ldots, a_m \in R$ ikişerli olarak aralarında asal elemanlar ise $$R/\langle a_1\cdots a_m\rangle \cong R/\langle a_1 \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle a_m \rangle$$

şeklinde bir halka (veya denk olarak $R$-modül) izomorfizması vardır.

Teorem 3.11: Asıl Devirli Ayrışım Teoremi (The Primary Cyclic Decomposition)

$R$ bir TİB ve $M$ sonlu üretilmiş bir torsionlu $R$-modül olsun. O zaman $M$, asıl devirli alt modüllerin direkt toplamı olarak yazılabilir: $$M \cong \left( R/\langle p_1^{e_{11}} \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle p_1^{e_{1\ell_1}} \rangle \right) \oplus \cdots \oplus \left( R/\langle p_m^{e_{m1}} \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle p_m^{e_{m\ell_m}} \rangle \right)$$

Burada $p_1, \ldots, p_m$ birbirinden farklı asal elemanlardır ve $e_{i1} \ge \cdots \ge e_{i\ell_i}$ pozitif tam sayılardır.

Kanıt

Ana teoremi kullanarak $M$'yi devirli modüllerin toplamına ayırabiliriz. Bu ayrışımda geçen $d_1,\ldots,d_k$ elemanları için $d_1 | d_2 | \cdots | d_k$ sağlandığından $M$'nin mertebesi $d_k$'dir. $d_k$'nin asal çarpanları $p_1,\ldots,p_m$ olmak üzere $d_k=p_1^{e_{11}}\cdots p_m^{e_{m1}}$ olsun. Buna göre her $1\le i\le k$ için $d_{k-i+1}=p_1^{e_{1i}}\cdots p_m^{e_{mi}}$ olacak şekilde $e_{ij}$ negatif olmayan tamsayıları vardır öyle ki $$e_{i1}\ge e_{i2}\ge\cdots\ge e_{ik}$$ olur. Her $1\le i \le k$ için $0\le\ell_i\le k$ olmak üzere $e_{i\ell_i}>0$ ve $e_{i\ell_i+1}=0$ olacak şekilde $\ell_i$'ler bulunur. ($\ell_i=0$ veya $\ell_i=k$ olmasını uç durumlar için ayırıyoruz: her $j$ için $e_{ij}=0$ ise o zaman $\ell_i=0$; her $j$ için $e_{ij}>0$ ise $\ell_i=k$ olarak seçilsin.)

Şimdi Çin Kalan Teoremi'ni kullanarak her $1\le i\le k$ için

$$R/\langle d_{k-i+1}\rangle = R/\langle p_1^{e_{1i}}\cdots p_m^{e_{mi}}\rangle\cong R/\langle p_1^{e_{1i}}\rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle p_m^{e_{mi}}\rangle$$

olur. Dolayısıyla

$$M\cong \left( R/\langle p_1^{e_{11}} \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle p_1^{e_{1\ell_1}} \rangle \right) \oplus \cdots \oplus \left( R/\langle p_m^{e_{m1}} \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle p_m^{e_{m\ell_m}} \rangle \right)$$

olur. Böylece kanıt tamamlanır.

Bu ayrışımdaki $\{ p_i^{e_{ij}} \}$ üreteçlerine $M$'nin elemanter bölenleri denir. Elemanter bölenleri küme olarak yazmak yerine, tekrara izin veren bir liste olarak yazmak daha elverişlidir. Bu sayede elemanter bölenler listesi, modülü (izomorfizma farkıyla) tek türlü belirler.

Asıl ayrışım teoremindeki ayrışımı aşağıdaki gibi düşünebiliriz:

$$M \cong \underbrace{\left( R/\langle p_1^{e_{11}} \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle p_1^{e_{1\ell_1}} \rangle \right)}_{\mathcal{M}_{p_1}} \oplus \cdots \oplus \underbrace{\left( R/\langle p_m^{e_{m1}} \rangle \oplus \cdots \oplus R/\langle p_m^{e_{m\ell_m}} \rangle \right)}_{\mathcal{M}_{p_m}}.$$

Bu şekilde yapılan gruplamada dik toplam terimleri olarak gelen $\mathcal{M}_{p_i}$'lerin mertebeleri $p_i^{e_{i1}}$'lerdir. Buna göre her $\mathcal{m}_{p_i}$ bir $p_i$-asıl modül olur. Bu, teoremin adının neden "asıl ayrışım teoremi" olduğunu bize gösterir. Öte yandan Çin Kalan Teoremi gereğince her bir $\mathcal{M}_{p_i}$ modülü mertebesi $p_i^{e_{i1}}$ olan birer devirli modül olur. Böylece Asıl Ayrışım Teoremi'nin ikinci formunu aşağıdaki gibi elde edebiliriz:

Sonuç 3.12: Asıl Ayrışım Teoremi: İkinci Form

$R$ bir TİB ve $M$ sonlu üretilmiş bir torsionlu $R$-modül olsun. Kabul edelim ki $M$'nin mertebesi $p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m}$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılıyor olsun. O zaman $$M \cong \mathcal{M}_{p_1} \oplus \cdots \oplus \mathcal{M}_{p_m}$$

olacak şekilde mertebesi $p_i^{e_i}$ olan $p_i$-asıl devirli $\mathcal{M}_{p_i}$ modülleri vardır.

