Sonlu Cisimler

Cisim Kavramı

$F$ boş olmayan bir küme olsun. $F$ üzerinde bir **ikili işlem** denilince $F\times F\longrightarrow F$ biçiminde bir fonksiyon kastedilir. Örneğin $F$ üzerinde $\star$ ile gösterdiğimiz bir ikili işlemi $$\star: F\times F \longrightarrow F, \quad (a,b) \longmapsto a\star b$$

şeklinde bir fonksiyon olarak tanımlarız.

Tanım 3.1: Cisim

$F$ boş olmayan bir küme olsun. $F$'nin elemanları arasında $+$ ve $\cdot$ ile göstereceğimiz, sırasıyla toplama ve çarpma adında, iki tane ikili işlem tanımlanmış olsun. $(F,+,\cdot)$ üçlüsü aşağıdaki koşulları sağlıyorsa, bu üçlüye bir **cisim** denir:

Her $a,b,c\in F$ için;

Kapalılık: $a+b, a\cdot b\in F.$
Değişme özelliği: $a+b=b+a$ ve $a\cdot b=b\cdot a.$
Birleşme özelliği: $(a+b)+c=a+(b+c)$ ve $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.$
Dağılma özelliği: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.$
Birim eleman: $F$ içinde toplamsal ve çarpımsal birim olarak anılan ve, sırasıyla, $0$ ve $1$ olarak gösterilen aşağıdaki özelliklere sahip birbirinden farklı iki eleman vardır:
1. $a+0=a;$
2. $a\cdot 1=a;$
3. $a+(-a)=0$ olacak şekilde $F$'nin bir "$-a$" elemanı vardır;
4. $a\neq 0$ ise $a\cdot a^{-1}=1$ olacak şekilde $F$'nin bir $a^{-1}$ elemanı vardır.

Yukarıdaki tanımda yer alan $a\cdot b$ ifadesi yerine genellikle daha basit olan $ab$ gösterimini, $F\backslash\{0\}$ kümesi yerine de $F^{*}$ gösterimini kullanacağız. Tanımdan kolayca görülebilir ki $F^{*}$ kümesi $F$'deki çarpma işlemine göre bir Abelyan gruptur.

$F$'nin toplamsal ve çarpımsal birimleri olan $0$ ve $1$ elemanları tektir. Bunları bazen $0_{F}$ ve $1_{F}$ şeklinde göstereceğiz. $a,b\in F$ için $a+(-b)$ toplamı yerine $a-b$ ifadesini kullanacağız. Bu, $F$ üzerinde **çıkarma** adı verilen yeni bir işlem tanımlar.

Örnek 3.18: Cisim Örnekleri

(i) İyi bilinen cisimler arasında $\mathbb{Q}$ (rasyonel sayılar cismi), $\mathbb{R}$ (reel sayılar cismi) ve $\mathbb{C}$ (karmaşık sayılar cismi) sayılabilir. Ancak, sonsuz eleman içeriyor olmalarından ötürü biz bu cisimlerle ilgilenmeyeceğiz.

(ii) $\mathbb{Z}_{2}$ ile gösterdiğimiz $\{0,1\}$ kümesi, aşağıdaki gibi tanımlanan işlemlerle birlikte bir cisimdir.

$+$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

$\times$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$

$\mathbb{Z}_{2}$ sahip olabileceğimiz en küçük cisimdir!

Lemma 3.1: Cisim Özellikleri

$F$ bir cisim ve $a,b\in F$ olsun. Buna göre

$a\cdot 0=0;$
$-(ab)=(-a)b=a(-b).$ Özel olarak $(-1)\cdot a=-a;$
$ab=0$ ise $a=0$ veya $b=0.$

Cisimlere örnek verirken $\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots\}$ tamsayılar kümesini saymadığımıza dikkat ediniz. Gerçekten tamsayılar kümesi cisim aksiyomlarından sıfırdan farklı her elemanın tersinin olması koşulunu sağlamamaktadır. Ancak yine de tamsayılar üzerinde bir cebirsel yapı mevcuttur. Bu yapılara halka diyeceğiz.

Tanım 3.2: Modüler Denklik

$a,b$ ve $m$ ($m>1$) birer tamsayı olsun. Eğer $m$ sayısı $a-b$ sayısını böler ise (sembolik olarak, $m\mid a-b$)

"$a$, $b$'ye $m$ modülüne göre denktir"

denir ve

$$a\equiv b\ (\text{mod}\ m)$$

şeklinde gösterilir.

