Temeller

Bu ilk bölümde, lisans derslerinde verilen bilgilerin bazılarını hızlıca gözden geçirdiğimiz, temel kavram ve sonuçların tartışılacağı bir çerçeve sunacağız. Genel olarak teorem kanıtları ve örneklerin kısıtlı tutulacağı bu bölümde, sonraki bölümler için gerekli olan bazı kavram ve sonuçları hatırlatmakla yetineceğiz.

Vektör kavramı ve vektör uzayları, doğrusal cebirin temel yapı taşlarıdır. Vektörler, özellikle Fizik alanı ile ilişkili konularda (örn. mekanik, dinamik vb.) bir yön ve büyüklük taşıyan temsiller olarak düşünülse de doğrusal cebir bağlamında soyut bir kavram olarak ele alınır. Bu sayede vektörler, hemen hemen bütün bilim alanlarında, geometrik olarak temsil edilmesi gerekmeden de kullanışlı araçlar olarak iş görürler.

Vektör uzayları ise, vektörlerin bazı temel özellikleri sağlayan topluluğudur. Bu temel özelliklerden biri de bir skalerle çarpma işleminin tanımlı olmasıdır. Yani bir vektör ile skaler adı verilen bir büyüklüğün işleme girmesi sonucunda yine bir vektör elde edilebilmelidir. Skaler büyüklükler uygulamada genellikle reel sayılar veya karmaşık sayılar olarak düşünülse de çok daha genel bir çerçevede tanımlanabilirler. Örneğin, bir vektör uzayını tanımlamak için skalerleri herhangi bir cisimden seçebiliriz. Bir cisim, üzerinde iki işlemin tanımlı olduğu ve bu işlemlerin belirli özellikleri sağladığı bir kümedir.

Yukarıdaki tanımda, kullanılan grup kavramı, üzerinde bir işlemin tanımlı olduğu bir kümenin belirli özellikleri sağladığı bir yapıyı tarif eder. Buna göre bir grup, üzerindeki işlemin birleşmeli olduğu, birim elemanının bulunduğu ve her elemanının tersinin olduğu bir kümedir. Değişmeli grup ise, işlemin değişmeli olduğu bir grup olarak tanımlanır. Dolayısıyla $\mathbb{F}$ bir cisim ise, $\mathbb{F}$ üzerinde tanımlı $+$ işlemi birleşmeli, birim elemanı $0$ olan ve her elemanın toplamsal tersinin bulunduğu bir kümedir ve toplama işlemi değişmelidir. Ek olarak eğer $x\in\mathbb{F}$ ise $x$'in toplamsal tersi $-x$ ile gösterilir. Buna göre her $x\in \mathbb{F}$ için

olur. Ayrıca $\mathbb{F}$ üzerinde tanımlı $\cdot$ işlemi de değişmeli, birleşmeli, birim elemanı $1$ olan ve sıfırdan farklı her elemanın çarpımsal tersinin bulunduğu bir kümedir. Yani $\mathbb{F}$ cismi için $x\in\mathbb{F}$ ve $x\neq 0$ ise $x^{-1}$ ile gösterilen $x$'in çarpımsal tersi vardır ve bu ters eleman tek türlü belirlidir. Buna göre her $x\in \mathbb{F}$ için

olur.

Bir $\mathbb{F}$ cismi üzerinde çıkarma işlemi olarak bilinen ve $-$ ile gösterilen işlem ise her $a,b\in \mathbb{F}$ için

şeklinde tanımlanır. Buna göre çıkarma işlemi, toplama işleminin özel bir durumu olarak düşünülebilir. Toplama işleminin aksine çıkarma işlemi, genellikle değişmeli ve birleşmeli değildir.

Bir $\mathbb{F}$ cisminde elemanların çarpımı, genellikle, elemanların yan yana yazılması ile ifade edilir; yani $x\cdot y$ yerine $xy$ yazılır. Biz her iki yazımı da serbestçe kullanacağız. Ayrıca $\mathbb{F}$ cismi için $x\in\mathbb{F}$ ve $x\neq 0$ ise $x^{-1}$ ile gösterilen $x$'in çarpımsal tersi $1/x$ ile de gösterilebilir.