Örnek 3.14: Elemanter Bölenler

$R = \mathbb{Z}$ olsun. Mertebesi $72 = 2^3 \cdot 3^2$ olan bir $M$ değişmeli grubu ($\mathbb{Z}$-modülü) düşünelim. Olası elemanter bölenler $72$'nin asal çarpanlarının parçalanışlarıdır. $2^3$ için olası parçalanışlar: $(2^3)$, $(2^2, 2)$, $(2, 2, 2)$. $3^2$ için olası parçalanışlar: $(3^2)$, $(3, 3)$.

Bu parçaların kombinasyonları farklı (izomorf olmayan) modül yapılarını verir. Örneğin:

$$\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{9} \cong \mathbb{Z}_{72}$$ $$\zz_4 \oplus \zz_2 \oplus \zz_9$$ $$\zz_8 \oplus \zz_3 \oplus \zz_3$$ $$\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{3} \oplus \mathbb{Z}_{3}$$

gibi.

Örnek 3.15: Elemanter Bölenlerden Değişmez Çarpanlara

Bir $\mathbb{Z}$-modülün elemanter bölenleri $(2^2, 2, 2, 3^3, 3, 5^2)$ olsun. Gruplama yapalım:

En büyük kuvvetler: $2^2, 3^3, 5^2 \implies d_k = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 2700$.
Kalanların en büyükleri: $2, 3 \implies d_{k-1} = 2 \cdot 3 = 6$.
Kalanlar: $2 \implies d_{k-2} = 2$.

Böylece değişmez çarpanlar: $2 \mid 6 \mid 2700$. Modülün yapısı: $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_6 \oplus \mathbb{Z}_{2700}$.

Devirli Modüllerin Karakterizasyonu

Hangi koşullar altında sonlu üretilmiş bir modülün tek bir üreteci vardır (yani devirlidir)? Bu soru, lineer cebirde "bir operatörün karakteristik polinomu minimal polinomuna ne zaman eşittir?" sorusunun modül teorisindeki karşılığıdır.

Teorem 3.13: Devirli Modüllerin Karakterizasyonu

$R$ bir TİB ve $M$ sonlu üretilmiş bir torsiyonlu $R$-modül olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir:

$M$ devirlidir (yani $M \cong R/\langle \mu \rangle$ olacak şekilde bir $\mu$ vardır).
$M$'nin elemanter bölenleri ikişerli aralarında asaldır.
$M$'nin sadece bir tane değişmez çarpanı vardır (yani $k=1$ ve $M \cong R/\langle d_1 \rangle$).
$M$'nin sıfırlayanı (annihilator), $M$'nin karakteristik idealine (elemanter bölenlerin çarpımı) eşittir. (Lineer cebirde: Minimal polinom = Karakteristik polinom).

Kanıt

$(1) \iff (2)$: Çin Kalan Teoremi'nin bir sonucudur. $R/\langle a \rangle \oplus R/\langle b \rangle \cong R/\langle ab \rangle$ olması için gerek ve yeter şart $\ebob(a,b)=1$ olmasıdır. Eğer elemanter bölenler aralarında asal değilse (örneğin $2^2$ ve $2$), bunları tek bir devirli modülde birleştiremeyiz.
$(1)\iff (3)$: Değişmez çarpanlar teoreminin formülasyonundan açıktır. Eğer birden fazla değişmez çarpan varsa ($d_1 \mid d_2$ ve $d_1$ birimsel değil), $R/\langle d_1 \rangle \oplus R/\langle d_2 \rangle$ yapısı devirli olamaz çünkü bu durumda mertebe $d_2$ olur ama mertebesi $d_2$ olan tek devrili modül $R/\langle d_2 \rangle$'dir.
$(3)\iff (4)$: $M$'nin bir tek değişmez çarpanı varsa $M$'nin sıfırlayanı ile $M$'nin karakteristik ideali birbirine eşittir, çünkü bu durumda $M$'ni tek değişmez çapanı onun mertebesi olur. Tersine $M$'nin sıfırlayanı ile $M$'nin karakteristik ideali birbirine eşit olsun. Değişmez Çarpanlar Teoremi'ne göre eğer $M$'nin çeğişmez çarpanları $d_1,\ldots,d_k$ ise $M$'nin sfırlayanı $\langle d_k \rangle$, karakteristik ideali ise $\langle d_1 \cdots d_k \rangle$ olacağından $d_k$ ile $d_1\ldots d_k$ birbirinin muadili olur; bu da ancak $k=1$ iken olur.

Lineer cebirde bu teorem şu anlama gelir: Bir $T$ lineer operatörünün devirli bir vektör uzayı oluşturması için (yani $V = Z(\mathbf{v}; T)$ olacak şekilde bir $\mathbf{v}$ vektörünün varlığı için) gerek ve yeter şart, $T$'nin minimal polinomunun karakteristik polinomuna eşit olmasıdır.