Örnek 3.19: Modüler Denklik Örnekleri

$25\equiv 7\ (\text{mod}\ 9)$
$x\equiv 0\ (\text{mod}\ m) \iff m\mid x$
$x\equiv 0\ (\text{mod}\ 2) \iff x$ çift sayı
$x\equiv 1\ (\text{mod}\ 2) \iff x$ tek sayı

Teorem 3.2: Bölme Algoritması

$a$ ve $m$ ($m>1$) birer tamsayı ise $a=mq+r$ ve $0\le r<m$ olacak şekilde $q$ ve $r$ tamsayıları bulunabilir.

Herhangi bir $a$ tamsayısı, $m$ modülüne göre $0,1,\ldots,m-1$ sayılarından bir ve yalnız birine denktir. Buradaki $r$ sayısına $a$'nın $m$ ile bölümünden kalan denir. $r$ kalanını $(a\ (\text{mod}\ m))$ şeklinde göstereceğiz.

Bir $m>1$ tamsayısı için $m$ modülüne göre tüm kalanların kümesini, yani $\{0,1,\ldots,m-1\}$ kümesini $\mathbb{Z}_{m}$ veya $\mathbb{Z}/(m)$ şeklinde göstereceğiz. $\mathbb{Z}_{m}$ kümesinin elemanları arasında $\oplus$ ve $\otimes$ ile göstereceğimiz iki tane işlem aşağıdaki gibi tanımlansın:

$$a\oplus b = (a+b\ (\text{mod}\ m))$$ $$a\otimes b = (ab\ (\text{mod}\ m))$$

Kolayca görülebilir ki bu işlemlerle birlikte $\mathbb{Z}_{m}$ kümesi bir halkadır. Bundan sonra $\mathbb{Z}_{m}$ halkası üzerindeki $\oplus$ ve $\otimes$ işlemlerini sırasıyla $+$ ve $\cdot$ şeklinde göstereceğiz.

Örnek 3.20: $\mathbb{Z}_4$ Halkası

$m=4$ alarak dört elemanlı $\mathbb{Z}_{4}$ halkasını tanımlayabiliriz. $\mathbb{Z}_{4}$ halkası için toplam ve çarpım tabloları aşağıdaki gibi verilebilir:

$+$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0$	$1$	$2$	$3$
$1$	$1$	$2$	$3$	$0$
$2$	$2$	$3$	$0$	$1$
$3$	$3$	$0$	$1$	$2$

$\cdot$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2$	$0$	$2$	$0$	$2$
$3$	$0$	$3$	$2$	$1$

Dikkat edilirse $\mathbb{Z}_{4}$ halkası cisim değildir. Çünkü çarpım tablosundan da görülebileceği gibi $2$ elemanının çarpımsal tersi yoktur.

Teorem 3.3: $\mathbb{Z}_m$ Cisim Olma Koşulu

$\mathbb{Z}_{m}$ halkası bir cisimdir ancak ve ancak $m$ bir asal sayıdır.

Kanıt

Kabul edelim ki $m$ bir asal sayı olmasın. Bu durumda $m=ab$ olacak şekilde $1<a,b<m$ sayıları bulunabilir. Böylece $\mathbb{Z}_{m}$ içinde $a\neq 0$ ve $b\neq 0$ olduğu halde $0=m=a\cdot b$ olacağından $\mathbb{Z}_{m}$ cisim olamaz.

Şimdi $m$ bir asal sayı olsun. Bir $a\in\mathbb{Z}_{m}$ için $0<a<m$ olduğundan $a$ ile $m$ aralarında asaldır. Buna göre $ua+vm=1$ olacak şekilde $u$ ve $v$ tamsayıları vardır. Böylece $ua\equiv 1\ (\text{mod}\ m)$ elde edilir. Dolayısıyla $u=a^{-1}$, yani $a$ elemanının $\mathbb{Z}_{m}$ içinde bir çarpımsal tersi vardır.