Cisimler pek çok farklı bağlamda karşımıza çıkabilirler. Örneğin rasyonel sayılar $\mathbb{Q}$, reel sayılar $\mathbb{R}$, karmaşık sayılar $\mathbb{C}$, sonlu cisimler $\mathbb{F}_{p^n}$ ve rasyonel fonksiyonlar cismi gibi cisimlerin kendine has uygulama sahaları mevcuttur. Doğrusal cebir, bu uygulama sahalarının çoğunda cisimlerin özelliklerini kullanarak soyut bir çerçeve sunar. Şimdi bir vektör uzayının nasıl tanımlandığını görelim:

Tanımdan da görüldüğü gibi bir vektör uzayı, skalerlerin etki ettiği bir toplamsal değişmeli gruptur.

Bir vektör uzayının elemanlarına genel olarak vektör denir. Vektör uzayları söz konusu olduğunda, iki türlü büyüklük söz konusudur: skaler büyüklük ve vektörel büyüklük. Bir vektörü temsil ederken skalerlerden ayırmak için genellikle vektörleri kalın harflerle göstereceğiz.

• Her $\vek x\in \cv$ için $0\cdot \vek x = \vek 0$.
• Her $a$ skaleri için $a\cdot \vek 0 = \vek 0$.
• Her $a$ skaleri ve $\vek x\in \cv$ için $a\cdot (-\vek x) = (-a)\cdot \vek x=-(a \cdot \vek x)$.
• Her $n$ tamsayısı, $a$ skaleri ve $\vek x\in \cv$ için $(n\cdot a)\cdot \vek x = a\cdot (n\cdot \vek x)=n\cdot (a\cdot \vek x)$.

Bir $\mathbb{F}$ cismi için

kartezyen çarpım kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemlerini her $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n),\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n)\in \mathbb{F}^n$ ve her $a\in \mathbb{F}$ için

şeklinde tanımlarsak, $\mathbb{F}^n$ bir $\mathbb{F}$-uzayı olur. $\mathbb{F}^n$ uzayı, sonlu boyutlu $\mathbb{F}$-uzaylarının tipik bir örneğidir ve pek çok uygulama için kullanışlı bir çatı yapı sunar. Örneğin $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ için, $\mathbb{F}^2$, $2$-boyutlu Öklid uzayıdır ve önemli geometrik yapıları içinde barındırır. Bunlardan biri orijiden geçen doğrular olarak verilebilir. Mesela, $\mathcal{D}=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\}$ kümesi, $y=x$ eşitliği ile temsil edilen birici açıortay doğrusu olarak bilinen doğrudur. Dikkat edilirse $\mathcal{D}$, $\mathbb{R}^2$ uzayının bir alt kümesidir ve $\mathbb{R}^2$ üzerinde tanımlı toplama ve skalerle çarpma işlemleri ile $\mathcal{D}$ de bir $\mathbb{R}$-uzayı olur. Bu tür alt kümelere alt uzay denir.

Aşağıdaki sonuç alt uzayları belirlemek için kullanışlıdır:

Yukarıdaki kriteri kullanarak, alt uzayların keyfi kesişimlerinin de bir alt uzay olduğunu kolayca gösterebiliriz. Buna göre belirli elemanları içeren minimal bir alt uzay bulmak için bu elemanları içeren alt uzayların kesişimini alabiliriz. Örnein, $\mathcal{V}$ uzayının $X=\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ alt kümesini içeren tüm alt uzaylarının kesişimi, $X$ kümesini içeren en küçük alt uzayı verir. Bu alt uzaya $\mathcal{V}$'nin $X$ ile gerilen (veya üretilen) alt uzayı denir ve genellikle $\operatorname{span} X$ veya $\langle X \rangle$ ile gösterilir.

kümesi $\mathcal{V}$'nin bir alt uzayıdır. Bu alt uzaya $\mathcal{W}$ ile $\mathcal{W}'$ uzaylarının toplamı denir. Tümevarım ile iki alt uzayın toplamını, sonlu tane alt uzayın toplamına genişletebiliriz: Örneğin $\mathcal{W}_1,\ldots,\mathcal{W}_k$ alt uzayları için

toplamını tanımlayabiliriz. Daha da genel olarak, bir $I$ indeks kümesi ve $\{\mathcal{W}_i\}_{i\in I}$ alt uzaylar ailesi için

toplamını tanımlayabiliriz. Dikkat edilirse, bu tanım, sonlu sayıda alt uzayın toplamı için verdiğimiz tanımın bir genelleştirmesidir. Daha açık ifade etmek gerekirse, eğer $I=\{1,\ldots,k\}$ ise, o zaman yukarıdaki tanımlar aynı anlama gelir.