$R$ bir halka ve $n\ge 1$ tamsayı ise her $a\in R$ için $$n\cdot a=\begin{cases} \overset{n\text{ tane}}{\overbrace{a+a+\cdots+a}}, & n>0\\ 0, & n=0\\ \underset{-n\text{ tane}}{\underbrace{(-a)+(-a)+\cdots+(-a)}}, & n<0 \end{cases}$$

Lemma 3.4: Halka Elemanlarının Tamsayı Katları

$R$ bir halka, $m,n\in\mathbb{Z}$ ve $a,b\in R$ olsun. Buna göre

$m\cdot a=(m\cdot 1_{R})a.$
$(m\cdot a)(n\cdot b)=(mn)\cdot(ab).$ Özel olarak, $(mn)\cdot 1_{R}=(m\cdot 1_{R})(n\cdot 1_{R}).$
$(mn)\cdot a=m\cdot(n\cdot a)=n\cdot(m\cdot a).$
$(m+n)\cdot a=m\cdot a+n\cdot a.$
$n\cdot(a+b)=n\cdot a+n\cdot b.$

Tanım 3.3: Karakteristik

$F$ bir cisim olsun. Eğer $n\cdot 1_{F}=0$ olacak şekilde bir $n$ pozitif tamsayısı varsa bu $n$ sayılarının en küçüğüne $F$ cisminin karakteristiği denir. Eğer böyle bir $n$ sayısı bulunamaz ise o zaman $F$ cisminin karakteristiği sıfırdır diyeceğiz.

$F$ bir cisim ve $n$ bir pozitif tamsayı ise $n\cdot 1_{F}=0$ ancak ve ancak her $a\in F$ için $n\cdot a=0$ dır.

$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ve $\mathbb{C}$ cisimlerinin karakteristiği sıfırdır. $p$ bir asal sayı olmak üzere $\mathbb{Z}_{p}$ cisminin karakteristiği $p$ dir.

Teorem 3.5: Karakteristik Asal Sayıdır

Bir cismin karakteristiği ya sıfırdır ya da bir asal sayıdır.

Polinom Halkaları

Tanım 3.4: Polinom Halkası

$F$ bir cisim olsun. $$F[x]=\left\{\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}:a_{i}\in F,\ n\geq 0\right\}$$

kümesine $F$ üzerindeki polinom halkası adı verilir. $F[x]$ kümesinin her elemanına bir polinom denir. $P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ polinomu için $a_{n}\neq 0$ ise $n$ sayısına $P(x)$ polinomunun derecesi denir ve $\text{der}(P(x))=n$ şeklinde yazılır.

$a_{0}$ katsayısına $P(x)$'in sabit terimi
$a_{n}$ katsayısına $P(x)$'in başkatsayısı
$a_{n}=1$ ise $P(x)$ bir monik polinom
Pozitif dereceli bir $P(x)$ için $P(x)=f(x)g(x)$ olacak şekilde dereceleri $P(x)$'in derecesinden küçük sabit olmayan polinomlar bulunabiliyor ise $P(x)$'e $F$ üzerinde indirgenebilir polinom
Aksi halde $P(x)$'e $F$ üzerinde indirgenemez polinom

Örnek 3.21: Polinom Örnekleri

$P(x)=x^{4}+2x^{3}+2x+2\in\mathbb{Z}_{3}[x]$ polinomunun derecesi $4$'tür. $P(x)$, $\mathbb{Z}_{3}$ üzerinde bir indirgenebilir polinomdur çünkü $P(x)=(x^{2}+1)(x^{2}+2x+2)$ yazılabilir.
$g(x)=1+x+x^{2}\in\mathbb{Z}_{2}[x]$ polinomu derecesi $2$ olan bir indirgenemez polinomdur.
$1+x+x^{3}$ ve $1+x^{2}+x^{3}$ polinomları $\mathbb{Z}_{2}$ üzerinde indirgenemezdir.

Teorem 3.6: Polinomlar için Bölme Algoritması

$F$ bir cisim ve $f(x),g(x)\in F[x]$ ile $g(x)\neq 0$ olsun. Bu durumda $$f(x)=g(x)q(x)+r(x)\qquad r(x)=0\quad\text{ ya da }\quad\mathrm{der}(r(x))<\mathrm{der}(g(x))$$

olacak şekilde tek türlü belirlenen $q(x),r(x)\in F[x]$ polinomları vardır.

Tanım 3.5: En Büyük Ortak Bölen

$F$ bir cisim ve $P(x),Q(x)\in F[x]$ olsun.