Yukarıdaki tanım gereği, bir taban, vektör uzayını geren minimal bir üreteç kümesidir. $X$, $\mathcal{V}$ uzayının bir tabanı olduğunda $X$ kümesinin elemanları $\mathcal{V}$ uzayının lineer bağımsız elemanları olur. Yani $X$ kümesinin her $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ sonlu alt kümesi için

eşitliğinin sağlanması için $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{F}$ katsayılarının hepsinin sıfır olması gerekir. Aksi halde en az bir $a_i$ katsayısı sıfırdan faklı ise --örneğin $a_1\neq 0$ ise--

olacağından $\mathbf{x}_1\in \operatorname{span}\{\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ ve böylece $X\setminus\{\mathbf{x}_1\}$ kümesi $\mathcal{V}$ uzayının bir üreteç kümesi olur. Bu ise $X$ kümesinin minimal olma özelliği ile çelişir.

Bir vektör uzayının lineer bağımsız elemanlarından oluşan bir alt kümesine o vektör uzayının bir lineer bağımsız alt kümesi denir. Aşağıdakiler bir $X=\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ kümesinin lineer bağımsız olması ile eşdeğerdir:

1. $a_1\mathbf{x}_1+\ldots+a_n\mathbf{x}_n=b_1\mathbf{x}_1+\ldots+b_n\mathbf{x}_n$ ise her $1\le i\le n$ için $a_i=b_i$ dir.
2. $a_1\mathbf{x}_1+\ldots+a_n\mathbf{x}_n=\mathbf{0}$ ise her $1\le i\le n$ için $a_i=0$ dir.
3. $\mathbf{x}_1\neq \mathbf{0}$, $\mathbf{x}_2\notin \operatorname{span}\{\mathbf{x}_1\}$, $\mathbf{x}_3\notin \operatorname{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}$, $\ldots$, $\mathbf{x}_n\notin \operatorname{span}\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{n-1}\}$.
4. $Y$ kümesi $\mathcal{V}$'nin lineer bağımsız bir alt kümesi,
5. $\mathcal{V}$'nin $Y$ kümesini içeren $Y$'den farklı her alt kümesi lineer bağımlı ise,

Lineer bağımsız alt kümelerin bir artan zincirinin birleşimi de yine lineer bağımsız bir alt küme verir. Bu nedenle, Zorn LemmasıZorn Lemması: Kısmi sıralı bir kümenin her zincirinin bir üst sınırı varsa bu kısmi sıralı kümenin bir maksimal elemanı vardır ile, her vektör uzayının bir tabana sahip olacağı görülebilir.

Vektör uzayı tabanlarının yukarıdaki teorem ile verilen değişmezlik özelliği boyut kavramını doğurur.

Eğer $\mid X\mid=n<\infty$ ise, $\mathcal{V}$'ye bir $n$-boyutlu vektör uzayı denir. Eğer $\mid X \mid = \infty$ ise, $\mathcal{V}$'ye sonsuz boyutlu vektör uzayı denir.

Bu tabana $\mathbb{F}^n$ uzayının standart tabanı denir.

Aşağıdaki kullanışlı teorem, önceki teoremin doğal bir sonucudur:

Koordinat Kavramı

olacak şekilde $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{F}$ skalerleri bulunabilir. $\{\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_n\}$ kümesi lineer bağımsız olduğundan yukarıdaki eşitlikteki $x_1,\ldots,x_n$ skalerleri tek türlü belirlidir. Bu tek türlü belirli $x_1,\ldots,x_n$ skalerleri, $\mathbf{x}$'in $\mathcal{B}$ tabanına göre koordinatları olarak adlandırılır ve

şeklinde bir koordinat matrisi ile gösterilir.

biçiminde bir sütun matrisidir. Burada akla gelebilecek bir soru $[\mathbf{x}]_\mathcal{B}$ ve $[\mathbf{x}]_\mathcal{C}$ koordinat matrisleri arasında nasıl bir ilişki olduğudur. Bu ilişkiyi bulmak için $\mathbf{c}_i$'lerin $\mathcal{B}$ tabanına göre koordinatlarını bulabiliriz:

yani

olsun. Buna göre

eşitlikleri yazılabilir.