Eğer bir $T(x)\in F[x]$ polinomu için $P(x)=T(x)S(x)$ olacak şekilde bir $S(x)\in F[x]$ polinomu varsa bu durumda $T(x)$, $P(x)$'i böler denir ve $T(x)\mid P(x)$ şeklinde gösterilir.
$P(x)$ ve $Q(x)$ polinomlarını ortak olarak bölen en büyük dereceli monik polinoma, $P(x)$ ve $Q(x)$ polinomlarının en büyük ortak böleni denir ve $(P(x),Q(x))$ ile gösterilir. Eğer $(P(x),Q(x))=1$ ise "$P(x)$ ile $Q(x)$ aralarında asaldır" denir.
Hem $P(x)$'in hem de $Q(x)$'in katı olan en küçük dereceli monik polinoma $P(x)$ ve $Q(x)$ polinomlarının en küçük ortak katı denir ve $[P(x),Q(x)]$ ile gösterilir.

Teorem 3.7: Euclid Algoritması

$$\begin{array}{l} P(x) = Q(x)t_{1}(x)+r_{1}(x), \quad \text{der}(r_{1}(x))<\text{der}(Q(x)) \\ Q(x) = r_{1}(x)t_{2}(x)+r_{2}(x), \quad \text{der}(r_{2}(x))<\text{der}(r_{1}(x)) \\ \vdots \\ r_{n-2}(x) = r_{n-1}(x)t_{n}(x)+r_{n}(x), \quad r_{n}(x)=0 \end{array}$$

Buna göre $r_{n-1}(x)$'in başkatsayısı $c$ ise $(P(x),Q(x))=c^{-1}r_{n-1}(x)$ olur.

Örnek 3.22: Euclid Algoritması Örneği

$\mathbb{Z}_{2}[x]$ halkasında, $x^{5}+x^{4}+x^{2}+1$ ile $x^{3}+x^{2}+x$ polinomlarının en büyük ortak bölenini Euclid Algoritması'nı kullanarak hesaplayalım: $$\begin{array}{l} x^{5}+x^{4}+x^{2}+1 = (x^{3}+x^{2}+x)(x^{2}+1)+x+1 \\ x^{3}+x^{2}+x = (x+1)(x^{2}+1)+1 \\ x+1 = 1(x+1)+0 \end{array}$$

olacağından $(x^{5}+x^{4}+x^{2}+1\ ,\ x^{3}+x^{2}+x)=1$ elde edilir. Yani verilen polinomlar aralarında asaldır.

Teorem 3.8: $F[x]/(P(x))$ Cisim Olma Koşulu

$F$ bir cisim ve $P(x)\in F[x]$ bir polinom olsun. $F[x]/(P(x))$ halkası bir cisimdir ancak ve ancak $P(x)$ polinomu $F$ üzerinde indirgenemezdir.

Örnek 3.23: Dört Elemanlı Cisim İnşası

$\mathbb{Z}_{2}[x]/(x^{2}+x+1)=\{0,1,x,1+x\}$ halkasını ele alalım. $x^{2}+x+1$ polinomu $\mathbb{Z}_{2}$ üzerinde indirgenemez olduğundan bu halka bir cisim olur.

$+$	$0$	$1$	$x$	$1+x$
$0$	$0$	$1$	$x$	$1+x$
$1$	$1$	$0$	$1+x$	$x$
$x$	$x$	$1+x$	$0$	$1$
$1+x$	$1+x$	$x$	$1$	$0$

$\cdot$	$0$	$1$	$x$	$1+x$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$x$	$1+x$
$x$	$0$	$x$	$1+x$	$1$
$1+x$	$0$	$1+x$	$1$	$x$

Bu tablolar $\mathbb{Z}_{4}$ halkasının işlem tablolarından farklıdır.

Altcisim ve Eşyapılılık

Tanım 3.6: Altcisim

$E$ ve $F$ iki cisim ve $E\subseteq F$ olsun. Eğer $F$ üzerindeki toplama ve çarpma işlemleri $E$'ye kısıtlandığında, $E$ üzerindeki toplama ve çarpma işlemleri ile aynı oluyorsa $E$ cismine $F$'nin bir altcismi denir.

Örneğin $\mathbb{Q}$ rasyonel sayılar cismi, hem $\mathbb{R}$ reel sayılar cisminin, hem de $\mathbb{C}$ karmaşık sayılar cisminin bir altcismidir. Ayrıca $\mathbb{R}$ de $\mathbb{C}$'nin bir altcismidir.