olur. Dolayısıyla $P=[c_{ij}]$ denirse

eşitliği elde edilir. Bu eşitlik sayesinde $\mathcal{B}$ ve $\mathcal{C}$ tabanlarına göre olan koordinatlar arasında geçiş yapabiliriz. Bu nedenle, yukarıdaki gibi elde edilen $P$ matrisine, $\mathcal{C}$ tabanından $\mathcal{B}$ tabanına geçiş matrisi denir. $P$ geçiş matrisi tersinirdir -yani $P\cdot P^{-1}=P^{-1}\cdot P=\mathbb{I}_n$ olacak şekilde bir (ve yalnız bir tek) $P^{-1}$ kare matrisi vardır- ve $P^{-1}$ matrisi de bir geçiş matrisidir: $\mathcal{B}$ tabanına göre olan koordinatları $\mathcal{C}$ tabanına göre olan koordinatlara dönüştürür. Başka bir deyişle,

eşitliği sağlanır.

şeklinde tanımlanan $\phi$ fonksiyonunu ele alalım. (Burada $t$ ile transpoz alma işlemi belirtilmiştir.) Dikkat edilirse, her $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathcal{V}$ için

olur. Buna göre $\phi$, $\mathcal{V}$ uzayındaki vektörleri, cebirsel yapıyı koruyarak, $\mathbb{F}^n$ uzayına taşıyan bir dönüşümdür. Böyle dönüşümlere lineer dönüşümler denir.

Dikkat edilirse, yukarıdaki $\phi$ fonksiyonu, bir izomorfizmadır. Buna göre her $n$-boyutlu $\mathbb{F}$-uzayı, $\mathbb{F}^n$ uzayına izomorftur.

Her $a\in\mathbb{F}$ ve $\phi,\psi\in\mathscr{L}(\mathcal{V},\mathcal{W})$ için

şeklinde tanımlanan işlemler ile $\mathscr{L}(\mathcal{V},\mathcal{W})$, bir $\mathbb{F}$-uzayı olur. Bu uzaya lineer dönüşümler uzayı denir. $\mathscr{L}(\mathcal{V},\mathcal{W})$ lineer dönüşümler uzayının sıfır elemanı,

şeklinde tanımlanan dönüşümdür.

şeklinde bir $A$ matrisi vardır. Burada $A$, sütunları $\phi(\mathbf{b}_1),\ldots,\phi(\mathbf{b}_n)$'in $\mathcal{C}$ tabanına göre koordinat matrisleridir. Yani

şeklinde bir $m\times n$ matrisidir. Bu $A$ matrisi $\phi$'nin $(\mathcal{B},\mathcal{C})$ taban çiftine göre matris temsili olarak adlandırılır ve $\mathcal{M}_{\phi}^{\mathcal{B},\mathcal{C}}$ ile gösterilir.

1. $\phi:\cv\to\cw$ lineer dönüşümü, aynı zamanda, her $\vek x\in\cv$ için $[\phi(\vek x)]_\mathcal{C}= \mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}}\cdot [\vek x]_\cb$ eşitliğini sağlar.
2. Eğer $A\in\ff^{m\times n}$ ise her $\vek x\in\cv$ için $[\phi(\vek x)]_\mathcal{C}= A\cdot [\vek x]_\cb$ olacak şekilde tanımlı bir $\phi:\cv\to\cw$ lineer dönüşümü vardır ve bu $\phi$ dönüşümünün matris temsili $\mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}}=A$ olur.
3. Özel olarak her $\phi:\ff^n\rightarrow\ff^m$ lineer dönüşümü, bir $m\times n$ matrisi ile temsil edilebilir. Eğer her iki vektör uzayının da standart tabanları kullanılırsa, $\phi$ dönüşümünün matris temsili, $\ff^n$'nin $i$-inci standart taban vektörü $\vek e_i$ için $\phi(\vek e_i)$'nin $i$-yinci sütuna yerleştirildiği $m\times n$ matristir.
4. Tersine, her $A\in\ff^{m\times n}$ matrisine karşılık gelen bir $\phi:\ff^n\rightarrow\ff^m$ lineer dönüşümü vardır.
5. Kolayca görülebilir ki her $a\in\ff$ ve $\phi,\psi\in\mathscr{L}(\cv,\cw)$ için$$\begin{equation*} \mathcal{M}_{\phi+\psi}^{\cb,\mathcal{C}} = \mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}} + \mathcal{M}_{\psi}^{\cb,\mathcal{C}},\quad \mathcal{M}_{a\cdot\phi}^{\cb,\mathcal{C}} = a\cdot \mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}} \end{equation*}$$