Lemma 3.9: Altcisim Kriteri

$F$ bir cisim ve $E\subseteq F$ olsun. Buna göre $E$, $F$'nin bir altcismidir ancak ve ancak $1_{F}\in E$ ve her $a,b\in E$ ($b\neq 0$) için $a-b, ab^{-1}\in E$ dir.

Tanım 3.7: Eşyapılı Cisimler

$E$ ve $F$ iki cisim olsun. $E$'den $F$'ye birebir ve örten $f:E\rightarrow F$ dönüşümü tanımlanabiliyor olsun. Eğer her $x,y\in E$ için $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ve $f(xy)=f(x)f(y)$ ise $E$ ve $F$ cisimleri için eşyapılı cisimler denir. Bu durumda $f$ dönüşümüne de bir eşyapı dönüşümü diyeceğiz.

Teorem 3.10: Asal Altcisim

$F$, karakteristiği $p$ olan bir cisim olsun. Buna göre $F$'nin $p$ elemanlı bir altcismi vardır. Bu altcisim $\mathbb{Z}_{p}$ ile eşyapılıdır. $F$'nin bu altcismine asal altcismi denir.

Teorem 3.11: Sonlu Cisim Eleman Sayısı

$F$ karakteristiği $p$ olan bir sonlu cisim ise $F$'nin, bir $n\ge 1$ tamsayısı için, $p^{n}$ tane elemanı vardır.

$F$ bir cisim ve $P(x)\in F[x]$ derecesi $n$ olan bir indirgenemez polinom olsun.
Bundan sonra $F[x]/(P(x))$ cisminin elemanlarını yazarken $x$ yerine $\alpha$ gibi bir eleman kullanacağız.
$F[x]/(P(x))=\underset{F(\alpha)}{\underbrace{\{a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}:a_{0},\ldots,a_{n-1}\in F\}}}$
Her $a\in F$ için $a=a+0\alpha+\cdots+0\alpha^{n-1}$ kabul ederek $F\subseteq F(\alpha)$ alabiliriz.
$P(\alpha)=0$.
Eğer $F=\mathbb{Z}_{p}$ ise $|F(\alpha)|=p^{n}$.

Sonlu Cisimlerin Yapısı

Teorem 3.12: Sonlu Cismin Varlığı ve Tekliği

(i) $p^{n}$ elemanlı bir sonlu cisim vardır.

(ii) $p^{n}$ elemanlı iki sonlu cisim eşyapılıdır.

Yukarıdaki teoremden dolayı, $p^{n}$ elemanlı sonlu cisim için $\mathbb{F}_{p^{n}}$ veya $GF(p^{n})$ (Galois cismi) gösterimi kullanılır.

Önerme 3.13

$d,n>0$ iki tamsayı ve $p$ bir asal sayı olsun. $d\mid n$ ancak ve ancak $\mathbb{F}_{p^{d}}\subseteq\mathbb{F}_{p^{n}}$.

Teorem 3.14: Sonlu Cismin Çarpımsal Grubu

$F$ sonlu bir cisim ise $F^{*}$ çarpımsal grubu devirlidir.

Tanım 3.8: İlkel Eleman

$F$ sonlu bir cisim olsun. $F^{*}$ grubunun bir üretecine $F$'nin bir ilkel elemanı denir.

Örnek 3.24: $\mathbb{F}_4$ Cismi

$\alpha$, $x^2+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$ polinomunun bir kökü olmak üzere $\mathbb{F}_{4}=\mathbb{F}_{2}(\alpha)$ olsun. Bu durumda:

$\alpha^{2}=\alpha+1$ (çünkü $\alpha^{2}+\alpha+1=0$)
$\alpha^{3}=\alpha\cdot\alpha^{2}=\alpha(\alpha+1)=\alpha^{2}+\alpha=1$
olur. Böylece $\mathbb{F}_{4}^{*}=\{1,\alpha,\alpha^{2}\}=\langle\alpha\rangle$ olur. Yani $\alpha$ ilkel bir elemandır. Bener şekilde $\alpha+1$ elemanının da bir ilkel eleman olduğu gösterilebilir. Buna göre ilkel eleman tek olmak zorunda değildir.

Zech Logaritma Tablosu

$$\alpha^{i}+1=\alpha^{z(i)}$$

eşitliği ile tanımlanan $z(i)$ değerlerini karşılık getiren tabloya Zech Logaritma Tablosu denir. (Burada $\alpha^{\infty}=0$ olarak alınacaktır.)

Örnek 3.25: $\ff_{27}$'nin Zech Logaritma Tablosu

$\alpha$, $x^{3}+2x+1\in\mathbb{F}_{3}[x]$ polinomunun bir kökü olsun. $x^{3}+2x+1$, $\mathbb{F}_{3}$ üzerinde indirgenemez olduğundan $\mathbb{F}_{27}=\mathbb{F}_{3}(\alpha)$ olur. $\alpha$, $\mathbb{F}_{27}$ cisminin bir ilkel elemanıdır. Buna göre aşağıdaki Zech Logaritma tablosunu inşa edebiliriz.

$i$	$z(i)$	$i$	$z(i)$
$\infty$	0	12	2
0	13	13	$\infty$
1	9	14	16
2	21	15	25
3	1	16	22
4	18	17	20
5	17	18	7
6	11	19	23
7	4	20	5
8	15	21	12
9	3	22	14
10	6	23	24
11	10	24	19
		25	8

Minimal Polinomlar

Gözlem

$q$ bir asal sayı kuvveti ve $m>0$ bir tamsayı olsun. O zaman $\mathbb{F}_{q}\subseteq\mathbb{F}_{q^{m}}$ olur.
Her $\alpha\in\mathbb{F}_{q^{m}}$ için $\alpha^{q^{m}}=\alpha$ olduğundan $\alpha$, $x^{q^{m}}-x\in\mathbb{F}_{q}[x]$ polinomunun bir köküdür.
Her $\alpha\in\mathbb{F}_{q^{m}}$ elemanı, $\mathbb{F}_{q}$ üzerindeki bir polinomun köküdür.

Tanım 3.9: Minimal Polinom

$F$ bir cisim, $E$ ise $F$'nin bir genişlemesi olsun. $\alpha\in E$ için, $\alpha$'yı kök alan $F[x]$'teki en küçük dereceli monik polinoma $\alpha$'nın $F$ üzerindeki minimal polinomu denir ve $m_{\alpha}(x)$ ile gösterilir.

Teorem 3.15: Minimal Polinom Özellikleri

$\alpha\in\ff_{q^m}$ olsun. $\alpha$'nın $\mathbb{F}_{q}$ üzerindeki minimal polinomu $m_{\alpha}(x)$ olsun. Aşağıdakiler sağlanır:

$m_{\alpha}(x)$, $\mathbb{F}_{q}$ üzerinde indirgenemezdir.
$f(\alpha)=0$ olan her $f(x)\in \mathbb{F}_{q}[x]$ için $m_{\alpha}(x)\mid f(x)$ olur.
$m_{\alpha}(x)$ tek türlü belirlenir.
Eğer bir $M(x)\in\mathbb{F}_{q}[x]$ monik indirgenemez polinomunun bir kökü $\alpha\in\mathbb{F}_{q^{m}}$ ise o zaman $M(x)$ polinomu $\alpha$'nın $\mathbb{F}_{q}$ üzerindeki minimal polinomudur.

Not 3.1: Önemli

Minimal polinomlar, sonlu cisimlerin yapısını anlamada ve özellikle devirli kodların inşasında temel rol oynar.

Örnek 3.26

$x^{2}+x+1\in\mathbb{F}_{2}[x]$ polinomunun bir kökü $\alpha$ olsun. Buna göre $x^{2}+x+1$ polinomu, $\alpha$'nın $\mathbb{F}_{2}$ üzerindeki bir minimal polinomudur. Ayrıca $x^{2}+x+1$, $\alpha+1$ elamanın

da bir minimal polinomudur.

Tanım 3.10: Dairesel Koset

$n$ ile $q$ aralarında asal pozitif tamsayılar olsun. $$C_{i}=\{(i\cdot q^{j}\pmod{n}):j=0,1,\ldots\}$$

ile tanımlanan kümeye $q$'nun $n$ modülüne göre $i$'yi içeren dairesel koseti (cyclotomic coset) adı verilir.