   eşitlikleri sağlanır. Dolayısıyla

   $$\begin{align*} \Phi:\mathscr{L}(\cv,\cw) &\to \ff^{m\times n} \\ \phi &\mapsto \mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}} \end{align*}$$

   dönüşümü bir lineer dönüşümdür. Öte yandan $\Phi$ dönüşümünün birebir ve örten olduğu kolayca görülebilir. Dolayısıyla $\Phi$ bir izomorfizmadır. Bu nedenle $\mathscr{L}(\cv,\cw)$ uzayı, $\ff^{m\times n}$ matrisler uzayına izomorftur. Özel olarak $\dim_\ff(\mathscr{L}(\cv,\cw)) = n \cdot m$ olur.

6. Eğer $\phi:\cv\to\cw$ lineer dönüşümü birebir ise, $\mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}}$ matrisinin sütunları lineer bağımsızdır. Buna göre $\mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}}$ matrisinin rankı $n$ olur.
7. Eğer $\phi$ bir izomorfizma ise $n=m=\rank(\mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}})$ ve böylece $\mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}}$ matrisi tersinirdir. Ayrıca, bu durumda, $$\left(\mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}}\right)^{-1}=\mathcal{M}_{\phi^{-1}}^{\mathcal{C},\cb}$$olur.
8. %Taban değişimi altında temsil matrisleri arasındaki ilişki. Eğer $\phi:\cv\to\cw$ lineer dönüşümü $(\cb,\mathcal{C})$ taban çiftine göre $\mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}}$ matrisine sahipse, $\phi$'nin$(\cb',\mathcal{C}')$ taban çiftine göre matris temsili $$\begin{equation*} \mathcal{M}_{\phi}^{\cb',\mathcal{C}'} = P\cdot \mathcal{M}_{\phi}^{\cb,\mathcal{C}} \cdot Q\end{equation*}$$

   eşitliğini sağlar. Burada $P$ ve $Q$ matrisleri, sırasıyla, $\mathcal{C}$ tabanından $\mathcal{C}'$ tabanına ve $\cb'$ tabanından $\cb$ tabanına geçiş matrisleridir.

Kolayca görülebilir ki $\ker(\phi)$, $\cv$ uzayının, $\im(\phi)$ ise $\cw$ uzayının bir alt uzayıdır.

bir alt grubu olduğundan $\mathcal{V}/\mathcal{W}$ bölüm grubu tanımlıdır. Buna göre $\mathcal{V}/\mathcal{W}$, $\mathcal{W}$'nun $\mathcal{V}$ içindeki kosetlerinin kümesidir:

Ayrıca her $\mathbf{x} + \mathcal{W},\mathbf{y} + \mathcal{W}\in\mathcal{V}/\mathcal{W}$ için

olur.

şeklinde bir skalerle çarpma işlemi tanımlanırsa, $\mathcal{V}/\mathcal{W}$ bir $\mathbb{F}$-uzayı olur.

her $\mathbf{x}\in\mathcal{V}$ için $\phi(\mathbf{x}) = \mathbf{x} + \mathcal{W}$ şeklinde tanımlı örten bir lineer dönüşüm vardır. Bu dönüşümün çekirdeği $\mathcal{W}$ alt uzayıdır. Özel olarak bu dönüşüme bir doğal izdüşüm denir.

şeklinde tanımlayarak yeni bir $\mathbb{F}$-uzayı elde edebiliriz. Bu uzaya $\mathcal{V}_1,\ldots,\mathcal{V}_k$ uzaylarının dik çarpımı denir. Zermelo-Freankel küme teorisi çerçevesinde, seçme aksiyomunu kabul ederek, dik çarpım uzaylarını keyfi sayıda $\mathbb{F}$-uzayı için de tanımlayabiliriz. Yani $\{\mathcal{V}_i\}_{i\in I}$, $\mathbb{F}$-uzaylarının bir ailesi ise

kümesi boştan farklıdır ve her $f,g\in\prod_{i\in I}\mathcal{V}_i$ ve $a\in\mathbb{F}$ için

şeklinde tanımlı işlemlerle, $\prod_{i\in I}\mathcal{V}_i$ kümesi bir $\mathbb{F}$-uzayı olur. Bu uzaya $\{\mathcal{V}_i\}_{i\in I}$ ailesinin dik çarpım uzayı denir. Bu noktada, $\prod_{i\in I}\mathcal{V}_i$ kümesinin elemanları olarak $I$ indeksi üzerinden tanımlanan fonksiyonları daha kullanışlı bir gösterim ile değiştirebiliriz: $f\in\prod_{i\in I}{\mathcal{V}_i}$ olmak üzere her $i\in I$ için $x_i=f(i)\in \mathcal{V}_i$ olarak tanımlarsak,

eşitlikleri yazılabilir.

Her $j\in I$ için

alt uzayı tanımlansın. Buna göre

• $\sum_{i\in I} \cv'_i = \bigoplus_{i\in I} \cv_i$,
• Her $j\in I$ için $\cv_j \cap \cv'_j = \{\vek 0\}$

olduğu görülür. Bu özellikler, bir dik toplam uzayı için belirleyici niteliktedir. Daha açık söylemek gerekirse, eğer bir $\cv$ vektör uzayı için

1. $\cv = \sum_{i\in I} \cv_i$ ve
2. Her $j\in I$ için $$\cv_j \cap \left(\sum_{\substack{i\in I \\ i\neq j}} \cv_i\right) = \{\vek 0\}$$

olacak şekilde $\cv$'nin bir $\{\cv_i\}_{i\in I}$ alt uzay ailesi varsa o zaman $\cv$ uzayı bir dik toplam uzayına izomorf olur.

Gerçekten,

tanımlanırsa (1) koşulu ile $\phi$, $\cv$'nin her elemanı için tanımlıdır. (2) koşulu ile de $\phi$ iyi tanımlı olur. Öte yandan $\phi$'nin birebir oluşu, tümüyle, $\prod_{i\in I} \cv_i$ uzayının elemanlarının yapısı ile ilgilidir. Son olarak, $\im(\phi)=\bigoplus_{i\in I} \cv_i$'dir. Bu durumda $\cv$'yi $\im(\phi)$ ile özdeşleştirerek onu bir dik toplam uzayı olarak değerlendirebiliriz ve buna mukabil $\cv = \bigoplus_{i\in I} \cv_i$ yazabiliriz. Bu yazım bazı kaynaklarda bir iç dik toplam olarak anılır. Aynı kaynaklar ( \ref{eq:dir_sum} ) ile tanımlanan dik toplamı da dış dik toplam olarak adlandırır. Biz bu iki dik toplamı birbirinden ayırt etmeden her ikisini de sadece dik toplam şeklinde ifade edeceğiz.

O zaman $\cv = \bigoplus_{i\in I} \cv_i$ ancak ve ancak

1. $\cb_j\cap\left(\bigcup_{\substack{i\in I \\ i\neq j}} \cb_i\right) = \emptyset$ ve
2. $\bigcup_{i\in I} \cb_i$ kümesi $\cv$'nin bir tabanıdır.

Özel olarak $\cv$ uzayının bir $\cb$ tabanı için $\cb = \cb_1 \cup \cb_2$ ve $\cb_1\cap\cb_2=\emptyset$ ise $\cv_1 = \langle \cb_1 \rangle$ ve $\cv_2 = \langle \cb_2 \rangle$ olmak üzere $\cv = \cv_1 \oplus \cv_2$ olur.

Öte yandan her $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ için

olduğundan $\mathbb{F}^{n\times n} = \text{Sym}_n(\mathbb{F}) + \text{ASym}_n(\mathbb{F})$ eşitliğini yazabiliriz. Ayrıca $\text{Sym}_n(\mathbb{F})\cap \text{ASym}_n(\mathbb{F}) = \{\mathbf{0}_{n\times n}\}$ olduğundan $\mathbb{F}^{n\times n} = \text{Sym}_n(\mathbb{F}) \oplus \text{ASym}_n(\mathbb{F})$ olur.

Yukarıdaki örneği genelleştirerek, her $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ matrisi için $A = \frac{1}{2}(A+A^t) + \frac{1}{2}(A-A^t)$