Eğer $C_{i_{1}},\ldots,C_{i_{t}}$ dairesel kosetleri birbirinden farklı ve

$$C_{i_{1}}\cup\ldots\cup C_{i_{t}}=\mathbb{Z}_{n}$$

ise $\{i_{1},\ldots,i_{t}\}$ kümesine $q$'nun $n$ modülüne göre dairesel kosetlerinin bir tam temsilci kümesi denir.

$$C_{i}=\{(i\cdot q^{j}\pmod{n}):j=0,1,\ldots\}$$

$0\le i\le n-1$ almak yeterlidir.
Euler Teoremi gereğince $q^{s}\equiv1\pmod n$ olacak şekilde $s>0$ tamsayısı var.
Her $0\le i\le n-1$ için $C_{i}$ sonludur.
$0\le i_{1},i_{2}\le n-1$ için $C_{i_{1}}\neq C_{i_{2}}$ ise $C_{i_{1}}\cap C_{i_{2}}=\emptyset$.
Ayrıca
$$\bigcup_{0\le i\le n-1}C_{i}=\mathbb{Z}_{n}.$$
$k\in C_{i}\iff C_{i}=C_{k}$.

📝 Ödev 3.1 (MTK698-2026) | ⏰ Son Teslim: 09.03.2026 00:00

$2$'nin $15$ modülüne göre dairesel kosetlerini bulunuz.
$3$'ün $26$ modülüne göre dairesel kosetlerini bulunuz.

Teorem 3.16

$\alpha\in\mathbb{F}_{q^{m}}$ bir ilkel eleman ve $C_{i}$, $q$'nun $q^{m}-1$ modülüne göre $i$'yi içeren dairesel koseti olsun. Buna

göre $\alpha^{i}$ elemanının $\mathbb{F}_{q}$ üzerindeki minimal polinomu

$$\mathcal{M}^{(i)}(x):=\prod_{j\in C_{i}}(x-\alpha^{j})$$

polinomudur.

$\alpha^{i}$ elemanının minimal polinomunun derecesi $C_{i}$ kümesinin eleman sayısına eşittir.
$\alpha^{i}$ ve $\alpha^{k}$ elemanları aynı minimal polinoma sahiptir ancak ve ancak $C_{i}=C_{k}$ dır.

📝 Ödev 3.2 (MTK698-2026) | ⏰ Son Teslim: 09.03.2026 00:00

$\alpha$, $x^{2}+x+2\in\mathbb{F}_{3}[x]$ polinomunun bir kökü olsun. $\mathbb{F}_{9}=\mathbb{F}_{3}(\alpha)$ cisminin bütün elemanlarının minimal polinomlarını bulunuz.

Teorem 3.17

$n>0$ bir tamsayı ve $(n,q)=1$ olsun. Kabul edelim ki $m>0$ tamsayısı

için $n\mid q^{m}-1$ olsun.

$r=\frac{q^{m}-1}{n}$ diyelim.
$\alpha\in\mathbb{F}_{q^{m}}$ bir ilkel eleman,
$\alpha^{i}$'nin $\mathbb{F}_{q}$ üzerindeki minimal polinomu $\mathcal{M}^{(i)}(x)$,
$\{s_{1},\ldots,s_{t}\}$, $q$'nun $n$ modülüne göre dairesel kosetlerinin bir tam temsilci kümesi olsun.

Buna göre

$$x^{n}-1=\prod_{i=1}^{t}\mathcal{M}^{(rs_{i})}(x)$$

olur.

📝 Ödev 3.3 (MTK698-2026) | ⏰ Son Teslim: 09.03.2026 00:00

$x^{13}-1\in\mathbb{F}_{3}[x]$ polinomunu indirgenemez çarpanlarına

ayırınız.

$+$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0$	$1$	$2$	$3$
$1$	$1$	$2$	$3$	$0$
$2$	$2$	$3$	$0$	$1$
$3$	$3$	$0$	$1$	$2$

$\cdot$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2$	$0$	$2$	$0$	$2$
$3$	$0$	$3$	$2$	$1$

$+$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0$	$1$	$2$	$3$
$1$	$1$	$2$	$3$	$0$
$2$	$2$	$3$	$0$	$1$
$3$	$3$	$0$	$1$	$2$

$\cdot$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2$	$0$	$2$	$0$	$2$
$3$	$0$	$3$	$2$	$1$

$+$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0$	$1$	$2$	$3$
$1$	$1$	$2$	$3$	$0$
$2$	$2$	$3$	$0$	$1$
$3$	$3$	$0$	$1$	$2$

$\cdot$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2$	$0$	$2$	$0$	$2$
$3$	$0$	$3$	$2$	$1$